种群增长模型的参数估计
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Estimate Standard Error t- Statistic P- Value k n0 r 234.589 15.7707 33.4227 8.63807 0.516571 0.0974304 14.875 3.86924 5.30195 4.11172 × 10 -7 0.00474647 0.000726679叫阻滞增长模型。
1.1. 逻辑斯蒂方程，即常微分方程： 式中
dN dt -N = r * N * KK
dN 是种群的增长速率（单位时间内个体数量的变化），r是增长率或内禀增长率，N是种群 dt
大小（个体的数量），K表示环境容纳量（种群的稳定平衡密度）。 1.2. 意义：当N>K时，种群数量下降；当N<K时，种群数量上升；当N=K时，种群数量不变。 1.3. 积分式： N =
Show[ListPlot[data], Plot[nlm[t], {t, 0, 11}]]
200
150
100
50
2
4
6
8
10
种群增长模型的参数估计
刘 鹏
原题
某实验小组探究草履虫的种群数量变化，实验统计结果如下 表： 时间（ 天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 种群数量 36 41 57 129 146 153 168 191 232 225 224 则该培养液中草履虫种群的环境容纳量（K值）是（ ） A. 232 B. 225 C. 224 D.227
从结果可以看出，草履虫种群数量的初始值 N0 = 33.4227，环境容纳量 K=234.589，种群增长率 r=0.516571。 在拟合过程中，我们不仅要看参数的大小，还需要考虑参数估计的显著水平。根据表中P值大小可以得 知，三个参数的判定都是显著的。 综上所述，题目中草履虫的环境容纳量应该接近234或者235，绝对不是简单的取后三个值的平均值所 能代表的。将数据和拟合曲线绘制出来，结果如下：
（2）利用函数拟合
nlm = NonlinearModelFitdata, 1+ k
k-n0 n0
* E -r *t
, {k, n0, r}, t;
（3）输出拟合结果
2
Normal[nlm] 234.589 1 + 6.01884 -0.516571 t
（4）显示参数结果
nlm["ParameterTable"]
2
问题解决
（1）定义数据
time = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; popu = {36, 41, 57, 129, 146, 153, 168, 191, 232, 225, 224}; data = Transpose[{time - 1, popu}];
K 1+
K-N0 N0
e-rt
（ N0 为种群原始大小）
2. 拟合
拟合是指已知某函数的若干离散函数值，通过调整该函数中若干待定系数，使得该函数与已知点集 的差别最小。这里是时间t和种群数量N已知，调整K、 N0 、r的值。
2.1. 最小二乘法（最小平方法）：是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳 函数匹配。 2.2. 拟合结果：使误差的平方和 E2 最小。其中， E2 = f (xi ) - yi 。
1.1. 逻辑斯蒂方程，即常微分方程： 式中
dN dt -N = r * N * KK
dN 是种群的增长速率（单位时间内个体数量的变化），r是增长率或内禀增长率，N是种群 dt
大小（个体的数量），K表示环境容纳量（种群的稳定平衡密度）。 1.2. 意义：当N>K时，种群数量下降；当N<K时，种群数量上升；当N=K时，种群数量不变。 1.3. 积分式： N =
Show[ListPlot[data], Plot[nlm[t], {t, 0, 11}]]
200
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种群增长模型的参数估计
刘 鹏
原题
某实验小组探究草履虫的种群数量变化，实验统计结果如下 表： 时间（ 天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 种群数量 36 41 57 129 146 153 168 191 232 225 224 则该培养液中草履虫种群的环境容纳量（K值）是（ ） A. 232 B. 225 C. 224 D.227
从结果可以看出，草履虫种群数量的初始值 N0 = 33.4227，环境容纳量 K=234.589，种群增长率 r=0.516571。 在拟合过程中，我们不仅要看参数的大小，还需要考虑参数估计的显著水平。根据表中P值大小可以得 知，三个参数的判定都是显著的。 综上所述，题目中草履虫的环境容纳量应该接近234或者235，绝对不是简单的取后三个值的平均值所 能代表的。将数据和拟合曲线绘制出来，结果如下：
（2）利用函数拟合
nlm = NonlinearModelFitdata, 1+ k
k-n0 n0
* E -r *t
, {k, n0, r}, t;
（3）输出拟合结果
2
Normal[nlm] 234.589 1 + 6.01884 -0.516571 t
（4）显示参数结果
nlm["ParameterTable"]
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问题解决
（1）定义数据
time = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; popu = {36, 41, 57, 129, 146, 153, 168, 191, 232, 225, 224}; data = Transpose[{time - 1, popu}];
K 1+
K-N0 N0
e-rt
（ N0 为种群原始大小）
2. 拟合
拟合是指已知某函数的若干离散函数值，通过调整该函数中若干待定系数，使得该函数与已知点集 的差别最小。这里是时间t和种群数量N已知，调整K、 N0 、r的值。
2.1. 最小二乘法（最小平方法）：是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳 函数匹配。 2.2. 拟合结果：使误差的平方和 E2 最小。其中， E2 = f (xi ) - yi 。