相似三角形模型专题(精品)

B
5.如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3， S △ABC=25，求S四边形BDEF
解： ∵ AE：EC=2:3 ∴ AE:AC=2:5 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC S △ADE 4 AE 2 ∴ ＝ S△ABC （ AC ） ＝ 25 ∵ S△ABC=25 ∴
A
D
E
B
F
C
B
“A ”型
S ADE DE . 面积： S ABC BC
2
3、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请 你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。
解： 角： ∠B= ∠ 2或∠ 1= ∠ C
边： AD：AC=AE：AB
斜交型
4、已知CD是Rt△ACB斜边AB上的高，且CD=6， BD=12，则AD=________,AC=_________ 3 3 5 。
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点, 且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之 间的函数关系式.试确定x的取值范围. 解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x (0＜x≤4)
A
E )
D C
A A B B O C D J C D
• • •
8字型
（平行）
反8字型 （蝴蝶型）
•
（不平行）
• 例1.已知▱ABCD，连结对角线BD， E. F是边BC的三等分点，连结AE、AF， 与BD分别交于点G、H，则BG:GH:HD 的值为_________.5:3:12
•
练1.如图， ABCD中，G是BC延长线上一点， AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似 5 三角形共有______对。（全等除外）
A
B
AB AC ABC ∽ A B C AB AC A A
C
B
C
③如果一个三角形的三条边分别与另 一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似． A
A
B
C
B
C
AB AC BC ABC ∽ ABC AB AC BC
4.相似三角形的判定：
①如果一个三角形的两角分别与另一个 三角形的两角对应相等，那么这两个三角形 A 相似．
A
B
A A ABC ∽ ABC B B
C
B
C
②如果一个三角形的两条边分别与另 一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似． A
相似三角形
基本图形
判定方法
DE∥BC
△ADE∽ △ABC
∠AED= ∠B ∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ABC
AD AE AC AB
△ADE∽ △ABC
∠DAE= ∠CAB
三边对应成比例的 两个三角形相似.
相似三角形
基本图形
判定方法
DE∥BC
△ADE∽ △ ABC
性质定理 对应角相等；
∠AED= ∠B ∠DAE= ∠BAC △ ADE∽ △ ABC
A D
B
C
如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D 重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．
（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由； A xP （２）设ＡＰ＝x ＤＥ=y，求y与x之间的 函数关系式,并指出自变量x的取值范围；
2
5 5-x
D
y
B
E
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能， 请说明理由； （4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三 角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。
C
学以致用
3、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12, 点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向 C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同 时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？
A D A D
F B
F B
E
C
E
C
A
B
△ABE∽ △ECF （1）点E为BC上任意一点， （2）点E为BC上任意一点 若 ∠ B= ∠ C=60 ° , 若 ∠ B= ∠ C= α , ∠ AEF= F ∠ AEF= ∠ C,则△ ∠ C, 则△ABE 与△ABE ECF与 △ ECF的关系还成立吗？ 的关系还成立吗？ C A E 说明理由
若AC=3,AO=1. 写出A.B.C三点 的坐标.
A (-1,0)
O
B (8,0)
已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900, 对角线BD⊥CD 求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD· BC
证明:(1) ∵AD∥BC, ∴ ∠ADB= ∠DBC ∵ ∠A=∠BDC= 90°, ∴ △ABD∽△DCB (2) ∵ △ABD∽△DCB ∴AD = BD BD BC 即:BD2=AD· BC
对应边成比例；
AD AE AC AB
周长的比 等于相似比； △ ADE∽ △ ABC 面积的比等于 相似比的平方；
∠DAE= ∠CAB
三边对应成比例的 两个三角形相似.
练一练
基本图形
M
E
D
N
M
N H
过D作DH∥EC交BC延长线于点H
(1)试找出图中的相似三角形?⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
D A F G
B
α
α
E
α
C
A
A
①
B E
F
③
① ②
E
B
F
②
C
C
E为中点
D A F A F
B
Hale Waihona Puke Baidu
α
①
α
E
② α
C
B
α
①
③ α ②
E
α
C
变式： .在直角梯形 ABCF 中，， CB=14D ， 1.矩形 ABCD中，把 DA沿 AF对折，使 与 CF=4, AB=6,,CF ∥AB,在边 CB上找一点 善于在复杂图形 注意分类讨论的 CB边上的点 E重合，若 AD=10, AB= 8, E,使以 中寻找基本型 数学思想 E、A、B为顶点的三角形和以 E、C、F为顶点 5 则 EF=______ 5.6或2或12 的三角形相似，则CE=_______
1.相似三角形的定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫 做相似三角形。
2.相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的 相似比。 △ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/ 与
1 2 △ABC的相似比为_________.
3.相似三角形的性质：
• 两个相似三角形的对应角相等，对应边 成比例。 • 相似三角形对应高的比,对应中线的比,对 应角平分线的比都等于相似比。 • 相似三角形周长的比等于相似比。 • 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 • 相似三角形的传递性。
2：3 (2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______; 6 (3)若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____. 9 (4)若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.
三、基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
. 斜交型 . 特 殊 垂直型 平移 . 旋转 平移 . 特 殊 .
B E C F D G
A
练2. 如图在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 9:1 1:9 BF：FD=_______ 1:3 ，S △ADF : S △EBF =______
A F
D
B
E
C
练3. 如图,在▱ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC, ∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交 于点G,则△EFG与△BCG面积之比是( D) A. 2:3 B. 4:9 C. 1:4 D. 1:9
C
Q Q
B
P P
A
灵感
智慧
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点 Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得 △PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说 明理由；若存在，请求出PQ的长。
C C Q B A
P
A
P
Q M2 B
M1
添平行线构造相似三角形的基本图形。
1 2
E
E
F M
F
N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
课堂训练:
1、如图，点D、E分别是△ABC边AB、 AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那 么△ADE的周长︰△ABC的周长 A ＝ 1:3 。 D E 2.右图中,若D,E分别是AB,AC 边上的中点,且DE=4则BC= B C ＿＿＿＿ 8 3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:3 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
C
6
A
3
D
12
B
垂直型
知识源于悟
A
1.如图，DE∥BC，D是AB的中 点，DC、BE相交于点G。
DE 求 (1) =1:2 BC
D E
G
B C
C GED (2) =1:2 C GBC
如图:
写出其中的几 个等积式 ①AC2= AO×AB ②BC2= BO×AB ③OC2= AO×BO
C (0,2 2 )
灵感
智慧
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点 Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得 △PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说 明理由；若存在，请求出PQ的长。
C N
P
A
Q
B
M3
问题1： 如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与 B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形： （ （ 1） 2）若 △ABE E为BC 与△ 的中点，连结 ECF 是否相似？并证明你的结论。 AF,图中有哪些相似 三角形？ △ABE∽ △ECF ∽ △AEF
相似三角形判定的基本模型一
• • A字型、
A
D E B C
反A字型（斜A字型）
A
D
E
B
C
•
（平行）
（不平行）
• 相似三角形判定的基本模型二
A A O C D C B B J D
• • •
8字型
（平行）
反8字型 （蝴蝶型）
（不平行）
•
问题
给你一个锐角△ABC和一条直线MN； 你能用直线MN去截△ABC，使截得的三角形 与原三角形相似吗？
例1.
已知：在△ABC中， DE∥BC，点F是线段DE 上一点，连接AF并延长与 BC相交于点G.
求证：DF· GC=FE· BG
相似三角形判定的基本模型一
• • A字型、
A
D E B C
反A字型（斜A字型）
A
D
E
B
C
•
（平行）
（不平行）
例2.
E M
E
D
N
F
M
F
N H
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3, 试求AF:FB的值.
S△ADE
＝ 4
6. 过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中 线AD分别交于点F和E，
求证：AE：ED=2AF：FB。
A F E G B C
D
7.已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过 E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于 AE EC 的值。 点F。求： AD BC
• 相似三角形判定的基本模型二
A
A
60 α° 60 ° α
F
F
F
α 60 ° α 60 °
E E E
B BB
α 60 60 ° α° C C C
D A F
B
α
α
E
α
问题2： （2 1）延长BA、CF相交于 相交于点 D,且 点 D,且 E善于运用类比、 为 E为 BC BC 的中点，若 的中点，若 迁移的数学方法 ∠B=∠ C= α, ∠AEF= ∠ C, C 当∠ 连结AEF AF. 解决问题 旋转到如图位置时， 上述关系还成立吗？ ①找出图中的相似三角形 ②说出图中相等的角及边之 间的关系
∽
.
四、运用 ☞ 1.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
A O B 解： 角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D
边：AB ∥ CD
AO：OD=BO：CO
C
D
“X” 型
四、运用 ☞
A
2.若△ABC∽△ADE， 你可以得出什么结论？
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C D E 边：DE ∥ BC AD AE DE . AC BC C AB AD AE . DB EC DB EC . AB AC
练4. 如图,已知点D是AB边的中点, AF∥BC，CG:GA=3:1，BC=8，则 4 AF=___.
•
练5.如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90∘, AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且 ∠BEC=90∘,将△BEC绕C点旋转90∘使B与 D重合，得到△DCF，连EF交CD于M.已知 4:3 BC=5，CF=3，则DM:MC的值为___.