力 第二讲 运动方程

练习: 1.已知某质点的运动方程为 x 3t 2 5t 3 6t (SI制). 求该质点的加速度. 2.一质点沿 x 轴作直线运动, 其运动方程为 x 3 5t 6t 2 t 3 (SI制). 求: (1) 质点在 t 时刻的速度 v ; (2) 加速度为零时, 该质点的速度 v . 3.一质点在 xoy 平面内运动, 运动方程为: x 2t , y 19 2t 2 (SI制) (1) 分别写出 t 1s 和 t 2s 时刻质点的位置矢量, 并计算在这一秒内质点的平均速度; (2) 分别计算1s 末和 2s末质点的速度和加速度.
四. 抛体运动 特点: a g x x0 初始条件: t 0 时, , y y0 v0 x v0 cos0 v0 y v0 sin 0 vx v0 cos0 速度: vy v0 sin0 gt x x0 v0 cos0 t 运动方程: 1 2 y y0 v0 sin 0 t gt 2 1 2 矢量形式: r ? r0 v0t gt 2
x v0 x t
v0
o
0
x
x x0 h cot 0 1 2 猴子: 解: 子弹: 1 2 y v0 y t gt y h gt 2 2 h , x ? x 令 y y t v0 y
能击中!
求: 能否击中? — 二者能否同时到达同一位置?
v vx i vy j vz k , 2 dv d r a 2 dt dt
例3. 一质点沿直线运动, 其坐标 x 与时间 t 的关系为:
x A sin t (SI制) ( A 为常数). A 2 sin t (m / s 2 ) ; (1) 任意时刻 t , 质点的加速度 = 2n 1 (s) (n 0, 1, 2, ) 2 (2) 时刻, 质点的速度为零;
v0
方法2: a x x (v )
dv dv dx dv dv k v , v, dt dx dt dx dt m m dx dv, 积分得: k m x(t ) v C k m 当 t 0 时, v v0 , x x0 0 C v0 k m 故 x(t ) (v0 v(t )) k 当 v(t ) 0时, 飞机滑行的距离最长, mv0 9000 700 xm 1.05 km 6 k 6.0 10
t
x 30o , 速率为2 m / s, 求: 质点的运动方程. (0, 2)m处, v0 ① 2 ② 已知: ax 0, a y 2 m / s , t 0 时, x0 0, y v0 y0 2 m, v0 2 m / s, 0 30o 0
求: 运动方程
0 t
t
v0 cos30o 3 ax dt
o t y 0 0
0
t
0
0 x t 0
2
0
y
2
t
2
0
例7. 一质点沿 x 方向运动, 其加速度随位置的变化关系为 a 3x 2 1/ 3, 若 x 0 处, 速度 v0 5 m / s, 解: a a ( x) a ( x(t )) 问: x 3m 处的速率是多少?
t r r0 vdt t0
x x0 , y y0 vx v0 x , vy v0 y
vx v0 x ax dt v y v0 y a y dt
t0 t0 t t
x x0 vx dt y y0 v y dt
t0 t0 t
§1.2 运动方程
一. 运动方程
定义: 质点的位置随时间变化的函数关系. 运动方程的矢量形式: r r (t ) 运动迭加原理(独立性原理) 一个运动可看成几个 独立进行的运动的迭加. 合成
z
r
o
P( x, y, z)
y
x A
B
v0
独立运动
简单运动 分解
合运动
复杂运动 x x(t ) 运动方程的分量形式: y y(t ) z z (t )
y
v0
0
o
x
例8. 一人站在地面上用枪瞄准树上的猴子, 子弹射出枪口的 同时, 猴子从树上自由下落. 问: 子弹能否击中猴子? y 子弹: v0 , 已知: t 0 时, h 猴子: v0 0
子弹: v0i 0 , y0 0, x0 0, 瞄准: 猴子: v0 0, y0 h, x0 h cot 0
h
v0
轨迹方程: 1 x2 y h g 2 2 v0
o
x
例2. 运动方程: r 5sin ti 5cos t j (SI) 轨迹方程: x 2 y 2 25

x 5sin t y 5cos t
二. 由运动方程确定运动状态
位置矢量: r xi y j zk , 位移: r xi y j zk ,
在直角坐标系中 大小: 起点到终点的距离 方向: 起点指向终点 2 2 v v vx v y vz2 大小: 方向: 沿轨迹的切线
速度:
v v x i v y j vz k ,
dx vx dt dy vy dt dz vz dt
dr dx d y dz v i j k dt dt dt dt
§1.2 运动方程
一. 运动方程
运动方程的矢量形式: 分量形式:
z
r r (t ) x x(t ) y y(t ) z z (t )
r
o
P( x, y, z)
y
x
轨迹方程—描述质点运动轨迹的方程, (质点的各个坐标间的函数关系) y 消去 t 运动方程 轨迹方程 例1. 平抛运动 运动方程: x v0t 1 2 y h gt 2
已知: m 9000kg , F kv, t 0 时, x0 0, v0 700km / h, 求: 滑行的最长距离
x o a v x(t ) 解: 方法1: dv dv k 分析: m kv dt , dt v m F av x k t v k ln t , 即 v(t ) v0e m v0 m k t t mv0 (1 e m ) 飞机的运动方程: x v(t )dt 0 k t 时,飞机滑行的距离最大, mv0 9000 700 1.05 km xm 6 k 6.0 10
加速度:
a a x i a y j az k ,
dvx d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dvz d 2 z az 2 dt dt dv dvx dv y dvz a i j k dt dt dt dt 2 d r d 2x d 2 y d 2z 2 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt 沿自然坐标系分解
例6. 一质点的加速度 ax 0、 y 2 m / s , t 0 时, 质点在 a
2
2
③ 解: vx v0 x
y 0y
④ 讨论: 步骤
o x v v a dt v sin30 2dt 1 2t x x v dt 3 t x 3t 故运动方程为 y 2t t y y v dt 或 r 3 t i (2 t t ) j 2 (1 2t )dt 2 t t
4. 一质点沿 x 方向运动, 其加速度随时间变化的关系为
a 3 2t (SI制), 如果t 0 时质点的速度为 5m / s , 则当 t 为 3s 时, 质点的速度 v 23 m / s .
v v0 (3 2t )dt 5 3t t 2
0
t
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5. 某飞机在降落时, 为减小滑行距离, 在触地瞬间,飞机尾部 张开减速伞, 以增大阻力, 使飞机迅速减速并停下来. 现有 一质量为 9000kg的飞机, 着陆时的水平速度为700km / h . 经测试,打开减速伞后, 飞机所受总阻力与飞机的速度成 正比(比例系数为k 6.0 106 kg / h ). 问: 从着陆点算起, 飞机滑行的最长距离是多少?
2 2 r at i bt j (其中 a , b为常量),
问: 该质点做什么运动?
x at 2 , y bt 2 解:
b y x a 2 d r a 2ai 2b j , 2 dt
故质点做匀变速直线运动 (匀加速).
例5. 一质点沿 x 轴正向运动, 假设该质点通过坐标为x 时的速度大小为 k x ( k 为正常量). 求: (1) 此时该质点的加速度; (2) 该质点从 x x1点出发运动到 x x2 处所经历的时间间隔 t . 解: (1) v kx
(1)n1 A 2 . (3) 质点的速度为零时, 加速度
2n 1 (s) dx v A cos t , 令 v 0 得, t 2 dt (n 0, 1, 2, ) dv 2 a A sin t , dt
例4. 一质点在平面上运动, 若该质点位置矢量的表达式为
加速度变化的三种情况:
dv dv dx a dt dx dt dv v 3x 2 1/ 3 dx v x vdv (3x 2 1/ 3)dx v0 0 1 2 2 3 (v v0 ) / 2 x x 3 v x 3 m 9 m / s
dv a a(t ) dt dv dx a a( x) dx dt dv dt a a (v ) dv dx dx dt
dv dx kv k 2 x a k dt dt dx dx (2) kx kdt dt x 1 x2 t ln k x1
运动学的两类问题: 运动方程
微分 积分
v (t ) 或 a (t )
初始条件 分量形式:
三. 建立运动方程
矢量形式:
r r0 已知: a (t ), t t0时, 初始条件 v v0 dv a t dt v v0 adt t0 dv adt