七年级数学下册培优专题训练：三角形(5个专题)

则这个等腰三角形的周长为( D )
A．11 C．17 B．16 D．16或17
同类变式
9. 已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇
数．
(1)求△ABC的周长； (2)判断△ABC的形状． (1)因为AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7. 解： 又因为AC的长为奇数，所以AC＝5. 所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12. (2)△ABC是等腰三角形．
＋AC＞BD＋DE＋CE.
如图，将DE向两边延长 解： 分别交AB，AC于点M，N.
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；② 在△CEN中，CN＋NE＞CE；③ ①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞ MD＋DE＋NE＋BD＋CE，
所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E， F，G. 试说明：DE＋DF＝BG.
如图，连接AD， 解：
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 1 1 1 所以 AC· BG＝ AB· DE＋ AC· DF. 2 2 2 又因为AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.
“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及 垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面 积的关系来解决．
专训1
三角形三边关系的巧用
三角形的三边关系应用广泛，利用三边关系可以 判断三条线段能否组成三角形、已知两边求第三边的 长或取值范围、说明线段不等关系、化简绝对值、求 解等腰三角形的边长及周长等问题．
类型
1
判断三条线段能否组成三角形
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( D )
A．1，2，3
B．1，π，5 C．3，4，8 D．4，5，6
＋(b－2)2＝0，则第三边长c的取值范围是
__________ 1＜c＜5 ．
同类变式
5.【2017· 舟山】长度分别为2，7，x的三条线段能组 成一个三角形，x的值可以是( C ) A．4 C．6 B．5 D．9
同类变式
6. 一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的 长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( B )
应用
类型1
2
三角形的中线的应用
求与中线相关线段问题
5. 如图，已知AE是△ABC的中线，EC＝4，DE＝2， 则BD的长为( A )
A．2
C．4
B． 3
D．6
同类变式
6. 如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8， △AEC的周长为24，则△ABC的周长为( A )
A．40
C．50
B．46
专训2
三角形的三种重要 线段的应用
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重
要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我 们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的帮助 作用，因此我们需要从不同的角度认识这三种线段．
应用
类型1
1
三角形的高的应用
找三角形的高
1. 如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与 BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________ AB ，边
类型
4
三角形的三边关系在代数中的应用
Байду номын сангаас
10. 已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－
2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求
△ABC的周长．
因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0， 解： 所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，解得b＝2，c＝3.
设AD＝CD＝x cm， 解： 则AB＝2x cm，BC＝(15＋6－4x)cm. 依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm， 则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm； 当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm， 而4＋4＜13，故不能组成三角形． 所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2. 当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去； 当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系． 所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
类型
5
利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11. 如图，已知D，E为△ABC内两点，试说明：AB
A．2 cm或4 cm
B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm
类型
3
解答等腰三角形相关问题
7.【中考· 宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为2和
5，则这个三角形的周长为( B )
A．9 C．7或9 B．12 D．9或12
同类变式
8.【中考· 衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和6，
1 1 (1)S△ABC＝ BC· AD＝ ×4×4＝8. 解： 2 2 1 1 因为S△ABC＝ AC· BE＝ ×5×BE＝8， 2 2 16 所以BE＝ . 5 16 5 (2)AD∶BE＝4∶ ＝ . 4 5
类型4 说明与高相关线段和的问题(等面积法)
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，
DC ． AE上的高为________
类型2
作三角形的高
2.【动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要标明
字母，不写画法)
如图． 解：
类型3
求与高相关线段的问题
3. 如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的
高AD＝4.求： (1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长； (2)AD∶BE的值．
同类变式
2. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( A ) A．3，8，4 B．4，9，6
C．15，20，9
D．9，15，8
3. 已知下列三条线段的长度比，则能组成三角形的 是( D ) A．1∶2∶3 C．1∶3∶4 B．1∶1∶2 D．2∶3∶4
类型
2
求三角形第三边的长或取值范围
4. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2－9|
D．56
因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24. 又因为BE＝CE，
所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.
又因为ED为△EBC的中线， 所以BC＝2BD＝2×8＝16. 所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
同类变式
7. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求 这个等腰三角形的三边长．