实数指数幂及其运算 PPT课件
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11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
5 2 的不足近似值
9.518 269 694 9.672 669 973
(6)0的七次方根是_____0_.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
⑵ （ 3）4 [( 3)2 ]2 92 9;
(3) （ 2 3）2 | 2 3 | 3 2;
(4) 5 2 6 （ 2 3）2 3 2.
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m
a n n am (a>0,m,n∈N*,且n>1)
m
用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1) 等于这个正数的m次幂的n次算术根.
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5
2
5 22
的大小如何确定？我们又应如何
理解它呢？
2 的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
5 2的过剩近似值
和的立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 差的立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下
列各(数1)的25n的次平方方根根. 是___±___5_;
(2)27的三次方根是____3_; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_; (5)a6的三次方根是___a_2_;
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4（ 2）4 2.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
示a在实数范围内唯一的一个n次方根.
当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( n a ) n a
(1) 5 25 2, 3（ 2）3 2. 结论:an开奇次方根,则有 n an a. (2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 6 1 =1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
⒉负分数指数幂的意义
注回意忆：负整负数分指数数指幂数的幂意在义：有意义的情况下，
例1.求值： 5 2 6 7 4 3 6 4 2 .
解：原式 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
| 3 2 | | 2 3 | | 2 2 |
( 3 2) (2 3) (2 2)
3 22 32 2 2 2.
例2．如果 2x2 5x 2 0, 化简代
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
如果xn a, 那么
x
n
a
,
n 2k 1,k N,
n a ,a 0, n 2k, k N.
根指数
na
被开 方数
根式
( 9)2 __9__, ( 3 8)3 _-_8__ .
由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.
(n a)n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表
(1)幂的概念: 幂
指数
an a a ......a
(2)幂的运算法则: 底数
n个a
①同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ，即 am an a mn
②同底数幂相除，底数不变，指数 相减 ，即 ③幂的乘方，底数不变，指数 相乘 ，即
am an
(am
)n
a mn
amn
(a 0, m、n N*，m n，)
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a2b 4
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2） （a 2）2 （b 2）2
a b
1
1
11
⑥（a 2 b 2）2 a b 2a 2b 2
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a
的立方根.
23=8
2叫8的立方根.
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
25=32
2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
103
1 103
0.001
（ 1）6 2
1
( 1)6
1 1
64
Байду номын сангаас
（2x）3
23 x3
1 8x3
2 64
（ x3 ）2 r2
x 6 r 4
1
x6 1
r4 x6
r4
0.0001 104
a2 b2c
a 2b 2c 1
回顾初中知识,根式是如何定义的？有
那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
(2x 1) 2[( x 2)] 2x 1 2x 4 3.
整理巩固 要求：整理巩固探究问题
落实基础知识 平方差公式: a2 b2 (a b)(a b)
(a b)2 a2 2ab b2
完全平方式: (a b)2 a2 2ab b2
立方和公式: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 立方差公式: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
练习
32
①85 85
32
85 5 8
2
1
②83 （83）2 22 4
111
③3 3 3 3 6 3 332 33 36
1 1 1 1
2n = a xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
数式 4x2 4x 1 2 | x 2 | .
解： 2x2 5x 2 0,
2x2 5x 2 0,
解之，得
1 2
x
2.
所以 2x 1 0, x 2 0.
4x2 4x 1 2 | x 2 | (2x 1)2 2 | x 2 |
| 2x 1 | 2 | x 2 |
总在指表数示上正.数a－，n=而a1不n (是a≠负0,n数∈,N负*)号. 只是出现
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整
数指数幂的意义相仿，就是：
m
an
1
m
an
n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). am
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我 说明们：规若定a了>0分，数p指是数一幂个的无意理义数以，后则，ap表指示 数 一个的确概定念的就实从数整. 数上指述数有推理广指到数有幂理的运数算指性 数 质，. 上对述于关无于理整数数指指数数幂幂都的适运用算. 即性当质指，数对的 于 范围有扩理大指到数实幂数也集同R样后适，用幂，的即运对算任性质意仍有然 理 是数下r述，的s，3条均. 有下面的性质：
9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
2 的不足近似值 1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数，
5 2 的不足近似值
9.518 269 694 9.672 669 973
(6)0的七次方根是_____0_.
点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n 次方等于a.
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
⑵ （ 3）4 [( 3)2 ]2 92 9;
(3) （ 2 3）2 | 2 3 | 3 2;
(4) 5 2 6 （ 2 3）2 3 2.
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m
a n n am (a>0,m,n∈N*,且n>1)
m
用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1) 等于这个正数的m次幂的n次算术根.
思考2:我们知道 2 ＝1．414 21356…,
那么5
2
5 22
的大小如何确定？我们又应如何
理解它呢？
2 的过剩近似值
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
5 2的过剩近似值
和的立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 差的立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
【1】试根据n次方根的定义分别求出下
列各(数1)的25n的次平方方根根. 是___±___5_;
(2)27的三次方根是____3_; (3)-32的五次方根是_-_2__; (4)16的四次方根是_±___2_; (5)a6的三次方根是___a_2_;
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81 26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3.
记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4（ 2）4 2.
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
式子 n an 对任意a ∊ R都有意义.
公式1.
n a
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R. ②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2. n an a.
适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.
示a在实数范围内唯一的一个n次方根.
当n是偶数时, n a 只有当a≥0有意义,当a<0时 无意义. n a (a ≥ 0)表示a在实数范围内的一个 n次方根,另一个是 n a (a ≥ 0)
( n a ) n a
(1) 5 25 2, 3（ 2）3 2. 结论:an开奇次方根,则有 n an a. (2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 6 1 =1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
⒉负分数指数幂的意义
注回意忆：负整负数分指数数指幂数的幂意在义：有意义的情况下，
例1.求值： 5 2 6 7 4 3 6 4 2 .
解：原式 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
| 3 2 | | 2 3 | | 2 2 |
( 3 2) (2 3) (2 2)
3 22 32 2 2 2.
例2．如果 2x2 5x 2 0, 化简代
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④ ).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
如果xn a, 那么
x
n
a
,
n 2k 1,k N,
n a ,a 0, n 2k, k N.
根指数
na
被开 方数
根式
( 9)2 __9__, ( 3 8)3 _-_8__ .
由xn = a 可知，x叫做a的n次方根.
(n a)n a
当n是奇数时, n a 对任意a∊R都有意义.它表
(1)幂的概念: 幂
指数
an a a ......a
(2)幂的运算法则: 底数
n个a
①同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 ，即 am an a mn
②同底数幂相除，底数不变，指数 相减 ，即 ③幂的乘方，底数不变，指数 相乘 ，即
am an
(am
)n
a mn
amn
(a 0, m、n N*，m n，)
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a2b 4
1
1
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2） （a 2）2 （b 2）2
a b
1
1
11
⑥（a 2 b 2）2 a b 2a 2b 2
思考1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理 指数幂都适用.那么，当指数是无理数时呢？
④积的乘方，等于各因式幂的积，即： (a b)m ambm
在运算法则②中，若去掉m>n会怎样？
m=n m<n
a3 a3
a33
a0
1
a3 a5
a35
a2
1 a2
a ？0
a0 1（a 0）
an
1 an
（a
0，n
N
）
将正整数指数幂推广到整数指数幂
练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a
的立方根.
23=8
2叫8的立方根.
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
25=32
2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
103
1 103
0.001
（ 1）6 2
1
( 1)6
1 1
64
Байду номын сангаас
（2x）3
23 x3
1 8x3
2 64
（ x3 ）2 r2
x 6 r 4
1
x6 1
r4 x6
r4
0.0001 104
a2 b2c
a 2b 2c 1
回顾初中知识,根式是如何定义的？有
那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
(2x 1) 2[( x 2)] 2x 1 2x 4 3.
整理巩固 要求：整理巩固探究问题
落实基础知识 平方差公式: a2 b2 (a b)(a b)
(a b)2 a2 2ab b2
完全平方式: (a b)2 a2 2ab b2
立方和公式: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 立方差公式: a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
练习
32
①85 85
32
85 5 8
2
1
②83 （83）2 22 4
111
③3 3 3 3 6 3 332 33 36
1 1 1 1
2n = a xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且
n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
公式3. n an | a | .
适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
数式 4x2 4x 1 2 | x 2 | .
解： 2x2 5x 2 0,
2x2 5x 2 0,
解之，得
1 2
x
2.
所以 2x 1 0, x 2 0.
4x2 4x 1 2 | x 2 | (2x 1)2 2 | x 2 |
| 2x 1 | 2 | x 2 |
总在指表数示上正.数a－，n=而a1不n (是a≠负0,n数∈,N负*)号. 只是出现
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整
数指数幂的意义相仿，就是：
m
an
1
m
an
n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). am
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指 数幂没有意义.
⒋有理指数幂的运算性质 我 说明们：规若定a了>0分，数p指是数一幂个的无意理义数以，后则，ap表指示 数 一个的确概定念的就实从数整. 数上指述数有推理广指到数有幂理的运数算指性 数 质，. 上对述于关无于理整数数指指数数幂幂都的适运用算. 即性当质指，数对的 于 范围有扩理大指到数实幂数也集同R样后适，用幂，的即运对算任性质意仍有然 理 是数下r述，的s，3条均. 有下面的性质：
9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
2 的不足近似值 1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质：
正数的偶次方根有两个且是相反数，