向量组的极大线性无关组

大无关组.
注：1、极大无关组一般来说不唯一。
2、极大无关组所含向量的个数相同。
3、只由一个零向量构成的向量组不存在极
大无关组，一个线性无关向量组的极大
无关组就是该向量组本身。
例：
二维向量组1＝

0 1
，

2＝
1 0
，

3＝11，
4＝
0 2
，
则1，2；2，3等均是极大无关组。
推论2 两个等价的,并且都线性无关的向量组所含的向量 个数相同。
推论3 一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量个 数相同
注：两个向量组等价，所含向量个数未必相 等。（线性无关条件不能省略）
例
定义2.13
向量组1
,

2
,

3
Байду номын сангаас
,
...,

的极大无关组所含
s
向量的个数，称为该向量组的秩，记作
注：
r( 1 ,2,...,s )
{1,2 ,3,..., s} {1, 2 ,..., t }
例:
向量组1
1＝

1 0
，

2＝
0 1
；与向量组
2
1＝

1 2
，2＝11，3＝
2 2

等价。
等价具有如下性质 (1) 反身性:任一向量组与其自身等价
并将其余向量表为该极大无关组的线性组合.
注： 1、矩阵的初等行（列）变换不改变 其列（行）
向量组的线性关系。 2、求列向量组的极大无关组的方法： （1）以向量组中各向量作为矩阵的列； （2）对所构成的矩阵施行行初等变换，将矩阵
化为阶梯型矩阵； （3）阶梯型矩阵中，每一台阶取一列，则对应
的向量所构成的向量组即为极大无关组。
{1,2 ,3,...,s} {1,2,3,...,s}
(2)对称性：如果{1,2 ,3,...,s} {1, 2 ,..., t}
则 {1, 2,..., t} {1,2,..., s};
(3)传递性：如果{1,2 ,...,s} {1, 2,..., t}，
定义2.12 设有两个Rn中的向量组
（1） 1,2 ,3,..., s , 与 （2）1，2，..., t
如果向量组(1)的每一个向量都可以由向量组(2)线性 表出,则称向量组(1)可由向量组(2)线性表出;如果向 量组(1)和向量组(2)可以互相线性表出,则称向量组 (1)和(2)等价.记作
满足以下两个条件
(1) 1,2 ,3,...,r线性无关；
(2) 向量组中的每个向量都可以表示为1,2,
3
,
...,

的线性组合，也就是说，将向量组中
r
任意一个向量添加到部分组1， 2，..., r中, 得
到的向量组都线性相关, 则称1 , 2 ,3 , ..., r
为该向量组的一个极大线性无关组，简称为极
且 {1, 2 ,..., t } {1, 2 ,..., p};
则 {1,2 ,...,s} {1, 2,..., p}
定理2.8 向量组和它的极大无关组等价.
推论 向量组的任意两个极大无关组之间等价
定理2.9
如果向量组
1
,
2
,
...,
可由向量组
s
1，2，..., t线性表出,并且s t,则向量组 1, 2 , ..., s线性相关.
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A


1
1 1 2
1 0 1 0
例6 求向量组1 (2,1, 3, 1)T ,2 (3, 1, 2, 0)T , 3 (1, 3, 4, 2)T ,4 (4, 3,1,1)T 的一个极大无关组，
1、向量组1，2，L ，s线性无关 r 1，2，L ，s ＝s. 2、向量组1，2，L ，s线性相关 r 1，2，L ，s s.
例
定理2.10 如果{1,2 ,3,..., s} {1, 2 ,..., t}, 则
r(1,2 ,3,..., s ) r(1, 2 ,..., t )
例3 Rn中的任意 n 1个向量一定线性相关 .
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩阵A (aij )mn的行向量组1,2 ,3,...,m
的秩称为矩阵A的行秩; A的列向量组的秩称为矩 阵A的列秩.
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
2.4 向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
线性无关
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T ,2 (2,4,1,1)T ,3 (2,4,2,4)T , 4 (1,2,2,1)T 其中线性无关的部分组最多可以
包含多少个向量？
定义2.11 如果一个向量组的部分组1,2 ,3,...,r
例2 设1,2 ,3与1, 2是Rn中的两个向量组，
且已知1

1

2
2， 2

21

3
，
2
3

1

4
2我们可以推出1，
2，
一定线
3
性相关，即存在不全为零的实数k1, k2, k3,使
k11 k22 k33 0
推论1 如果向量组1,2 ,3,...,s线性无关,并且 可由向量组1，2，..., t 线性表出,则s t.