常用坐标系及其变换

§2-2 常用坐标系及其变换
坐标系的定义：
坐标系是量测物体的质心或质点在空间的相对位置，以及物体在空间的相对方位所使用的基准线组。

引入坐标系的目的：
1 确切地描述飞行器的运动状态。

2 研究飞行器运动参数的变化规律。

1 惯性坐标系
定义：一、常用坐标系的定义
¾近程导弹飞行力学中，忽略地球的自转和公转，将与地球固连的坐标系看作惯性坐标系。

¾远程导弹飞行力学中，应考虑地球自转，将以地心为原点，坐标轴不随地球自转而转动的坐标系看作惯性坐标系。

在空间位置不变或作直线运动的坐标系。

实际应用时应注意的问题：
2 直角坐标系
定义：又称“笛卡儿坐标系”，轴线互相垂直的坐标系。

原点：发射点（发射飞行器时的惯性中心上）
地面坐标系（）
轴：指向任何方向，通常取指向目标的方向。

轴：轴：d d
d
OX
Y Z O d OY d OX d OZ 与轴垂直，并位于过O 点的铅垂面
内，指向上方。

d OX 与、轴垂直并组成右手坐标系。

d
OX d OY
特点：固连于地球表面，随地球一起转动可以看作惯性系。

由于有翼导弹飞行距离小、飞行时间短，因
此可以把地球看作静止的，并把地球表面看作平
面，此时可以将地面系看作惯性系。

对于近程导弹来说，可以认为重力与Y轴平行，
方向相反。

地面，取包含发射点的水平面或称切平面。

基准面：
目的：决定飞行器重心移动的规律、空间的姿态、导弹速度方向。

原点：导弹的质心。

弹体坐标系（
）
轴：沿纵轴，指向头部为正。

轴：轴：111
OX Y Z O 1OY 1OX 1OZ 与轴垂直，并位于纵向对称平面内，指
向上方为正。

1OX 弹体纵向对成平面垂直，并与、轴
组成右手坐标系。

1
OX 1OY
特点：与弹体固连，相对于弹体不动；
动坐标系。

目的：决定导弹相对于地面坐标系的姿态；
把导弹旋转运动方程投影到该坐标系上，可以使
方程式简单清晰。

导弹气动力矩三个分量沿此系分解；
常用于研究导弹的稳定性和操纵性。

原点：导弹的质心。

弹道固连系（）
轴：与飞行速度方向一致。

轴：轴：22
2
OX Y Z O 2OY 2OX 2OZ 与轴垂直，并位于包含速度向量的铅垂
面内，指向上方为正。

2OX 位于水平面内，并与、轴组成右手
坐标系。

2OX 2
OY
特点：
随速度改变；
动坐标系。

目的：
把导弹动力学方程投影到该坐标系上，可以
使方程式简单清晰。

原点：导弹的质心。

速度坐标系（）、风轴系、
气流坐标系
轴：与导弹速度向量一致。

轴：轴：333
OX Y Z O 3OY 3OX 3OZ 与轴垂直，并弹体纵向对称平面内，指
向上方为正。

3OX 与、轴垂直，并组成右手坐标系。

3
OX 3OY
特点：
与速度矢量相连，动坐标系。

目的：
气动力沿此系三轴给出；
确定导弹相对于气流的姿态；
研究导弹的纵向操稳特性。

原点：地心。

球面坐标系（）
轴：O 与格林威治子午线与赤道交点的连线。

轴：轴：O OY OX OZ 与轴垂直，在赤道平面内，指向东。

OX 与平面垂直，指向北极。

OXY r
θϕ：O 到P 的距离。

：：θ
r ϕOP 与OXY 平面的夹角。

OP 在OXY 平面的投影与正向OX 的夹角。

原点：导引站。

雷达坐标系（
）
轴：与雷达波束中心线重合，指向空间某点P （如目标质心）。

轴：轴：l l l OX Y Z O l OY l OX l OZ 与轴垂直，位于包含的铅垂平面内。

l OX 位于水平面内，并与、轴垂直，组
成右手坐标系。

l OX l OY l OX 目的：主要用于遥控制导。

注意：
1.各坐标系之间存在的共同点和特殊点。

2.寻找表达各坐标系之间关系的方法。

1 地面坐标系和弹道固连系之间的角度关系二、描述各坐标系之间相互关系的几个角度弹道倾角：速度向量与水平面的夹角。

速度向量向上时为正，向下时为负。

弹道偏角：速度向量在水平面内的投影与地面坐标系轴间的夹角。

以轴逆时针转向时为正，反之为负。

θV ψd OX d OX 2OX ′
2 速度坐标系和弹道固连系之间的角度关系弹道倾角：绕着速度坐标系的轴旋转的角
度，从弹的尾部看，向右倾斜为正。

V γ3OX 3 速度坐标系和地面坐标系之间的角度关系
V
V V V γθψγθψ⎫⇒⎬⎭速度系——弹道系：速度系——地面系：，，弹道系——地面系：，
迎角：速度向量在导弹纵向对称平面上的投影与导弹纵轴或翼弦之间的夹角。

纵轴在速度投影的上方是为正，反之为负。

侧滑角：速度向量与导弹纵向对称平面之间的夹角。

右侧滑为正。

αβ3 弹体坐标系和速度坐标系之间的角度关系
三各坐标系之间的相互关系及坐标变换确定一组直角坐标系相对于另一组直角坐标系的
方位。

直接投影法、旋转转换法、四元素法。

旋转转换法。

目的：方法：飞行力学中常用的方法：
由上图，将三轴矢量分别投影到的三
个轴上，得到：
直接投影法：
222OX Y Z d d d
OX Y Z V
V V d d V V V d Z Y X Z Z Y X Y Z Y X X ψψθψθθθψψθψθcos sin sin sin cos 0
cos sin sin cos sin cos cos 222222222⋅+⋅⋅+⋅⋅−=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅−⋅⋅=以弹道固连系和地面坐标系之间的关系来说明。

旋转转换法：
首先让两个坐标系重合，然后让其中一个坐标系
绕另一个坐标系的不同轴依次旋转。

下面以弹道固连系和地面坐标系为例加以说明。

首先让两个坐标系重合，如图所示，然后再通过旋转求它们之间的关系：
第一次旋转：
''
22''212''22cos 0sin 010sin 0cos d V V d V V d X X X Y Y C Y Z Z Z ψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
第二次旋转：
'
222'2222'2
22cos sin 0sin cos 000
1X X X Y Y C Y Z Z Z θθθθ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（1）
（2）
'2
2'12122'22222cos 0sin cos sin 0010sin cos 0sin 0cos 0
1cos cos sin cos sin sin cos 0cos sin sin sin d d d V
V V V V
V
V V
X X X Y C Y C C Y Z Z Z X Y Z ψψθ
θ
θ
θψψθψθψψθθθψθψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⋅−⋅=−⋅⋅222cos V
V X Y Z ψ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
将（2）代入（1）得两坐标系之间的方向余弦关系：
比较直接投影法和旋转转换法的结果可以看出，得
出的结论完全一样。

速度坐标系与弹道固连系
应用同样的方法可以求出其它坐标系之间的关系。

由两坐标系的定义知，这两个坐标系只差一个角度，即速度倾斜角。

如图所示：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222cos sin 0sin cos 0001Z Y X Z Y X V V
V V γγγγ经过一次旋转，可以得到两各坐标系之间的方向余弦关系：
速度坐标系与地面坐标系
它们之间的余弦关系可以利用速度坐标系与弹道固连系间的余弦关系、弹道固连系与地面坐标系之间的余弦关系得到，即：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡⋅⋅−⋅−⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333222cos sin 0sin cos 00
1cos sin sin sin cos 0cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos 0cos sin sin cos sin cos cos Z Y X Z Y X Z Y X V V
V V V V
V
V V V
V V V V V
V d d d γγγγψψθψθθ
θψψθψθψψθψθθθψψθψθ
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos Z Y X Z Y X V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V d d d γψγψθγψγψθψθγθγθθγψγψθγψγψθψθ展开之后得到：
弹体坐标系与地面坐标系
这两个坐标系之间的关系决定了导弹弹体在空间相对于地面坐标系的角位置，即导弹弹体的空间姿态，它由描述这两个坐标系之间相对关系的三个角度来决定，即三个欧拉角。

如下图所示：
这两个坐标系之间的方向余弦关系为：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos
cos Z Y X Z Y X d d d γψγψϑγψγψϑψϑγϑγϑϑγψγψϑγψγψϑψϑ
弹体坐标系与速度坐标系
根据这两个坐标系的定义，描述它们的空间关系有两个角度，即迎角、侧滑角。

如下图所示：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333111cos 0
sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos Z Y X Z Y X βββααβαβαα
βα这两个坐标系之间的方向余弦关系为：
第一次旋转：
第二次旋转：
第三次旋转：
23323132331000cos sin 0sin cos V V V
V X X X Y Y C Y Z Z Z γγγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦''
311''3121''113cos 0sin 010sin 0cos X X X Y Y C Y Z Z Z β
βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
'111'1131'111cos sin 0sin cos 00
1X X X Y Y C Y Z Z Z α
ααα⎡⎤⎡⎤
⎡⎤−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由以上三个方向余弦关系可以得到弹体坐标系与弹道固连系之间的方向余弦关系：
'2311'2131211231'2311X X X X Y C Y C C Y C C C Y Z Z Z Z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
展开得方向余弦矩阵为：
212112cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos V V V V
V V V V V
V X X Y Y Z Z αβαβ
β
αγαβγ
αγαβγβγαγαβγαγαβγβγ⋅−⋅⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅+⋅⋅−⋅−⋅⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⋅−⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
以上我们讲了旋转转换法，在进行转换时，应该2 在进行一个坐标系到另一个坐标系的旋转转换时，一定要注意旋转次序。

表示转换关系的矩阵积的顺序不能随意调换，它和坐标转换的方向和旋转的次序有关。

若次序错了，会出现矩阵元素符号的混乱，从而导致错误。

1 上述的旋转矩阵全部都是正定矩阵，即满足:
11
T T
A A X AY Y A X A X
−−====若则这个式子同样适用于上述坐标变换。

注意以下问题：。