【课件】直线与圆锥曲线位置关系

又 y1 y2 （ 2x1 5)(2x2 5) 4 x1 x2 10(x1 x2) 25
x1 x2 y1 y2 5x1 x2 10(x1 x2 ) 25 0
即x1 x2 2(x1 x2 ) 5 0 p 5
多题一解——它对培养我们善于从不同的事物中 找到其相同之处，进而培养我们抽 象思维的能力与思维的深刻性有着 良好的功效。
(三)、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。
应紧扣一元二次方程有关根的理论，并注意结合 其它数学知识综合解决
例4、曲线C的弦的两端点为P(x1, y1), Q(x2, y2 )
则OP OQ的充要条件是 __x_1x_2___y1_y_2__0__
x1 x2 4 p2, y1 y2 4 p2
变题一：若一直线与抛物线y2 2 px( p 0) 交于A、B两点，且OA OB,点O在直线AB上的射影为D(2,1), 求抛物线方程。
解：AB方程为y 1 2( x 2)
y12 y22 4 p2x1x2 4 p2 y1y2
y1 y2 4 p2
x1x2 y1 y2 4 p 2
(法二)：设OA的方程为：y kx
y

y
2
kx 2 px

A(
2 k
p
2
,
2p) k
同理OB的方程为：y 1 x k
B 2 pk 2,2 pk
则x1 x2
10k 3k 2
4 5k 2
6
k 6 5
直线MN的方程为：6x 5y 28 0
谢谢大家
4 所求的抛物线方程为y2 5 x
2
三：小结
1：本节课研究了三个问题，尤其弦长的计算， 中点弦问题，应注意通性通法的运用。
2：在解题中应注意一题多解，多题一解，一 题多变的思想方法。
这些思想方法可归纳为：
一题多解真奇妙
多题一解思维高
一题多变创意好
通性通法是法宝
作业：
请同学们在书上或者其它参考材料上找两个有 关直线和圆锥曲线的问题，要求能够体现一题多解 、多题一解、一题多变的思想！
而x1 x2 6
x1x2 1
AB 8
(法三)(利用抛物线的定义解题)
由上AB方程为x y 1 0,它过点F(1,0)
而 AF AA1 BF BB1
AB AF BF AA1 BB1 x1 1 x2 1 x1 x2 2 6 2 8
例5、A, B是抛物线y2 2 px( p 0)上的两点，满足OA OB
(O为坐标原点)，求证：A, B两点的横坐标之积、
纵坐标之积分别是定值。
证明： (法一)
设Ax1, y1 , Bx2 , y2
则y12 2 px1
OA OB
y22 2 px2
x1x2 y1 y2 0
y1 2 2 2 y2 2 2 2
即A, B的坐标分别为(3 2 2,2 2 2), (3 2 2,2 2 2)
2
2
AB 4 2 4 2 8
(法二) :由上得弦AB的方程为：x y 1 0
运用公式：AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
设Ax1, y1 , B( x2 , y2 )
则x1, x2是上述方程的两个根

x1

x2


4k
6k k2
2

4

6
4k 4 0k 1
弦AB所在的直线方程为：x y 1 0
评注：一题多解——它对培养我们从多个角度去观 察问题、分析问题,解决问题的能力。从而培 养我们抽象思维的广阔性有着积极的作用。
的直线有（ C ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
例2、若直线 y kx1 与双曲线仅有一个交点，
这样k的值有（ D ） (A)1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个
(二)、直线与圆锥曲线相交所得弦长的计算
通常利用方程根与系数的关系求得 应用公式： AB 1 k 2 x1 x2 有关弦中点的问题可利用中点公式及根与系数的
关系解决。
例3、抛物线 y2 4x 的一条弦的中点为3,2 ， 求此弦所在的直线方程。
(法一)：设弦交抛物线于A(x1, y1), B(x2, y2 )
则： y12 4x1
(1)
y22 4x2
(2)
1 2： y12 y22 4(x1 x2 ) y1 y2 y1 y2 4x1 x2
(法二)由上得D3,2
设MN的方程为：y 2 k(x 3)

y
2 x2
20

k( y2
16
x 3) 1
4 5k 2 x2 10k(3k 2)x 5(3k 2) 80 0
设M x1, y1 , N x2 , y2
变题1、抛物线y2 4x，其弦AB中点为(3,2)，求AB的长
(法一) :由上AB方程为: x y 1 0
x y 1 0

y2 4x
x2 6x 1 0
解这个方程得：x1 3 2 2 x2 3 2 2
将x1, x2代入x y 1 0中，得：
应注意：直线与圆锥曲线仅有一个公共点的情况，
除了相切外，还有其它可能。如平行于抛物线对称 轴的直线与抛物线；平行于渐近线的直线与双曲线 有些直线与圆锥曲线位置关系的 讨论题（特别是选 择题、填空题）可利用曲线图形观察分析，迅速得 出结论（数形结合）。
例1、过点 (0,1) 且与抛物线 y2 4x 仅有一个交点
变题2：抛物线y2 4x中，一条过点3，2的弦长为8,
求此弦所在的直线方程。
变题3：斜率为1的直线，过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线交于A、B, 求线段AB的长。
评注：一题多变——通过改变条件或改变结论或 改变命题的陈述方式或改变图形等，使命题 发生变化。无疑这对培养我们善于从不同的 事物中找到其相同之处，进而培养我们的创 新意识与精神，及其适应能力，是一种有益 的尝试。
即
y -2x 5

y y2
2x 5 2 px

4
x2

2(10

p)
x

25

0
设A(x1, y1) , B( x2 , y2 )
则x1, x2是上述方程的二个根
x1

x2

10 2
p
,
x1

x2

25 4
oA oB x1 x2 y1 y2 0
y1 y2
4
4 1
x1 x2
y1 y2 4
k AB 1
弦AB所在的直线方程是：x y 1 0
(法二)：设弦AB所在的直线方程为：y 2 k(x 1)
y 2 k(x 3)

y2 4x
k 2 x2 (4k 6k 2 4)x (2 3k 2 ) 0
则 x12 y12 1 20 16 x22 y22 1 20 16
上式相减得：y1 y2 4 x1 x2 x1 x2 5 y1 y2
x1 x2 6 y1 y2 4
kMN

y1 y2 x1 x2
4 6 5 4

6 5
直线MN的方程为： 6x 5y 28 0
四：[备用题] 已知直线L交椭圆 x2 y2 1于M、N两点，B(0,4)是椭圆 20 16
的一个顶点，若BMN的重心位于椭圆的右焦点，求直线L的方程。
法一：解 右焦点F(2,0),由上顶点B(0,4)
可求得MN的中点D(3,-2)
设M ( x1, y1 ), N x2 , y2
直线与圆锥曲线的位置关系
2019年12月8日星期日
一、要点
1、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。 2、直线与圆锥曲线相交所得的弦长的计算，
有关中点弦的问题。 3、圆锥曲线内其它涉及到弦的问题。
二、教学过程
(一)、直线与圆锥曲线有无公共点的问题。
直线与圆锥曲线有无公共点的问题，也就是相关的 联立为方程有无解的问题，通常利用“代入”化简后 的一元二次方程进行讨论。