人教A版高中数学选修4-2-4.1.2 特征值特征向量的计算-课件(共30张PPT)最新课件

2 5
43 的特征值
解：A lE
2l
5
3 2 l4 l 15 l2 6l 7
4l
令 A lE 0， 得 l1 =-1，l2 =7
则A的特征值为l1 =-1，l2 =7
2、求A的属于特征值l的特征向量
设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解，
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O
得一齐次线性方程组(A-liE)X=O 2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系
V1、V2、…、Vs 3） A的属于特征值li 的特征向量为：
c1V1 c2V2 csVs c1, c2 ,, cs 是不全为零任意常数
7 l 8 1 l6 l 2 l7 l2
得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根）
则A的特征值为l 1 =-2，l 2 = l 3= 7
把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得
(A +2E)X=O
5 2 4 x1 0 2 8 2 x2 0 4 2 5 x3 0
特征值特征向量的计算
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数
l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征
值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量
方程AX=lX
AX-lX =O (A-lE)X=O
即不论l取何值，方程AX=lX一定有解
特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量：方程AX l0 X的非零解
0
0
1 0
0
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x21 x22xx2 300
x1 x3
5 2 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 2 0 0 A 2 8 2 0 2 8 2 0 0 0 0 0` 0 0 0 0
4 2 5 0 4 2 5 0 0 18 9 0 0 2 1 0
5
A
2
4
2 8 2
4 2 5
0
(A -2E)X=O
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
x1 x2
0 0
0
取 x3 1 ,得一基础解系
V1 0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：
c1V1
c1
0 0
,
c1
0
把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得
an1 an2 ann
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a11 l
AlE
a21
an1
a12 a22 l
an2
a1n
A11 A12
a2n A21 A22
an1
an 2
ann l An1 An2
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
Anjn
j1 j2 jn
(a11 l)(a22 l) (ann l)
(1)n l n
fn l
a1n
a2n
ann
l
A1n A2n
Ann
则方程 A lE 0即 fn l 0是l的n次方程
在复数域上，方程 A lE 0一定有 n个根。
A lE fn l
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤：
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程A lE 0的根
(1) 计算n阶行列式
A lE
(2)令 A lE 0 解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数
A的属于l=4 的特征向量：cV cc c≠0
1、求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
l0使方程A lEX O有非零解
n元齐次方程组 A lEX O有非零解 A lE 0
定义 2 设A为n阶方阵，l1,l2,
则其特征方程可表示为：
,lm 为其特征值组，
l l1 k1 l l2 k2
l lm km 0
则ki称为 li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi 显然：k1 k2
di ki
km n
【例1】求
A
1
于是，A的属于l2=1的全部特征向量为：c2V2
1
c1
2
,
c2
1
0
【例3】求矩阵
3 A 2
2 6
4 2
的特征值与特征向量
4 2 3
解：
3 l 2 4 3 l 2 4 3 l 2 1 l A lE 2 6 l 2 2 6 l 2 2 6 l 4
4 2 3 l 7 l 0 7 l 7 l 0 0
例如：对 A 53 11 ，取 l=4，代入方程AX= lX
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A 4E 53
(A-4E)X= O
11
4 0
0 4
1 5
15
1 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
0 0
5xx115xx22
0 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu x1 x2 0 有非零解
所以，l=4是矩阵A的一个特征值
1
(A-E)X=O
2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 1 0 1 x3 0
2 1 20 100 0 行变换
0A 0 40 200 0 1 0 11 001 0
2x1 x2 x1 x3
0
0
x2 x3
2x1 x1
1
取 x 1 1 得一基础解系 V2 2
1 1 0
【例2】求矩阵 A 4 3 0的 特征值与特征向量 1 0 2
解：
1 l 1 0
A lE 4 3 l 0 2 l 1 l 3 l 4 2 l 1 l 2
1 0 2l
得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根）
则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得