事故树计算题
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i 1 n
• 式中：qi——第i个基本事件的发生概率（i=1， 2，……n）。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
T
+
E1
E2
式中：P（T）——顶事件发生的概率； qi ——第i个基本事件的发生概率。
☻利用上式求出各基本事件的概率重要度系数， 可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地 降低顶上事件的发生概率。
例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，
xi pr ps —属于第r个或第s个最小径集的第i个 基本事件
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
P (T ) q1q2 q2 q3 q1q2 q3 0.116 P (T ) I g (1) q2 q2 q3 0.16 q1 P (T ) I g (2) q1 q3 q1q3 0.49 q2 P (T ) I g (3) q2 q1q2 0.12 q3
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
Pk
P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝
P(T ) 1 [(1 q1 )(1 q3 ) (1 q1 )(1 q5 ) (1 q3 )(1 q4 ) (1 q2 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q5 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )
P(T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.2 0.5 0.5) 0.145
P(T ) 1 (1 q1q2 q2 q3q4 q1q2 q2 q3q4 ) q1q2 q2 q3q4 q1q2 q3q4 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.125
T Er
r 1
k
• 顶上事件发生概率为：
P(T ) P Er r 1
k
• 化简，顶上事件的发生概率为：
P(T ) qi
r 1 xi Er k 1 r s k xi Er
qi
Es
(1)
k 1 r 1 xi E1
1、列出顶上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi ·qi=qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
最小径集法
• 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 • 设某事故树有 k个最小径集：P1、P2、…、 Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶 上事件不发生。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例如：某事故树共有4个最小径集， P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 试用最小径集法求顶上事件发生概率？
P(T ) 1 1 qi
事故树习题课
一、顶上事件发生的概率 1 ．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 • 用“与门”连接的顶事件的发生概率为： n
P(T ) qi
i 1
• 用“或门”连接的顶事件的发生概率为：
P(T ) 1 (1 qi )
以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率”
例如：某事故树共有3个最小割集：试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
.
X1 X2 X2
.
X3 X4
P(T ) 1 (1 PEi ) 1 (1 PE1 ) (1 PE 2 )
i 1
2
1 (1 qi ) (1 qi )
i 1 i 1
2
3
1 (1 q1q2 ) (1 q2 q3q4 )
概率重要度系数大小进行定量分析。所谓概率
重要度分析，它表示第i个基本事件发生的概率
的变化引起顶事件发生概率变化的程度。
由于顶上事件发生概率函数是n个基本事件发生
概率的多重线性函数, 对自变量qi求一次偏导，
即可得到该基本事件的概率重要度系数。
xi基本事件的概率重要度系数：
P(T ) I g i qi
I g (2) I g (1) I g (3)
T
+
P1
P2
.
X1 X2 X2
.
X3
四、基本事件的临界重要度（关键重要度） 一般当各 qi不等时，改变 qi大的 Xi较容易， 但概率重要度系数并未反映qi变化。 考虑从本质上反映 Xi 在事故树中的重要 程度。 临界重要度分析，它表示第i个基本事件 发生概率的变化率引起顶事件概率的变 化率； 相比概率重要度，临界重要度更合理更 具有实际意义。
T .
P1 + P2 +
X1
X2
X2
X3
二、基本事件的概率重要度
• 基本事件的重要度：一个基本事件对顶上事件发
生的影响大小。
• 基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构
分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还
应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的
影响，即对事故树进行概率重要度分析。
事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的
Pk
① 第一项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最 小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此， ② 第二项 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每 两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况， ③ 第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将 每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相 加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径 集同时实现的概率”
E2 E3 Ek
k
qi
• 式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k；
i — 基本事件的序号， 1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合 顺序；
xi Er—属于第r个最小割集的第i个基本事件；
xi Er Es
—属于第r个或第s个最小割集的第i个基
本事件。
P(T ) qi
P(T ) PP1 PP 2 [1 (1 q1 )(1 q2 )][(1 (1 q2 )(1 q3 )] (q1 q2 q1q2 )(q2 q3 q2 q3 ) q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q2 q3 q2 q2 q3 q1q2 q2 q1q2 q3 q1q2 q2 q3 q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q3 q2 q3 q1q2 q1q2 q3 q1q2 q3 q1q3 q1q2 q3 q2 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.4
2．但当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
① 最小割集法 • 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 • 设某事故树有 K 个最小割集： E1 、 E2 、 … 、 Er、…、Ek，则有：
0.001904872
1、列出定上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 (1-qi )·(1-qi)=1-qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
例如：某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上事件发生概率？
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
Pk
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； r、s—最小径集的序数，r<s； k—最小径集数； （1-qr）—第i个基本事件不发生的概率； xi p r —属于第r个最小径集的第i个基本事件；
P(T ) qi
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er
qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1
E2 E3 Ek
k
qi
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝
P(T ) q1q2 q3 q1q4 q3q5 q1q2 q3q4 q1q2 q3q5 q1q3q4 q5 q1q2 q3q4q5 0.001904872
• 由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则：
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r 1
k
• 故顶上事件发生的概率：
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr k 1 r s k xi Pr Ps
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er
qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1
E2 E3 Ek
k
qi
公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每 两个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计 算的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ；
• 式中：qi——第i个基本事件的发生概率（i=1， 2，……n）。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
T
+
E1
E2
式中：P（T）——顶事件发生的概率； qi ——第i个基本事件的发生概率。
☻利用上式求出各基本事件的概率重要度系数， 可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地 降低顶上事件的发生概率。
例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，
xi pr ps —属于第r个或第s个最小径集的第i个 基本事件
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
P (T ) q1q2 q2 q3 q1q2 q3 0.116 P (T ) I g (1) q2 q2 q3 0.16 q1 P (T ) I g (2) q1 q3 q1q3 0.49 q2 P (T ) I g (3) q2 q1q2 0.12 q3
r 1 xi Pr
k
1 r s k xi Pr Ps
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
Pk
P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝
P(T ) 1 [(1 q1 )(1 q3 ) (1 q1 )(1 q5 ) (1 q3 )(1 q4 ) (1 q2 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q5 )(1 q3 )(1 q4 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] [(1 q1 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 ) (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )] (1 q1 )(1 q2 )(1 q3 )(1 q4 )(1 q5 )
P(T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.2 0.5 0.5) 0.145
P(T ) 1 (1 q1q2 q2 q3q4 q1q2 q2 q3q4 ) q1q2 q2 q3q4 q1q2 q3q4 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.5 0.125
T Er
r 1
k
• 顶上事件发生概率为：
P(T ) P Er r 1
k
• 化简，顶上事件的发生概率为：
P(T ) qi
r 1 xi Er k 1 r s k xi Er
qi
Es
(1)
k 1 r 1 xi E1
1、列出顶上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi ·qi=qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
最小径集法
• 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 • 设某事故树有 k个最小径集：P1、P2、…、 Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 T 表示顶 上事件不发生。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例如：某事故树共有4个最小径集， P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P4=｛ X2， X4，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 试用最小径集法求顶上事件发生概率？
P(T ) 1 1 qi
事故树习题课
一、顶上事件发生的概率 1 ．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 • 用“与门”连接的顶事件的发生概率为： n
P(T ) qi
i 1
• 用“或门”连接的顶事件的发生概率为：
P(T ) 1 (1 qi )
以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率”
例如：某事故树共有3个最小割集：试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
.
X1 X2 X2
.
X3 X4
P(T ) 1 (1 PEi ) 1 (1 PE1 ) (1 PE 2 )
i 1
2
1 (1 qi ) (1 qi )
i 1 i 1
2
3
1 (1 q1q2 ) (1 q2 q3q4 )
概率重要度系数大小进行定量分析。所谓概率
重要度分析，它表示第i个基本事件发生的概率
的变化引起顶事件发生概率变化的程度。
由于顶上事件发生概率函数是n个基本事件发生
概率的多重线性函数, 对自变量qi求一次偏导，
即可得到该基本事件的概率重要度系数。
xi基本事件的概率重要度系数：
P(T ) I g i qi
I g (2) I g (1) I g (3)
T
+
P1
P2
.
X1 X2 X2
.
X3
四、基本事件的临界重要度（关键重要度） 一般当各 qi不等时，改变 qi大的 Xi较容易， 但概率重要度系数并未反映qi变化。 考虑从本质上反映 Xi 在事故树中的重要 程度。 临界重要度分析，它表示第i个基本事件 发生概率的变化率引起顶事件概率的变 化率； 相比概率重要度，临界重要度更合理更 具有实际意义。
T .
P1 + P2 +
X1
X2
X2
X3
二、基本事件的概率重要度
• 基本事件的重要度：一个基本事件对顶上事件发
生的影响大小。
• 基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构
分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还
应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的
影响，即对事故树进行概率重要度分析。
事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的
Pk
① 第一项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最 小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此， ② 第二项 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每 两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况， ③ 第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将 每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相 加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径 集同时实现的概率”
E2 E3 Ek
k
qi
• 式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k；
i — 基本事件的序号， 1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合 顺序；
xi Er—属于第r个最小割集的第i个基本事件；
xi Er Es
—属于第r个或第s个最小割集的第i个基
本事件。
P(T ) qi
P(T ) PP1 PP 2 [1 (1 q1 )(1 q2 )][(1 (1 q2 )(1 q3 )] (q1 q2 q1q2 )(q2 q3 q2 q3 ) q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q2 q3 q2 q2 q3 q1q2 q2 q1q2 q3 q1q2 q2 q3 q1q2 q1q3 q1q2 q3 q2 q2 q3 q2 q3 q1q2 q1q2 q3 q1q2 q3 q1q3 q1q2 q3 q2 0.5 0.5 0.5 0.2 0.5 0.2 0.4
2．但当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
① 最小割集法 • 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 • 设某事故树有 K 个最小割集： E1 、 E2 、 … 、 Er、…、Ek，则有：
0.001904872
1、列出定上事件 发生的概率表达式 2、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 (1-qi )·(1-qi)=1-qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
例如：某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上事件发生概率？
1 q
i
1
k 1
r 1 xi P 1 P 2 P 3
k
1 qi
Pk
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； r、s—最小径集的序数，r<s； k—最小径集数； （1-qr）—第i个基本事件不发生的概率； xi p r —属于第r个最小径集的第i个基本事件；
P(T ) qi
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er
qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1
E2 E3 Ek
k
qi
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝
P(T ) q1q2 q3 q1q4 q3q5 q1q2 q3q4 q1q2 q3q5 q1q3q4 q5 q1q2 q3q4q5 0.001904872
• 由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则：
T Dr
r 1
k
1 P(T ) P Dr r 1
k
• 故顶上事件发生的概率：
P(T ) 1 1 qi
r 1 xi Pr k 1 r s k xi Pr Ps
r 1 xi Er
k
1 r s k xi Er
qi
Es
(1)k 1
r 1 xi E1
E2 E3 Ek
k
qi
公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每 两个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计 算的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ；