带有界扰动的一类非线性系统的鲁棒控制

Ｍ ＝ｃ
）＋ ｍ
注 ２ ．Ｈ 即为注 １中的某个正数， 仅与标称系统和任意
取定的 有关． 如何选取 ， 使得 日 尽可 能大， 由 （） 这 的
记 Ｎ ＝ｍｎ Ｌ Ｍ） Ｗ ＝扛ｌ ｌ ｉ｛ ， ， Ｉｌ ｌ ＜Ⅳ） 则从 出发的闭 具 体 表达 式而 定 ． ， 环 系统的解 ｘｔ 均有 （ ）
Ｔ ｃ ｎ ｌ ｇ ， ａ ｊｎ １ ０ ４ ２ ｅ ａ ｔ ｎ ｆ ｐ ｉｄ Ｍａ ｈ ｍａ － ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎ ｎ ｉ ｇ２ ０ ９ ．Ｄ ｐ ｒ ｍｅ ｔ ｏ Ａｐ ｌ ｔ ｅ ｔ ｅ
ｉｓ ｃ ，Ｕｎｉ ｅ ｓｔ ｆＳｃｅ ｅ ａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｌ ｇ ｆＳｕ ｈｏ Ｓ ｈｏ １ ０ ９ ｖ ｒ ｉ ｏ ｉ ｎｃ ｎ ｃ ｎ ｏ ｙ ｏ ｚ ｕ， ｕｚ ｕ ２ ５ ０ ｙ ３ ．Ｄ ｅ ａ ｔ ｅ ｔｏ ａ ｈｅ ａ ｉ ｓ Ｓｈ ｎ ｈａ ｐ ｒ ｍ ｎ ｆＭ ｔ ｍ ｔｃ ， ａ ｇ ｉ Ｂｕｓｎｅ ｓ Ｓ ｈｏ ｌ Ｓ ａ ｈ ｉ ｉ ｓ ｃ ｏ ， ｈ ｎｇ ａ
峦＝ Ａ ｘ＋６ （ （）＋ｄｔ ） Ｑ ） （ ， 的解 ｘｔ 始终保持在 该邻域 内， （ ） 且收敛到原点的某个小邻域
内．
３ 主要 结论
定理 １ ．假设 １ —３成立， 则系统 （）的状态 反馈控制律 １
为
２ 问题描 述
考虑如下形式的非线性系统
：
札
（
） 击
（） ３
由式 （） ７ ２ ＜
－
击 （）ｐ １ ８ （（ｅ一 ） ０ｘ ）（
口
所以， Ｉ ｌ 当 Ｉｌ ＜Ｍ 时
＜ ０
所以解 ｘｔ 收敛到与 Ｐ有关的原点的一个小邻域 内， Ｐ （ ） 且 越
小， 邻域越小． 该 注意到 Ｆ ， Ｆ 为原点的某邻域． 取
仅 当 ＝ ０ 时等 号 成 立 ． 其中
学 出版社 ， ０ ３ ２０）
２ ｄｔ ） ｘ Ｐ （ ，
由假设 ２及基奉不等式得
２ Ｋｈｌ ［ ｉ ｒ Ｚ ｕＹ —ｈ ｎ ， ｏ ｇＨ ｉＬ ｕ－ ｈ ｕ ａ ｌ Ｋ Ｗｒ ｅ ， ｈ ｉ ｅｇ Ｄ ｎ ｕ， ｉ ｏＺ ｏ ｉＨ ｔ］ Ｓ Ｚ ［ｒｎｌ ｏ］ Ｎｏ ｌ ｅｒＳ ｓｅ Ｔ ａｓ ｔｒ ａ ． ｎｉ ａ ｙｔｍｓ（ ｈｒ ｄｔ ｎ．Ｂ ｉｎ ： ｎ Ｔ ｉ Ｅ ｉｏ） ｅｉｇ ｄ ｉ ｊ
Ｖ（１ Ｐ ｘ： １ ）当 ｄｔ ： ０时， （ ） ， 将式 （） （） ３，５ 代入 式 （ ， １ 利用 式 ）
（）得 ２
ｌ ＿南京 理工 大 学动 力工 程 学院 南 京 ２ ０ ４ ２．苏州科 技 学 院应 用数 学系 苏 １ ０９ 州 ２ ５ ０ ３ １ ０９ ．上海 商学 院数 学系 上 海 ２ ０ ３ ０２５ １ ｃ ｏｏ ｆＰｏ ｒＥｎ ｎ ｅ ｉｇ Ｎａ ｊｎ ｖ ｒ ｉｙｏ ｃｅ ｅａ ．Ｓ ｈ ｌ ｗｅ ｇｉｅ ｒｎ ， ｎ ｉｇＵｎｉｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎｃ ｎｄ ｏ
Ｒ ｏｂｕｓ ｏ ｔ ｏｌｆ ｒ ａ Ｃ ｌ ｓ ｏｆＮ ｏｎｌｎｅ ｒ ｔ Ｃ ｎ ｒ ｏ ａｓ ｉ ａ Ｓｙ ｔ ｍ ｓ ｗ ｉ ｈ Ｂｏｕｎｄｅ Ｄ ｉｔ ｂａ ｅ ｓｅ ｔ ｄ ｓ ｕｒ ｎｃ
ｕ：Ｑ ， Ｑ０ ：０ ） （）
ＦＵ Ｑｉ ｎ·
Ａ ｂｓ ｒ ｔ ｔ ａｃ
４ 结论
ｌ ｉ ｍ
。。
ｚｔ＝ ０ （ ）
所以 ＝０是 闭环系统
圣＝ ＋ （（） Ｑ
的渐 近 稳 定 平 衡 点 ．
本文考虑 了一类带有界扰动的非线性系统的鲁 棒控 制问 题． 当扰动的界不大时， 们得到 了状态反馈控制律． 我 满足假 设 ３条件 的函数很 多， 包含 了足够光 滑的所 有奇函数．所 以， 研究此类 系统 的控制 问题， 具有很大的意义 ．
（） ５
江 苏 省高 校 自然 科学研 究 项 日 （４ Ｄ１ ０ ６ ， ６ ０ ＫＪ １ １ ８ ０ ＫＪＢ１ ０ ０ ） 州科 技 学 １ １ ７ ，苏 院重 点学科 基金 资助
Ｓ ｐｐ ｒ ｅ ｙ Ｓ ｉｎｃ ｕ ａ ｉ ｎ ｆｏ ｈ ｉ ｓ ｒ ｆ Ｅｄ ａ ｉ ｎ ｕ ｏ ｔ ｄ ｂ ｃ ｅ ｅ Ｆｏ ｎｄ ｔｏ ｒ ｍ ｔ ｅ Ｍ ｎｉｔ ｙ ｏ ｕｃ ｔ ｏ
ｂ ｓ ｎ ｒ ｌＴｈ ｏｙ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａｉｎ ｕｔ Ｃｏ ｔｏ ｅ ｒ ｎ ｐｉ ｔ ．Ｂｅｊ ｇ Ｔｓｎ ｈ ａ ｃ ｏ ｉｎ ： ｉ ｉｇ ｕ
Ｕｎｉ ｅ ｓ ｔ ｅ ｓ ０ ３ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｐｒ ｓ ，２ ０
（ 梅生伟， 申铁龙， 刘志康． 现代鲁棒控制理论与应用． 北京： 清华大
假设 ２ Ｉ（ ） ＰＰ是常数 （ ．Ｉ ｔ ｌ ， ｄ， ｌ 可能未知） ． 假设 ３ ｐ（） ０ｃ （ ＝ ０· ， 【 （ ．ｃ ０ ： ， ０ ｐ ） ，一 ｃ 一 ０ ０ 向 ｐ ）： ， （ （） ０ ｍ 为某个 正奇数． ０≠ ， 注１ ．考虑 系统是小 的扰 动的情况， 即扰动 的界 Ｐ小于 某个正数， 这个正数后面给 出．
由假 设 １得 引理 １３． ［ 存在 ｎ阶对称正定阵 Ｐ 和 ｎ维行 向量 ， 】 使
得
关键 词 非 线性 系统 ， 状态 反馈 ， 鲁棒 控 制 中图分 类号 ＴＰ１ ３
Ｐ（ Ａ—ｂ ＋（ Ｋ） —ｂ ＝一 Ｋ）Ｐ ，
律
（） ２
系统 （）的鲁棒 状态反馈控 制问题： １ 设计一个 反馈 控制
１ 当 ｄｔ ＝０时， 点 ：０是闭环系统 ） （ ） ， 原
＝
Ｗ ｈｅ ｈ ｔ ｔ ｅ ｄｂａ ｋ ｏ ｔ ｏｌａ ｒ ｐ ｉｄ ｏｔ ｙｓｅ ｓ ｎｔ ｅｓ ａ ｅｆ ｅ ｃ ｃ ｎ ｒ ｗｓａ ｅａ ｐｌｅ ｔ ｈｅｓ ｔ ｍ ， ｌ
ｔ ｅ ｓ ａ ｅ ｆｃ ｏ ｅ － ｏ ｐ ｓ ｓ ｅ ｓ ｃ ｎ ｃ ｎｖ ｒ ｅ ｔ ｓ ａ ｌｒ ｇｉ ｎ ｈ ｔ ｔ ｓ ｏ ｌ ｓ ｄ ｌ ｏ ｙ ｔ ｍ ａ ｏ ｅ ｇ ｏ ａ ｍ ｌ ｅ ｏ ｏ ｈ ｒ ｇ ｎ． ｆｔ ｅ ｏ ｉ ｉ Ｋ ｅｙ ｏ ｗ ｒｄｓ Ｎｏｎ ｉ ａ ｙ ｔ ｍｓ， ｔ ｔ ｅ ｄ ｃ ，ｒ ｂ ｔ ｃ ｔ ｏｌ ｌｎｅ ｓ ｓ ｅ ｒ ｓ ａ ｅ ｆ ｅ ｂａ ｋ ｏ ｕｓ ｏｎ ｒ
带有界扰动的一类非线 性系统 的鲁棒控制
傅 勤 ｌ 曲文波 。 杨成梧 １
摘 要 对带有 界扰 动 的一类 非 线性 系统 进行 了状 态 反馈控 制设 计 ． 当 状 态反 馈控 制 律作 用 于该 系统 时 ， 统 的状 态 能够 收敛 到 原 点的 一个 小 系
邻域 内．
Ａ ｘ＋６ （ （） ｃＱ ） ｐ
的渐 近 稳 定 平 衡 点 ．
２ 当 ｄｔ ≠ ０ 且 Ｉ（ ｘ ｌ Ｐ时， ） （ ） ， Ｉ ｔ ） ， ｄ ， ｆ 从原 点的某 邻域
内出发的 闭环系统
１ 引言
存 实际工程 中， 对非 线性 系统建立 精确 的模 型常常较 为 困难 ， 甚至是不可能的．凶此， 研究不 确定条件 下对非线性系 统的控制 问题具有重要 的实际意义【 ． 本文研究一类 非线性系统 的鲁棒控制 问题． 当不确 定条 件为有 界扰动时 ， 我们 找到状 态反馈 控制律 ， 得从原 点的 使 某邻 域 出发 的 闭 环 系 统 的解 始 终 保 持 在 该 邻 域 内， 收 敛 到 且 原点的一个 小邻 域 内． 我们 得到 的状 态反馈控制律 与扰动 的 界无 关 ， 此 ， 动 的界 可 以是 未 知 的 ． 扰
证明． 任意取定 ＝０的邻域 Ｄ ：（ ｌ ｌ＜Ｌ ， ｘｌ Ｉ ＞Ｌ是 ｌ ｘ 正常数．由式 （ 得 ， ３ ） ｕ在 Ｄ 上有界， 以 ｃ （） Ｄ 所 ｐ ＋） 在 （ ｕ
（） １
， 上也有 界， 设
Ａ （） （ ） ｘ＋ ｕ ＋ｄｔ ，
这坐 ∈
， ｕ∈Ｒ 分别是系统的状态和输 入， ∈ Ａ
ｂ ， Ｒ — Ｒ 是足够光滑函数［】 （） ，（ ） ∈ ｃ ｐ： ２ ｃ０ ＝０ｄｔ ∈ 】ｐ ，
是扰 动． ｃｕ 当 ｐ ）＝ ｕ 时， （ 即为带 扰动 的 线性 系统 ． 定 义范 数 ｌ ｌ为通 常的 ２ 范数 ， 忙 ｌ： ｌｌ · 一 即 ｌ
ｃｍ １ ｕ Ｉ ｐ ＋ ） ）≤Ｓ （ （
２ ０ ３ ０ ２ ５
ＤｏＩ ０．３ ０／ ａ － ０ － ２ ９ ：１ １ ６ ａ ｓ０ ７ １ ０
ｆ－２ Ｔ ２Ｉ ｘ －
（
）
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１ １ ２０
自
动
化
学
报
３ ３卷
由式 （） ４ 得 ＜＿ｌ ＋２ （ ＫＴＩ ｍ！ Ｉ ＩБайду номын сангаасＩ － ＋ 击
Ｓ 是正常数． 由假设 ３ 用泰勒 展开公式得 ， ＡＩ Ｉ ＝
： ｕ ＋ ｕｍ ＋１
ｖ Ｔ ）记， ￣Ａ Ａ。 ． 为ｎ阶单位阵． 统 （ 作如 设 对系 １ ） 下假
收稿 日期 ２ ０ －— 收修 改稿 日期 ２ ０ － — ９ ０ ６５ ９ ０ ７４ ２
Ｒｅ ｅ ｖ ｄ Ｍ ａ ２ ０ ；ｉ ｅ ｉｅ ｏｒ ｐ ｉ ２ ２ ０ ｃ ｉ ｅ ｙ ９， ０ ６ ｎ ｒ ｖ ｓ ｄ ｆ ｍ Ａ ｒｌ ９， ０ ７
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第 ３ ３卷 第 １ １期
２０ ０ ７年 ｌ １月
自 动
化 学 报
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １３ ， ．１ Ｎｏ ｅ ｅ ， ０ ７ ｖ ｍｂ ｒ ２ ０
ＡＣＴＡ ＡＵＴｏＭ ＡＴＩ ＣＡ Ｉ ＣＡ Ｓ ＮＩ
假设 １ ＡＩ）是能稳 的． ．（ ６
Ｐｕｂｌ ｈ ｎｇ Ｈｏｕ ｅ ｏｆＥｌ ｃ ｒ ｎｉ ｓ Ｉ ｕｓ ｒ ，２ ０ ｉ ｉ ｓ ｓ ｅ ｔ ｏ ｃ ｎｄ ｔ ｙ ０ ５
Ｒ启ｆ ｒ ｎｃ ｓ ｅｅ ｅ
１ Ｍ ｅ ｈｅ － ｅ，Ｓ ｎ ￣ Ｌｏｎ ｉＳ ｎｇ Ｗ ｉ ｈｅ Ｔｉ ｇ，Ｌｉ ＺｈｉＫａｎ ｕ — ｇ．Ｍ ｏ ｒ Ｒｏ ｄｅｎ －
２ 当 ｄｔ ≠０ ｌ（ ｘ ｌ Ｐ时， ） （ ， ） ，ｄｔ ） Ｉ ， Ｉ 将式 （）（） ３，５ 代入式 （）利用式 （ 得 １ ， ２ ） Ｐ＝ － ＋纽 ｃ ， ＋
其 中 （介 于 ０与 钆之 间． 构造 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ函 数
ｏ ｉｎ ｓ ｒ ｖｎ ｅ （４ Ｄ１ ０ ６ ， ６ Ｂ１ ０ ０ ） ｆＪ ａ ｇ ｕ Ｐ ｏ ｉ ｃ ０ ＫＪ １ １ ８ ０ ＫＪ １ １ ７ ，Ｋｅ ａ ｅ ｃ ｙ Ａｃ ｄ ｍｉ
Ｆ ｕｎ ａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｄ ｔ ｏ ｆ Ｕｎｉ ｅ ｓｔ ｆＳ ｉ ｎ ｅ ａ ｃ ｏ ｏ ｙ ｏｆＳ ｚ ｕ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｃ ｅ ｃ ｎｄ Ｔｅ ｈｎ ｌ ｇ ｕ ｈｏ
ＱＵ Ｗ ｅ － 。 ＹＡＮＧ Ｃｈ ｎ － ｕ ｎＢｏ · ｅ ｇＷ
Ｉ ｈｉ ｐｅ ，ｓ ａ ｅ ｆ ｅ ｎ ｔ ｓ ｐａ ｒ ｔ ｔ ｅ ｄｂａ ｋ ｏｎ ｒ ｅ ｉ ｎ ｆ ｒ ａ ｃ ｃ ｔｏｌｄ ｓｇ ｏ
使得
ｃ ａ ｓ ｏｆ ｎｏ ｌｎｅ ｒ ｓ ｓ ｅ ｓ ｗｉ ｈ ｂｏ ｄｅ ｄ ｓ ｕｒ ｎｃ ｓ ｇｉ ｅ ｌｓ ｎ ｉ ａ ｙ ｔ ｍ ｔ ｕｎ ｄ ｉ ｔ ｂａ ｅ ｉ ｖ ｎ．