相控阵天线方向图推导及仿真

相控阵天线方向推导及仿真

1、推导线阵天线方向图公式

一个接收线阵，由等间距为d 的N 个各向同性单元组成，那么在θ方向，相

邻单元接收信号的相位差为Ф=2πd

λsinθ，线阵排列情况如图1所示。

图1 线阵排列示意图

因为天线辐射方向图可以由天线上各种各样电流源辐射的单独贡献进行矢

量叠加而得出，故各单元电压和为：

E a =sin (ωt )+sin (ωt +ϕ)+sin (ωt +2ϕ)+⋯+sin⁡[ωt +(N −1)ϕ]

将等式两边同时乘以2sin⁡(ϕ

2)，根据积化和差、和差化积等相关数学公式，可得到如下公式：

2sin (ϕ2)E a =cos (ωt −ϕ2)−cos (ωt +ϕ2)+cos (ωt +ϕ2)−cos (ωt −32

ϕ)

+⋯+cos (ωt +2N −32ϕ)−cos⁡(ωt +2N −1

2ϕ)

整理得，2sin (ϕ

2)E a =cos (ωt −ϕ

2)−cos (ωt +

2N−12

ϕ)

⁡⁡=2sin⁡(ωt +

N −12ϕ)sin⁡(N

2

ϕ) 最终得到场强方向图，E a =sin⁡[ωt +(N −1)ϕ2⁄]sin⁡(Nϕ2⁄)

sin⁡(ϕ2⁄)

平方归一化后，得到辐射方向图（阵列因子）：

|G a (θ)|=sin 2[Nπ(d

λ)sinθ]

N 2sin 2[π(d

λ

)sinθ]

上式中，当(d

λ)sinθ=0,±1,±2,···±n 时|G a (θ)|取得相等的最大值，但是我们

只期望看到(d

λ)sinθ=0的情况，取其他值产生的栅瓣是我们所不想见到的，为避免这种情况，特令d <λ。

前面的公式中认定主瓣指向为0°，当主瓣指向θ0方向时，则各向同性单元

线阵的归一化辐射方向图为：

G (θ)=sin 2[Nπ(d

λ)(sinθ−sinθ0)]

N 2sin 2[π(d λ

)(sinθ−sinθ0)]

此时，由于−2≤sin (θ)−sin (θ0)≤2，故防止产生栅瓣的条件为d <λ2⁄。

当来波方向与主瓣指向相近时sinθ−sinθ0很小，有：

sin 2[π(d λ)(sinθ−sinθ0)]≈[π(d

λ

)(sinθ−sinθ0)]2

这时的辐射方向图是sin 2μμ2⁄的形式，式中μ=(d

λ)(sinθ−sinθ0)，当μ=±0.443π时，天线方向图被衰减到最大值的一半，又因为sinθ−sinθ0项可以写成

sinθ−sinθ0=sin (θ−θ0)cos (θ0)−[1−cos (θ−θ0)]sin (θ−θ0)

当θ0很小时，方程右边第二项可以忽略，所以sinθ−sinθ0≈sin (θ−

θ0)cos (θ0)。最终我们可以得到天线的半功率波束宽度为θB ≈0.886λ

Ndcosθ0

（rad ）。

2、电子扫描阵列天线方向图仿真

·1、不同参数情况下的栅瓣现象及分析

由前面的分析可知，归一化后的天线方向图可以表示为：

G a (θ)=

sin 2(Nπd

λ

(sin θ−sin θ0))

N 2sin 2(πd

λ

(sin θ−sin θ0))

其中d 表示天线长度， N 表示天线阵元个数，λ表示信号波长。

当πd

λ(sin θ−sin θ0)=0,±1,±2,⋯,±n,⋯⁡⁡n ≥1,n ∈Z 时，G a (θ)的分子、分母均为0，由洛毕达法则可知，当sin θ−sin θ0=±n λ

d 时，G a (θ)取最大值1，其中sin θ−sin θ0=0，即θ=θ0时，是主瓣，sin θ−sin θ0=±n λ

d 的解对应的是

栅瓣。

所以为了防止栅瓣的出现，必须要求波长和天线长度满足：

d

λ

max sinθ−sinθ0

当d≥d max时，会出现栅瓣，假设栅瓣对应的角度为θg，则

sinθg−sinθ0=±n λd

即

θg=arcsin(sinθ0±n λd )

θg的具体求法参见“arcsin.m”

为了对不同参数情况下的栅瓣现象进行分析，本实验主要包括：

·1 固定θ0，λ，改变d，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·2 固定d，λ，改变θ0，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·3 固定θ0，d，改变λ，观察并记录栅瓣出现的位置，并对试验结果做出分析。·4 仿真并解释频率色散与扫描限制。

1.假设θ0=0,λ=0.5，则d max=0.5，下图给出了d取不同值时的情况：

由上图可以看出，在θ0=0,λ=0.5,d max=0.5的条件下，当dd max时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。

假设θ0=30。,λ=0.5，则d max=0.33333，下图给出了d取不同值时的情况：

由上图可以看出，在θ0=30。,λ=0.5,d max=0.33的条件下，当dd max时，出现栅瓣，且栅瓣个数随着d的增加而增加。

2.假设d=0.5,λ=0.5，下图给出了θ0取不同值时的情况：