数字信号处理_课后习题答案

设窗函数长度为 N，则满足线性相位条件的 h(n)为起右移 的矩形窗，如下：
(2)
(4)
图见电子版
2-5
解:
系统是 LSI 系统,
,
其中
2-6
证明:
(1) (1 的离散时间傅立叶变换为 则 )即,
,
(2)
令
(3)
,当且仅当
时有值
(4)
2-7
解:
2-8
解:
,
,
,
区间的幅度谱:
区间内三种采样频率下的幅度谱
2-9
解：
2-10
解：首先观察四种情况都满足 Nyquist 采样定理， 因此，采样后的信号的频谱将
(2)
(3)
解：（1）
（2）
（3）
1-7 若采样信号 m(t)的采样频率 fs=1500Hz， 下列信号经 m(t)采样后哪些信号不 失真？ (1)
(2)
(3) 解：
(1)
采样不失真
(2)
采样不失真
(3)
，
采样失真
1-8 已知
,采样信号
的采样周期为
。
(1)
的截止模拟角频率
是多少？
(2)将 如何？ (3)若 解： (1)
,
(1)求系统函数
和单位脉冲响应
；
(2)使系统的零状态
，求输入序列
；
(3)若已知激励 解：
，求系统的稳态响应
。
(1)
激励信号为阶跃信号
，
，
(2)若系统零状态响应
则
(3) 若 为：
，则从
可以判断出稳定分量
1-21 设连续时间函数 得到离散时间函数
的拉普拉斯变换为 ，试证明 的 Z 变换
，现对 满足：
(1)
，若系统稳定则
，极点
，零点
(2)
，
系统为全通系统
1-24 一离散系统如图，其中
为单位延时单位，
为激励，
为响应。
(1)求系统的差分方程； (2)写出系统转移函数 并画出 平面极点分布图；
(3)求系统单位脉冲响应
(4)保持
不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。
解：(1)
(2) 两个极点位于 0.5j
设 通带： 阻带：
,则： ,即 ，即
，
阶数：
， 查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为
双线性变换实现数字低通滤波器 4-10 一个数字系统的采样频率 ，已知该系统收到频率为 100Hz 的噪声干扰，
试设计一个陷波滤波器去除该噪声， 要求 3dB 的边带频率为 95Hz 和 105Hz,阻带衰减不小于 14dB。 解：
(4)
线性移不变系统
(5)
线性移不变系统
（修正：线性移变系统）
1-5 判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中 因果非稳定系统
(2)
非因果稳定系统
(3)
非因果稳定系统
(4)
非因果非稳定系统
(5)
因果稳定系统
1-6 已知线性移不变系统的输入为 x(n)，系统的单位脉冲响应为 h(n)，试求系 统的输出 y(n)及其示意图 (1)
(1)
，其中
，
(2) 证明：
，收敛域
(1) 令
，则
其中
,
(2)
,
1-19 一系统的系统方程及初时条件分别如下：
，
(1)试求零输入响应 (2)画出系统的模拟框图 解： (1)零输入响应
，零状态响应
，全响应
；
，
，得 零状态响应
，则
，
，
则
(2)系统模拟框图
1-20 若线性移不变离散系统的单位阶跃响应
（1）
（2）
（3）
（4）
3-12
镜像为
镜像为
镜像为
镜像为 3-13 解： （1）离散信号值：
（2）
3-14 解：
至少需要 2000 点个信号值
3-15
解
：
，
，
，
/wEPDwUJLTY0MT
第五章参考答案
第四章习题参考解答
4-1 对于系统函数 现的流图。 解：
， 试用一阶系统的级联形式， 画出该系统可能实
解：
所以：
1-14 试求下列函数的逆 Z 变换
(1)
(2)
(3) (4) ，整个 Z 平面（除 z=0 点）
(5)
(6) 解：
(1)
(2)
，
(3)
(4)
(5)
(6)
1-15 已知因果序列
的 Z 变换如下，试求该序列的初值
及终值
。
(1)
(2)
(3) 解：
(1)
,
(2)
，
(3)
，
1-16 若存在一离散时间系统的系统函数 域，求系统的单位脉冲响应
(1)
解：
非周期序列;
(2)
解：
为周期序列，基本周期 N=5;
(3)
解：
，
，取
为周期序列，基本周期
。
(4)
解：
其中
，
为常数
，取
，
，取
则
为周期序列，基本周期 N=40。
1-4 判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1) 非线性移不变系统
(2) (3)
非线性移变系统 非线性移不变系统
（修正： 线性移变系统）
等式两边约简可得：
适用课程: 数字信号处理(TELE2001)
数字信号处理

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o o o o o
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， 令
，
，
，
，设 N=2，则
/wEPDwUJLTY0MT
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数字信号处理

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o o o o o
1-1 画出下列序列的示意图
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1-2 已知序列 x(n)的图形如图 1.41，试画出下列序列的示意图。
图 1.41 信号 x(n)的波形
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(修正：n=4 处的值为 0，不是 3） 样点）
（修正：应该再向右移 4 个采
1-3 判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期
证明：
2-18 解： 对差分方程求 Z 变换
全 通 系 统
为 常 数 ， 即
也 为 常 数 。 可 对
求导，其导数应为 0。
即：
或 题中要求
取
2-19 解： （1）
（2）
（3）当输入信号是实正弦信号，为
系统输出
（5）
当
时，
。
不是因果系统
（6）
2-20
解：
设取样器的输出为
设压缩器的输出为 由 b 图中两系统等效可列出如下等式：
5-3
(1) 这是一个低通滤波器，通带和阻带各有三个波峰。 （2）因为 以下的依据 3dB 下降作为通带边界频率，可计算得到：
（3）最小阻带衰减 5-4
由分式（5.39）根据 A 计算
，如下：
由表 5.1 根据过度带宽度
计算窗口：
单位脉冲响应如下：
单位脉冲响应如下：
其中
为凯泽窗。
5-5 答：减小窗口的长度 N，则滤波器的过度带增加，但最小阻带衰减保持不变。 5-6：图 5.30 中的滤波器包括了三类理想滤波器，包括了低通，带通和高通，其响应的单位 脉冲响应如下：
系统函数 (2)
（此图非直接形式，是转置形式）
(3)若使系统稳定，系统极点 ,则 （修正：要根据系 统是否为因果系统分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）
数字
第二章 习题解
2-1 解:
,
2-2
证明: 根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个 LSI 系统的输入信号
是
一个复正弦信号时,该系统的输出 系数 信号 = .
，截至
，
，归一化
，
4-7 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率 下边带截至频率分别为 解： ， 。
，上
，
，
，
4-8 设计一个一阶数字低通滤波器，3dB 截至频率为 巴特沃滋滤波器。 解：
，将双线性变换应用于模拟
一阶巴特沃滋
，
4-9 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函 数，而且无起伏；频率在 解： 处的衰减为－3.01dB；在 处的幅度衰减至少为 15dB。
，试用脉冲响应不变法将
转换
4-4 若模拟滤波器的传输函数为 转换成数字传输函数 解： 。 （设采样周期 T＝1）
，试用脉冲响应不变法将
4-5 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率 至频率 解： 。
，截
,
4-6 用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率 频率 解： 。
,
(2)
,
(3)
,
(4)
,
1-11 利用 Z 变换性质求下列序列的卷积和。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 解：
(1)
，
,
，
,
(2)
,
，
,
(3)
,
，
,
(4)
，
,
(5)
,
，
，
(6)
，
，
，
1-12 利用 变换来表示
的自相关序列 的 Z 变换。
定义为
，试用
的Z
解：
1-13 求序列
的单边 Z 变换 X(Z).
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第五章
习题解
5-1:
对照以上两公式可知：
因此： n<0 n>4 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
5-2 理想低通滤波器的 h(n)如下：
,h(n)如图 5-2 所示：
图 5-2
若要使 h(n)变成因果系统，则可将 h(n)向右移 3，使 h(n)=h(n-3). 系统的幅频响应如下：
是原连续信号频谱以
为周期的延拓。
（1）
（2）
（3）
（4）
22-11
证明：
2-12
解： （1）对差分方程求 Z 变换得：
（即为矩形窗的幅度谱） （2）图见电子版
（3）
2-15 （1）载波信号为
1 处信号
（2）
2-13
证明：
（1）
设
（2）
（3）
由式（1） （2） （3） ，
令上式中
原题得证。
2-14
，根据下面的收敛
，并判断系统是否因果？是否稳定？
(1) 解：
，(2)
， (3)
(1)
，
，因果不稳定系统
(2)
，
，非因果稳定系统
(3)
，
，非因果非稳定系统
1-17 一个因果系统由下面的差分方程描述
(1)求系统函数
及其收敛域；
(2)求系统的单位脉冲响应 解：
。
(1)
，
(2)
1-18 若当
时
；
时
,其中 N 为整数。试证明：
也是一个复正弦信号 ,与输入信号相比多了
=
2-3
解: (1)
令
(2) (3)
图见电子版 当系统是线性移不变系统时,若输入信号为实正弦信号,输出信号也 是一个具有相同频率的正弦信号 ,但该信号的幅度和相位都发生了 变化.表达式如下: 系统函数为 ,输入信号 ,输出信号
当
时,
2-4
解: (1) 零点 极点
进行 A/D 采样后，
的数字角频率
与
的模拟角频率
的关系
，求
的数字截止角频率
。
(2)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(3)
1-9 计算下列序列的 Z 变换，并标明收敛域。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) 解：
(1)
(2)
(3)
(4)
，
，收敛域不存在
(5)
1-10 利用 Z 变换性质求下列序列的 Z 变换。 (1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
4-2 一线性时不变因果系统，其系统函数为
对应每种形式画出系统实现的信号流图。 （1） 直接Ⅰ型。 （2） 直接Ⅱ型。 （3） 用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。 （4） 用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。 解：
直接Ⅰ型
直接Ⅱ型
用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型
用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型
4-3 已知模拟滤波器的传输函数 成数字传输函数 解： 。 （设采样周期 T＝0.5）
（修正：此题有错，
(3)系统的单位脉冲响应 而改变，是两个复序列信号之和） (4)
（修正： 随上小题答案
（修正：此图错误，乘系数应该为 0.5，输出端 y(n)应该在两个延迟器 D 之间）
1-25 线性移不变离散时间系统的差分方程为
(1)求系统函数
；
(2)画出系统的一种模拟框图； (3)求使系统稳定的 A 的取值范围。 解：(1)
在单位圆上的 Z 变换的 N 点采样。
, , 图见电子版
3-7
解：
，
，
，
， 图见电子版
3-8
解：
，
，
，
同理：
图见电子版
3-9 解：
系统为单位脉冲响应
设加矩形窗
后得到的信号为
，
对应的短时离散频谱：
，
，
，
， 电子图
3-10 解：
（1）
考虑对称位置取
（2）
考虑对称位置取
（3）
考虑对称位置取
3-11 解：
以周期 T 进行抽样
证明：
，则
当
时
1-22 设序列
的自相关序列定义为
，设
。试证明：当 极点。
为
的一个极点时，
是
的
证明：
，故当 点。
为
的一个极点时，
也是
的极
1-23 研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中
为常数。
(1)求使系统稳定的
的取值范围；
(2)在 Z 平面上用图解法证明系统是一个全通系统。 解：
第三章
习题解
3-1 解：
（1）
（2）
（3）补零后： （4）不能 3-2 解： （1）令循环卷积
不变；
变化，变的更加逼近
其余 （2）
其余
其余 （3）
其余 （4） 补一个零后的循环卷积
其余 3-3 解：
，即可分辨出两个频率分量 本题中的两个频率分量不能分辨
3-4
解：
对它取共轭：
与 可知：1，只须将 2，将
比较， 的 DFT 变换 求共轭变换得 ； ，即可求出 IFFT 变换的 ；
直接 fft 程序的输入信号值，得到
3，最后再对输出结果取一次共轭变换，并乘以常数 的值。
3-5
解： 可以； 证明：设 其中 与 的关系如下： 是 在单位圆上的 Z 变换，
是
在频域上的 N 点的采样，与
的关系如下：
相当于是 3-6 解：