人教A版高中数学选修4-2-4.1.2 特征值特征向量的计算-课件(共30张PPT)最新课件
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人教A版高中数学选修4-2 第四讲 一 变换的不变量与矩阵的特征向量 课件(共32张PPT)
Aξ2 = λ2 ξ2 = λ2 λ1ξ1 = λ λ2 ξ1 .
∴ λ λ1ξ1 = λ λ2 ξ1 .
即：λ(λ1－λ2)ξ1 = 0.
λ ≠0且 λ1 ≠λ2，∴λ(λ1－λ2) ≠0，∴ξ1 = 0.
与ξ1 是矩阵A的特征向量矛盾！所有假设不成立.
∴向量ξ1与ξ2不共线.
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求， 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了 无私的人。
2014年人教A版选修4-2课件 2. 特征向量的应用
n n n (s ( ( s s ) )) x 1 = A x1 =l1 x1 =1 x1, n n n (s ( ( s s ) )) x 2 = A x 2 =l2 x2 =(-1) x2. n n
由此类推到一般:
设 A 是一个二阶矩阵, a 是它的属于特征值 l 的任意一个特征向量, 则 Ana=lna (nN*). (请证明)
第 1、2 题.
6 8 -5 , 向量 a = , 求 A5a, A100a. 7 6 -3 解: 求得 A 的特征值与特征向量为 5 1 l1=2, x1= , l2=3, x2= . 6 1 6 5 1 = t1 + t2 , 设 a=t1x1+t2x2, 即 7 6 1 解得 t1=1, t2=1. 403 5 1 5 5 5 5 5 = . ∴A a = t1l1 x1+t2l2 x2 =2 +3 435 6 1 1. 设矩阵 A = ∴A100a = t1l1100x1+t2l2100x2 =2100 5 1 100 +3 6 1 52100+3100 = . 100 100 6 2 + 3
那么 Ana=An(t1x1+t2x2) = t1Anx1+t2Anx2 =t1l1nx1+t2l2nx2. (由 Ana=lna 得)
性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, x1, x2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1, l2 的特征向量, 对于任意的非零平面向量 a, 设 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 为实数), 则对任意正整数 n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx2. 也可用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时, Aa=A(t1x1+t2x2) = t1Ax1+t2Ax2 = t1l11x1+t2l21x2, 即 n=1 时, 性质 1 成立. (2) 假设 n=k 时, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2 成立,
由此类推到一般:
设 A 是一个二阶矩阵, a 是它的属于特征值 l 的任意一个特征向量, 则 Ana=lna (nN*). (请证明)
第 1、2 题.
6 8 -5 , 向量 a = , 求 A5a, A100a. 7 6 -3 解: 求得 A 的特征值与特征向量为 5 1 l1=2, x1= , l2=3, x2= . 6 1 6 5 1 = t1 + t2 , 设 a=t1x1+t2x2, 即 7 6 1 解得 t1=1, t2=1. 403 5 1 5 5 5 5 5 = . ∴A a = t1l1 x1+t2l2 x2 =2 +3 435 6 1 1. 设矩阵 A = ∴A100a = t1l1100x1+t2l2100x2 =2100 5 1 100 +3 6 1 52100+3100 = . 100 100 6 2 + 3
那么 Ana=An(t1x1+t2x2) = t1Anx1+t2Anx2 =t1l1nx1+t2l2nx2. (由 Ana=lna 得)
性质 1: 设 l1, l2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值, x1, x2 是矩阵 A 的分别属于特征值 l1, l2 的特征向量, 对于任意的非零平面向量 a, 设 a=t1x1+t2x2 (其中 t1, t2 为实数), 则对任意正整数 n, 有 Ana = t1l1nx1 + t2l2nx2. 也可用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时, Aa=A(t1x1+t2x2) = t1Ax1+t2Ax2 = t1l11x1+t2l21x2, 即 n=1 时, 性质 1 成立. (2) 假设 n=k 时, Aka = t1l1kx1 + t2l2kx2 成立,
人教A版高中数学选修4-2-4.1.2 特征值与特征向量的计算-教案设计
特征值与特征向量的计算【教学目标】1．理解二阶矩阵特征值与特征向量的直接求法。
2．掌握直接法求二阶矩阵特征值与特征向量的主要步骤，并能求简单二阶矩的阵特征值与特征向量。
3．亲历求简单二阶矩阵特征值与特征向量的过程，体验分析归纳得出求简单二阶矩的阵特征值与特征向量的一般步骤，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：二阶矩阵特征值与特征向量的直接求法。
难点：求二阶矩阵特征值与特征向量的主要步骤。
【教学过程】一、新课引入教师：前面我们通过考察线性变换对平面向量（或直线）的作用结果．从几何直观上“看出了”一些特殊矩阵的特征值和特征向量．但是，对一般的二阶矩阵，由于我们不太了解与之对应的线性变换的几何特征，所以很难通过几何直观的方法“看出”这些矩阵的特征值和特征向量。
所以今天我们将探究简单二阶矩阵的特征值与特征向量的一般求法。
二、讲授新课1、例题探索教师给出如下例题，让学生用学过的知识解答。
例1、设2213A⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
学生解答，教师总结并提出问题？教师提问：（1）几何直观求特征值与特征向量是不是很麻烦？（2）能不能用别的方法求出特征值与特征向量？（3）请学生阅读课本内容，并回答：给定二阶矩阵，能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量呢？学生阅读教材，教师准备板书。
（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．求下列矩阵的特征值及其对应的一个特征向量。
（1）2013⎛⎫⎪⎪-⎪⎝⎭；（2）1203⎛⎫⎪⎝⎭；（3）3443⎛⎫⎪-⎝⎭；（4）1524⎛⎫⎪⎝⎭。
2．设二阶矩阵A形如2ab⎛⎫⎪⎝⎭，其中a，b是实数，找出分别满足下列条件的所有二阶矩阵A：（1）向量12ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是二阶矩阵A的属性特征值2λ=的一个特征向量；（2）向量12ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是二阶矩阵A的一个特征向量。
特征值与特征向量(高等代数课件)
0
x0n
即
x x
01 0n
是线性方程组 (0E A )X0的解，
又
0,
x01 0, ∴
x0n
(0EA )X0有非零解.
所以它的系数行列式 0EA0.
7.4 特征值与特征向量
以上分析说明：
若 0 是 的特征值，则 0EA0.
反之，若 0 P 满足 0EA0,
则齐次线性方程组 (0E A )X0有非零解.
7.4 特征值与特征向量
练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，
则矩阵 BA 32A 2的特征值为： 1,3,0 ，
行列式 B ＝ 0 .
7.4 特征值与特征向量
谢谢！
( B n 1 B n 2 A ) B n 1 A ②
比较①、②两式，得
7.4 特征值与特征向量
B0 E
B1 B0A a1E
B2 B1A a2E
③
B
n
1
Bn B n
1
2A a A an
n
E
1
E
以A n,A n1, ,A ,E依次右乘③的第一式、第二式、
…、第n式、第n＋1式，得
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
7.4 特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的求法
分析： 设 d im V n , 1 ,2 , ,n是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0 是 的特征值，它的一个特征向量 在基
B B2
1A An
n
2
B0An 1 B0An B1An
An
人教版A版高中数学选修4-2：特征向量在实际问题中的应用_课件2
k2
2
则
t0 c0
k1
0.05 0.01
k2
1
1,
可以得到，k1的值始终为k1
50 3
你能给出具体计算过程 吗？
(但对于不同的
t0 c0
,
k2的取值不同)，
由上面的计算过程可以看出，仍然有
t
lim
n
tn
5 6
, c
2.特征向量在实际问题中的应用
例1 人口迁移是常见的社会现象.某国家连续几年对城镇与农村之间的 人口流动情况作调查，发现有如下稳定的流动趋势：
1每年约有5%的农村居民移居城镇； 2每年约有1%的城镇居民移居农村.
现在全国总人口（城镇与农村人口的总和）中70%住在城镇. 假定全国总人口一直保持不变，并且这种人口流动的趋势 继续下去.那么，1年以后住在城镇的人口占总人口的比例是多少？ 2年以后呢？10年以后呢？最终的情况如何？
n
t11 t2 (1)n2.
因此
（（... ( )...)) An t11n1 t2 (1)n2.
n
性质1
设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵A的分别 属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零向量，设 t11 t22 (其中t1,t2为实数)，则对任意的正整数n，有 An t11n1 t2n22.
lim
n
cn
1. 6
这说明，不管最初城镇居民和农村居民的分布如何，最终 城镇居民和农村居民都是按5：1的比例分布的.这个最终分布 是城镇人口和农村人口之间的平衡状态，即从城镇迁移到 农村与从农村迁移到城镇的居民正好抵消.
推荐-高中数学人教A版选修4-2课件第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量 本讲整合
本讲整合
-1-
知识建构 综合应用
矩阵的特征值������ 特征多项式→特征方程 矩阵的特征向量������ ������������ ������的简单表示 特征向量在实际问题中的应用
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 矩阵的特征值与特征向量
在一个线性变换的作用下,平面内有一些向量具有“不变 性”——变成了与自身共线的向量,即变成了原来向量的某个倍数, 如果这些向量为非零向量,我们称之为该线性变换的矩阵的特征向
知识建构 综合应用
专题四 转化思想的应用 转化思想就是把待解决或难解决的问题,转化为一类已经解决或 比较容易解决的问题.每一个数学问题都是在不断转化中获得解 决的,本讲中在求Anα时就利用了这种思想.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
32
9
应用已知 M=
, ������ =
, 求M100α.
13
应用 2 已知矩阵 A=
, 求A-1 的特征值.
2 -1
提示:先求出 A 的逆矩阵 A-1,再求特征值.
13
解:∵A=
, ∴ detA=
1 2
3 -1
= −7.
2 -1
1
∴A-1=
7 2
7
3
7
-
1 7
.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
x
设 A-1 的特征值为 λ,特征向量为 ξ=
∴t1=2,t2=1.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
1 ∴α=2 +
2 = 2ξ1+ξ2.
1
-3
∴A4α=A4(2ξ1+ξ2)=2A4ξ1+A4ξ2=2× ������14������1 + ������42������2 = 2 × 1 ×
-1-
知识建构 综合应用
矩阵的特征值������ 特征多项式→特征方程 矩阵的特征向量������ ������������ ������的简单表示 特征向量在实际问题中的应用
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
专题一 矩阵的特征值与特征向量
在一个线性变换的作用下,平面内有一些向量具有“不变 性”——变成了与自身共线的向量,即变成了原来向量的某个倍数, 如果这些向量为非零向量,我们称之为该线性变换的矩阵的特征向
知识建构 综合应用
专题四 转化思想的应用 转化思想就是把待解决或难解决的问题,转化为一类已经解决或 比较容易解决的问题.每一个数学问题都是在不断转化中获得解 决的,本讲中在求Anα时就利用了这种思想.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
32
9
应用已知 M=
, ������ =
, 求M100α.
13
应用 2 已知矩阵 A=
, 求A-1 的特征值.
2 -1
提示:先求出 A 的逆矩阵 A-1,再求特征值.
13
解:∵A=
, ∴ detA=
1 2
3 -1
= −7.
2 -1
1
∴A-1=
7 2
7
3
7
-
1 7
.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
x
设 A-1 的特征值为 λ,特征向量为 ξ=
∴t1=2,t2=1.
知识建构 综合应用
专题一 专题二 专题三 专题四
1 ∴α=2 +
2 = 2ξ1+ξ2.
1
-3
∴A4α=A4(2ξ1+ξ2)=2A4ξ1+A4ξ2=2× ������14������1 + ������42������2 = 2 × 1 ×
人教A版高中数学选修4-2-4.1.2 特征值和特征向量的计算-学案(无答案)
特征值与特征向量的计算【学习目标】知识与能力：1．了解二阶矩阵特征值与特征向量的直接求法。
2．掌握直接法求二阶矩阵特征值与特征向量的主要步骤，并能求简单二阶矩阵特征值与特征向量。
过程与方法：1．通过与过去知识的对比学习，进一步了解二阶矩阵特征值与特征向量的直接求法。
2．通过求简单二阶矩阵特征值与特征向量的过程，体验分析归纳得出求简单二阶矩阵特征值与特征向量的一般步骤。
情感态度与价值观：1．让学生在回顾旧知识时，学习新的知识。
2．培养合作交流意识。
【学习重难点】重点：二阶矩阵特征值与特征向量的直接求法。
难点：求二阶矩阵特征值与特征向量的主要步骤。
【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：特征值与特征向量1．设矩阵a bAc d⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξλξ=，则称λ是矩阵A的一个_________，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个_________。
注意：①特征向量必须是_________向量。
②特征值与特征向量是相伴出现的。
2．①一般地，设ξ是矩形λ的属性特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属性特征值λ的特征向量。
②一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。
（二）知识点二：特征值与特征向量的计算1．设数λ和非零向量x y ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足A ξλξ=，由此可得齐次线性方程组：_________。
如果x y ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵A 的特征向量，则x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是齐次性方程组的一个_________；反之，如果x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是齐次性方程组的一个非零解，则x y ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵A 的_________。
2．齐次性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式__________________。
求解得到111x y ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，222x y ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
所以111A ξλξ=，222A ξλξ=。
所以_________是矩阵A 的特征值，_________是矩阵的分别属于特征值_________的一个特征_________。
特征值与特征向量课件课件
就是属于特征值 0 的一个特征向量. 于是可得求
线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：
Step 1 ：在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , …,
n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；
Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征
方程在数域 P 中的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同 的特征值 1 , 2 , …, s ，它们也就是线性变换 A 的全部特征值.
第3页，幻灯片共40页
二、几何意义
在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的
特征值与特征向量的几何意义是：
特征向量 ( 起
点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，
特征值 0 > 0，反向时， 0 < 0，且 0 的绝对值等 于 | A | 与 | | 之比值； 如果特征值 0 = 0，则特
a22 a22
an1 an2 ann
称为 A 的特征多项式， 这是数域 P 上的一个 n
次多项式.
第12页，幻灯片共40页
上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特
征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个
根； 反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数
域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
关于特征值与特征向 量课件
第1页，幻灯片共40页
一、定义
我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基 之后，线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩 阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我 们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形
式. 从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择
基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简 单形式. 为了这个目的，先介绍特征值和特征向量
人教版高中数学选修四教学课件-特征向量的应用
(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;
(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年
增加兔子数的0.1倍;
(3)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示;
(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30
只.这样,兔子和狐狸的生态模型为
σ2α=A2α=A(Aα)=A(t1λ1ξ1+t2λ2ξ2)=t1λ1(Aξ1)+t2λ2(Aξ2) =t1������12������1 + ������2������22������2, σ3α=A3α=A(A2α)=A(t1������12������1 + ������2������22������2) = ������1������12(Aξ1)+t2������22(Aξ2)=t1������13������1 + ������2������32������2,
110
������������ ������������
= 210-110 × 0.95������ , = 140-110 × 0.95������ .
当n
越来越大时,0.95n
越来越趋近于
0,Rn
和Fn分别趋向常量210和140,即随着时间的增加,兔子和狐狸的数 量逐渐增加,当时间充分长后,兔子和狐狸的数量达到一个稳定的
题型一 题型二
分析:根据已知条件首先要转化为向量表示及其矩阵形式表示,
其次求出矩阵的特征值及其特征向量,最后解答.
������������
1.1 -0.15
解:设 αn=
,M=
,αn=Mαn-1=M(Mαn-
������������
2014年人教A版选修4-2课件 1. 变换的不变量-矩阵的特征向量
(1) x1=
1 ; 0
(2) x2=
0 ; 1
(3) x3=
1 . 2
1 0 1 1 1 A x = (1) =1x1, 与 x1 共线. = = 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 (2) Ax2= == = -1x2, 与 x2 共线. 0 -1 1 1 -1 1 1 0 1 1 (3) Ax3= = = -2 2 与 x3 不共线. 0 -1 2
又 Ax1=l1x1, ∴ l2x1=l1x1, (l2-l1)x1=0, ∵ x1, x2 是非零向量, ∴ l2=l1, 这与 l1≠l1 矛盾, 则假设不成立.
问题3. 如果非零向量 x1, x2 是矩阵 A 的不同特 征值的特征向量, x1 与 x2 可能共线吗? 请证明你的 结论. 一般地, 属于矩阵的不同特征值的特征向 量不共线.
定义:
a b 设矩阵 A = , 如果存在数 l 以及非零向量 c d x, 使得 Ax=lx, 则称 l 是矩阵 A 的一个特征值, x 是矩阵 A 的属于特征值 l 的一个特征向量.
由于矩阵与线性变换是一一对应的, “问题1” 就 是通过线性变换, 借助变换前后的向量是否共线, 以 确定 Ax=lx 是否存在. Ax1= 1 0 1 = 1 =1x1, 0 -1 0 0 1 0 1 向量 x1= 是矩阵 A= 属于特征值 1 的特征向量. 0 -1 0
问题2. 从以上两例中可看出, 一个矩阵 A 的属 于特征值 l 的特征向量有无穷多个吗? 是否能证明 你的结论?
若 x 是矩阵 A 的属于特征值 l 的特征向量, 则
Ax=lx. 若 k 为非零常数, 则 kx≠0, 于是有 A(kx) = kAx =k(lx) =(kl)x =l(kx), 则得 kx 也是矩阵 A 的属于特征值 l 的特征向量. 一般地, 设 x 是矩阵 A 的属于特征值 l 的一个 特征向量, 则对于任意的非零常数 k, kx 也是矩阵 A 的属于特征值 l 的特征向量.
高中数学人教A版选修4-2 第四讲 二 特征向量的应用 名校课件【集体备课】
= A2α = A(Aα)
t
2
(－1)2
ξ2，
=
A
t 1 ξ1
+
t
2
(－1)
ξ2
…… n－1
(σ • (…(σ • σ)…))α = An－1α = A(An－2α)
( ) =
A
t 1 ξ1
+
t2 (－1)n－2
ξ2
=
t
1
ξ1
+
t
2
(－1)n－1
ξ2
,
n
(σ • (…(σ • σ)…))α = Anα = A(An－1α)
与一个我平们面已向经量学过α 了.但矩实阵际A 问题大多可归结为研究二阶 矩乘以阵一的个方平幂面向A（量n nα∈,当Nn*很） 大时,直接用矩阵的乘法、 矩阵与向量的乘法会很麻 烦.能否找到一种简单的计 算方法?
知识与技能
掌握二阶矩阵的方幂与一个平面向 量的乘积的简单计算方法;
了解特征向量在实际问题的应用.
c9
c8
c0
tn = P tn－1 = P 2 tn－2 = … = P n t0
④
cn
cn－1
cn－2
c0
t0 = 0.7,c0 = 0.3.
∴ t1 = P t0 = 0.99 0.05 = 0.7 = 0.708
c1
c0 0.01 0.95 0.3 0.292
∴1分钟以后,气态物质占总物质的70.8%,
在扩散理论中的应用
设某物质能以液态和气态的混合状态存 在,又假设在任意一分钟内
(1)液态的5%蒸发成气态; (2)气态的1%凝结成液态. 现在这些物质中70%是气态的. 求:1分钟以后气态物质占总物质的比例是多 少?2分钟?10分钟?最终的情况如何?
人教版A版高中数学选修4-2特征值与特征向量
而例2中的矩阵
2 1 0 A 1 2 0
1 1 1
由于其3个特征值为1=2=1, 3=3. 对应的特征向量:
1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以
1 0 1
取相似变换矩阵P=(1, 2, 3)=
AP=(01, 02,…, 0t, At+1, At+2,…, An) 由于1, 2,…, n线性无关, 所以At+1, At+2,…, An都能由1, 2,…, n线性表示, 所以可以令
AP=(01, 02,…, 0t, At+1, At+2,…, An)
2 1 0 0 0 0
所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:
1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T. 1, 2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量. 对于特征值λ3=2, 由于
3 3 0
2E
-
A
6 2
则由+=0, 而,分别是属于1,2的特征向量, 矛盾.
所以==0, 即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0, 线性无关.
例4 设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆.而|A|=-2
于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是 A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A)
E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P
=P-1E - AP=E -A 注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵
1
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an1 an2 ann
a11 l A l E a21
a12
a22 l
a11 l
AlE
a21
an1
a12 a22 l
an2
a1n
A11 A12
a2n A21 A22
an1
an 2
ann l An1 An2
1 A A j1 j2 jn 1 j1 2 j2
Anjn
j1 j2 jn
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数
A的属于l=4 的特征向量：cV cc c≠0
1、求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
l0使方程A lEX O有非零解
n元齐次方程组 A lEX O有非零解 A lE 0
A的对应于特征值li的特征向量: 方程组(A-liE)X=O的全部非零解
步骤：1）把 l= li代入方程(A-liE)X=O
得一齐次线性方程组(A-liE)X=O 2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系
V1、V2、…、Vs 3） A的属于特征值li 的特征向量为：
c1V1 c2V2 csVs c1, c2 ,, cs 是不全为零任意常数
例如：对 A 53 11 ，取 l=4，代入方程AX= lX
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A 4E 53
(A-4E)X= O
11 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
0 0
5xx115xx22
0 0
x1 x2 0 有非零解
所以，l=4是矩阵A的一个特征值
(a11 l)(a22 l) (ann l)
(1)n l n
fn l
a1n
a2n
ann
l
A1n A2n
Ann
则方程 A lE 0即 fn l 0是l的n次方程
在复数域上，方程 A lE 0一定有 n个根。
A lE fn l
A的特征多项式
方程 A lE 0
A的特征方程
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤：
l0使 A lE 0成立 l0是特征方程A lE 0的根
(1) 计算n阶行列式
A lE
(2)令 A lE 0 解得方程的根l1，l2，… ，ln， 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
0
0
1 0
0
2 0 2
0 0 1
0 0 0
x21 x22xx2 300
x1 x3
7 l 8 1 l6 l 2 l7 l2
得 l1 =-2， l 2 = l 3= 7（二重根）
则A的特征值为l 1 =-2，l 2 = l 3= 7
把l1 =-2代入方程(A-lE)X=O ，得
(A +2E)X=O
5 2 4 x1 0 2 8 2 x2 0 4 2 5 x3 0
2 5
43 的特征值
解：A lE
2l
5
3 2 l4 l 15 l2 6l 7
4l
令 A lE 0， 得 l1 =-1，l2 =7
则A的特征值为l1 =-1，l2 =7
2、求A的属于特征值l的特征向量
设li是A的特征值，则方程AX=li , X有非零解. 即方程(A-liE)X=O有非零解，
1
于是，A的属于l2=1的全部特征向量为：c2V2
1
c1
2
,
c2
1
0
【例3】求矩阵
3 A 2
2 6
4 2
的特征值与特征向量
4 2 3
解：
3 l 2 4 3 l 2 4 3 l 2 1 l A lE 2 6 l 2 2 6 l 2 2 6 l 4
4 2 3 l 7 l 0 7 l 7 l 0 0
定义 2 设A为n阶方阵，l1,l2,
则其特征方程可表示为：
,lm 为其特征值组，
l l1 k1 l l2 k2
l lm km 0
则ki称为 li的代数重数(重数)，而li 特征子空间的维数
称为几何重数(度数)。
di dimVi 显然：k1 k2
di ki
km n
【例1】求
A
1
(A-E)X=O
2 1 0 x1 0 4 2 0 x2 0 1 0 1 x3 0
2 1 20 100 0 行变换
0A 0 40 200 0 1 0 11 001 0
2x1 x2 x1 x3
0
0
x2 x3
2x1 x1
1
取 x 1 1 得一基础解系 V2 2
特征值特征向量的计算
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果 存在数
l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征
值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量
方程AX=lX
AX-lX =O (A-lE)X=O
即不论l取何值，方程AX=lX一定有解
特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0 A的对应于l0的特征向量：方程AX l0 X的非零解
(A -2E)X=O
3x1 4x1
x2 x2
0 0
x1 0
3 1 0 x1 0 4 1 0 x2 0 1 0 0 x3 0
x1 x2
0 0
0
取 x3 1 ,得一基础解系
V1 0
于是，A的属于l1
1
=2的全部特征向量为：
c1V1
c1
0 0
,
c1
0
把l2= l3= 1代入方程(A- lE)X=O ，得
1 1 0
【例2】求矩阵 A 4 3 0的 特征值与特征向量 1 0 2
解：
1 l 1 0
A lE 4 3 l 0 2 l 1 l 3 l 4 2 l 1 l 2
1 0 2l
得 l1 =2，l2 = l3= 1（二重根）
则A的特征值为l1 =2，l2 = l3= 1
把l1 =2代入方程(A- lE)X=O ，得
5 2 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 2 0 0 A 2 8 2 0 2 8 2 0 0 0 0 0` 0 0 0 0
4 2 5 0 4 2 5 0 0 18 9 0 0 2 1 0
5
A
2
4
2 8 2
4 2 5
0