机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法

D k w C j kj u( j )
j 2
趋向于第二阶模态u(2) 。
因此求第二阶模态u(2)时，需使w中的C1=0。 同样求第三阶模态u(3)时，须使假设模态w的成分C1=C2=0。
2016年1月11日 《振动力学》 15
任选系统的一个假设模态w1，它一般不是真实模态，但总能 表示为真实模态的线性组合：
采用矩阵迭代法，基频：
k 1 0.37308 m
第一阶模态：
u(1) w4 ＝ (0.4626 0.8608 1)T
采用常规方法，基频：
第一阶模态：
u (1) 0.4626 0 . 8608 1
13
1 0.3730 k / m
基频误差为0.2%。模态在精确到四位小数时，完全一致。
归一化： w2 ＝ (0.4655 0.8621 1)T 第三次迭代：
1 1 2 0.4655 3.3276 m m Dw 2 ＝ 1 2 4 0.8621 6 . 1897 k k 1 2 5 1 7.1897
k n j ( j) k (1) k k (1) 第一阶模态 C u D w 1 C1u C j u 1 1 1 j 2 w1 Dw w2 Dw1 wk Dwk-1
k wk 1 C1u(1)
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
迭代次数愈多，上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态 成分所占比例愈小。
将Dkw作为一阶模态的k次近似，记作wk，则矩阵迭代法的 计算公式为： w1 Dw
w2 D 2 w Dw1

2016年1月11日 《振动力学》
wk Dk w Dwk-1
2016年1月11日 《振动力学》
从迭代过程看出，获得模态（收敛）的速度取决于 (r / 1 ) k
(r 2,, n) 趋于零的速度。 主要体现在两个方面：
一是，λ1比λ2大多少，相差越大，收敛越快，迭代次数越少；
二是，假设模态选取的准确性，w越接近于第一阶模态u1 ，
收敛速度越快，迭代次数越少。
a23 2 / k , a33 5 / 2k ,
仅对m3施加F3=1,各坐标的位移：
13 2016 年1月11日
1 1 1 1 A＝ 1 2 2 k 1 2 2.5
a 1/ k ,
《振动力学》
8
1 0 0 1 1 1 ， A＝1 1 2 2 M＝m 0 1 0 k 1 2 2.5 0 0 2
用K 1 A 左乘上式，得：
i 1 i2
Du(i ) i u(i )
( AM i AK )u(i ) 0
一般来说 D不是对称矩阵。
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其中， D AM， 称为动力矩阵，
2
任选系统的一个假设模态w ，它一般不是真实模态，但总能 表示为真实模态的线性组合：
归一化： w1 ＝ (0.50 0.875 1)T
2016年1月11日 《振动力学》 9
1 1 2 m D＝ 1 2 4 k 1 2 5
w1 ＝ (0.50 0.875 1)T
第二次迭代：
1 1 2 0.50 3.375 m 0.875 m 6.25 Dw1 ＝ 1 2 4 k k 1 2 5 1 7.25
归一化： w3 ＝ (0.4628 0.8609 1)T
2016年1月11日 《振动力学》 10
1 1 2 m D＝ 1 2 4 k 1 2 5
w3 ＝ (0.4628 0.8609 1)T
第四次迭代：
1 1 2 0.4628 3.3237 m m Dw3 ＝ 1 2 4 0.8609 6.1846 k k 1 2 5 1 7.1846
§5.7
矩阵迭ຫໍສະໝຸດ Baidu法
求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容。 随着自由度的增加，计算系统的固有频率和模态难度增大。 采用近似解，是个好办法，特别是借助计算机，很有效。 下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态。 对于系统的任意阶固有频率和模态都有：
Mu(i ) i Ku(i ) 0
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u (1)
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1 1 2 m D＝ 1 2 4 k 1 2 5
w4 ＝ (0.4626 0.8608 1)T
1 1 2 0.4626 3.3234 m m Dw 4 ＝ 1 2 4 0.8608 6.1842 k k 1 2 5 1 7.1842
wk 1 1 wk
1
wj ,k 1 1wj ,k
第一阶固有频率
1
1

w j ,k w j ,k 1
在具体计算过程中，前k次迭代均应进行归一化。
如使每个模态的最后元素成为1，使得各次迭代的模态之间具
有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。
在第k+1次迭代后，不需归一化，以算出基频。
5
k次迭代：
k n j ( j) k k (1) D w 1 C1u C j u j 2 1 w1 Dw w2 Dw1 wk Dwk-1
当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分 小于容许误差时，即可将其略去，得到：
k Dk w 1 C1u(1) 于是k次迭代后的模态近似地等于第一阶真实模态。
对wk再作一次迭代， wk 1 Dk 1w Dwk
在wk和wk+1中任选第j个元素wj,k和wj,k+1 ，其比值关系如下：
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wj ,k 1 1wj ,k
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k次矩阵迭代：
用矩阵迭代法求出系统的第一阶模态和基频后，还可以用 同样的方法求第二阶模态和频率。
任选一个假设模态w ，总能通过迭代算得第一阶模态u(1)，
有一个原因是假设模态w 中含有第一阶模态u(1)的成分C1， 若假设模态w 中第一阶模态u(1)的成分C1=0 ，则迭代的结果
n
k n j k ( 2) ( j) 2 C2 u C j k u 2 j 3
w C1u C2u ＋Cn u
(1) ( 2)
( n)
C j u( j ) uC
j 1
n
T 其中u [u(1) u(2) u(n) ]为模态矩阵， C [C1 C2 Cn ]
上式左乘D矩阵：
n j ( j) ( 1 ) ( j) ( j) Dw C j Du C j j u 1 C1u C j u 1 j 2 j 1 j 1
有时从模型可以粗略推测第一阶模态中质量位移的比值关系。 矩阵迭代有个最大的优点“防止误差”。即使某一步迭代发 生 误差，只是意味着以新的假设模态重新开始迭代。 只不过延缓了收敛，但不会破坏收敛。 只要动力矩阵D正确，无论假设模态如何，总能得到近似解。
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高阶模态及固有频率
w5 ＝ (0.4626 0.8608 1)T w4 u (1)
终止迭代， w4 为第一阶模态。
因为Dw4 1w4
利用 w4 和 Dw4 的最后一个元素计算基频：
得： 1 7.1842
2016年1月11日 《振动力学》
m k
1
1
1
0.37308
k m
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1 0 0 0.4626 (1)T (1) M 1 u Mu (0.4626 0.8608 1) 0 1 0 m 0.8608 2.955 m 0 0 2 1 正则化第一阶模态： 1 u(1) (0.2691 0.5007 0.5817 )T , m
k n j k ( j) C1u(1) C j D k w 1 u j 2 1 由于 j /1 1
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
2016年1月11日 《振动力学》 4
k次迭代后：
k n j ( j) k k (1) D w 1 C1u C j u j 2 1 j /1 1 由于：
k
m
k
m
2k
2m
试用矩阵迭代法计算基频和第一阶模态： 解：先求系统的柔度矩阵， 由定义求或求刚度矩阵的逆阵。 仅对m1施加F1=1,各坐标的位移：
a11 1 / k , a12 1 / k ,
a21 a31 1 / k ,
仅对m2施加F2=1,各坐标的位移：
a22 a32 2 / k ,
2016年1月11日 《振动力学》 7
例5.7-1：三自由度系统
1 x 1 0 0 2 1 0 x1 0 2 k 1 3 2 x2 0 m 0 1 0 x 3 x 0 0 2 0 2 2 x3 0
w1 C1u C2u ＋Cn u C j u( j ) uC
(1) ( 2) ( n)
j 1
n
T 其中u [u(1) u(2) u(n) ]为模态矩阵， C [C1 C2 Cn ]
已经求出第一阶正则模态u(1)，利用正交性可得C1 ：
u(1)T Mw1 C1u(1)T Mu(1) C2u(1)T Mu(2) ＋Cn u(1)T Mu(n) C1 C1 u(1)T Mw1
n n
上式再左乘一次D矩阵： n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2
2016年1月11日 《振动力学》 3
w C1u(1) C2u(2) ＋Cn u(n)
n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2 2 2 n n j ( j) j ( j) 2 (1) (1) u 1 C11u C j u 1 C1u C j 1 1 j 2 j 2 k次左乘D矩阵（相当于k次迭代）后：
归一化：
w4 ＝ (0.4626 0.8608 1)T
1 1 2 0.4626 3.3234 第五次迭代： m m Dw 4 ＝ 1 2 4 0.8608 6.1842 k k 1 2 5 1 7.1842
归一化： w5 ＝ (0.4626 0.8608 1)T w4
k
m
k
m
2k
2m
系统的动力矩阵：
1 1 2 m D＝AM 1 2 4 k 1 2 5
假设模态为： w＝ (1 1 1)T
第一次迭代：
1 1 2 1 4 m 1 m 7 Dw ＝ 1 2 4 k k 1 2 5 1 8