第二章 第二节 最小二乘拟合多项式
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k 1
由此，得到如下线性方程组
7 7 7 a b xk yk k 1 k 1 7 2 7 2 a x b x x y k k k k k 1 k 1 k 1
解之有 a 70.527, b 0.291 从而得近似多项 式
ˆ y 70.572 0.291x
解之得 a0 1.036, a1 0.751, a2 0.928, 故
P2 x 1.036 0.751x 0.928x 2 .
例1 k
温度x 电阻y
测得铜导线在温度
x 时的电阻 y 如下
4
36.0 80.80
1
19.1
76.30
2
25.0 77.80
3
30.1 79.25
5
40.0 82.35
6
45.1
7
50.0
83.90 85.10
求电阻 y 和温度
x 间的关系
。
解决这类问题通常的步骤如下 : (1)用一坐标将
（1）
x，y值描于图上
试按最小二乘法构造 f x 的二次近似多项式。 解 经简单计算可得关于参数 a0 , a1 , a2 的方程组为
5a0 3.250a1 2.503a2 9.942, 3.250a0 2.503a1 2.090a2 70185, 2.503a 2.090a 1.826a 5.857. 0 1 2
x f x P x dx
b a
inf
P x H n
f P
2
此时称
Pn x
为 f x 在 a, b上的最佳平方逼近多项式。
P Pn x 是否存在？是否唯一？如何求得？ n x
我们将要研究
二、最小二乘拟合多项式
2.4
称为数据 2.2 的最小二乘拟合多项式，或变量 x, y 之间的
数学模型（经验公式）。
由于 非负，且为 a0 , a1 , an 的二次多项式，故 a0 , a1 ,, an
必有最小值，其最小值可如下求得： 令：
a j 0, j 0,1, n
一般来说，设给定一组数据 则适当选择系数 a0 , a1 , an n m 后，使
a0 , a1 , an yk Pn xk
k 1 m 2
xk , yk , k 1, 2, m
2.2
2.3
达到最小的多项式 Pn x an x n a1x a0
即 或写成
y
m k 1
k
a0 a1 xk an xkn xkj 0,
j 0,1, 2, n
y x
k 1
m
j k k
a0 x a1 x
k 1 j k k 1
m
m
j 1 k
an xkj n ,
k 1
m
j 0,1,, n
第二节
最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题
二、最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题
最佳平方逼近问题的提法是：设 f x 是 a, b 上的连续函数，
H n 是所有次数不超过
n 的多项式的集合，在 H
n 2 1/ 2
n
Pn x 中求
逼近
f x ，使 f P
n 2
2.1
k 通常称为残差。
它是衡量被确定的参数
a 和 b（也就是近似多项式
，
ˆ y a bx
确定参数
）好坏的重要标志。
a ， b 原则：
①使残差绝对值中最大的一个达到最小，即 T max k 为最小； k ②使残差绝对值之和达到最小，即
k
k
为最小；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k2 为最小； ③使残差的平方和达到最小，即
k
①
原则③确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是
通常所说的最小二乘法。
用最小二乘法确定参数
a 和 b ，应使
7 2 k 1
a, b yk a bxk
取最小值。因此，应有
7
2 yk a bxk 0
k 1
7
2 yk a bxk xk 0
引进记号
sj x ,
k 1 j k
m
u j yk xkj
k 1
m
则上述方程组成为
s j a0 s j 1a1 s j n an u j , j 0,1,, n
2.5
这是 Pn x 系数 a0 , a1 ,, an满足的方程组，称为正规方程
组（或法方程组）。
可以证明，当 x0 , x1 ,, xn 互异时，该方程组有唯一解
a0 , a1 ,, an 它们使得 2.3 取最小值。如此，我们便得
到了最小二乘拟合多项式 Pn x 。
例7
设已知函数 f x 的表列值为
x
y
0.2
0.5
0.7
0.85
1
1.221 1.649 2.014 2.340 2.718
在一条直线
y
( xi , y (2)凭视觉知， i )
y 上的两测附近，于是可设
x，
近
x
y 似的成直线关系。
ˆ y ax b
ˆ y与
上面的直线关系称为数学模型。在第 k 次观测数据中， 实测值 yk有误差
ˆ k yk yk yk a bxk , k 1, 2,, n
由此，得到如下线性方程组
7 7 7 a b xk yk k 1 k 1 7 2 7 2 a x b x x y k k k k k 1 k 1 k 1
解之有 a 70.527, b 0.291 从而得近似多项 式
ˆ y 70.572 0.291x
解之得 a0 1.036, a1 0.751, a2 0.928, 故
P2 x 1.036 0.751x 0.928x 2 .
例1 k
温度x 电阻y
测得铜导线在温度
x 时的电阻 y 如下
4
36.0 80.80
1
19.1
76.30
2
25.0 77.80
3
30.1 79.25
5
40.0 82.35
6
45.1
7
50.0
83.90 85.10
求电阻 y 和温度
x 间的关系
。
解决这类问题通常的步骤如下 : (1)用一坐标将
（1）
x，y值描于图上
试按最小二乘法构造 f x 的二次近似多项式。 解 经简单计算可得关于参数 a0 , a1 , a2 的方程组为
5a0 3.250a1 2.503a2 9.942, 3.250a0 2.503a1 2.090a2 70185, 2.503a 2.090a 1.826a 5.857. 0 1 2
x f x P x dx
b a
inf
P x H n
f P
2
此时称
Pn x
为 f x 在 a, b上的最佳平方逼近多项式。
P Pn x 是否存在？是否唯一？如何求得？ n x
我们将要研究
二、最小二乘拟合多项式
2.4
称为数据 2.2 的最小二乘拟合多项式，或变量 x, y 之间的
数学模型（经验公式）。
由于 非负，且为 a0 , a1 , an 的二次多项式，故 a0 , a1 ,, an
必有最小值，其最小值可如下求得： 令：
a j 0, j 0,1, n
一般来说，设给定一组数据 则适当选择系数 a0 , a1 , an n m 后，使
a0 , a1 , an yk Pn xk
k 1 m 2
xk , yk , k 1, 2, m
2.2
2.3
达到最小的多项式 Pn x an x n a1x a0
即 或写成
y
m k 1
k
a0 a1 xk an xkn xkj 0,
j 0,1, 2, n
y x
k 1
m
j k k
a0 x a1 x
k 1 j k k 1
m
m
j 1 k
an xkj n ,
k 1
m
j 0,1,, n
第二节
最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题
二、最小二乘拟合多项式
一、最佳平方逼近问题
最佳平方逼近问题的提法是：设 f x 是 a, b 上的连续函数，
H n 是所有次数不超过
n 的多项式的集合，在 H
n 2 1/ 2
n
Pn x 中求
逼近
f x ，使 f P
n 2
2.1
k 通常称为残差。
它是衡量被确定的参数
a 和 b（也就是近似多项式
，
ˆ y a bx
确定参数
）好坏的重要标志。
a ， b 原则：
①使残差绝对值中最大的一个达到最小，即 T max k 为最小； k ②使残差绝对值之和达到最小，即
k
k
为最小；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k2 为最小； ③使残差的平方和达到最小，即
k
①
原则③确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是
通常所说的最小二乘法。
用最小二乘法确定参数
a 和 b ，应使
7 2 k 1
a, b yk a bxk
取最小值。因此，应有
7
2 yk a bxk 0
k 1
7
2 yk a bxk xk 0
引进记号
sj x ,
k 1 j k
m
u j yk xkj
k 1
m
则上述方程组成为
s j a0 s j 1a1 s j n an u j , j 0,1,, n
2.5
这是 Pn x 系数 a0 , a1 ,, an满足的方程组，称为正规方程
组（或法方程组）。
可以证明，当 x0 , x1 ,, xn 互异时，该方程组有唯一解
a0 , a1 ,, an 它们使得 2.3 取最小值。如此，我们便得
到了最小二乘拟合多项式 Pn x 。
例7
设已知函数 f x 的表列值为
x
y
0.2
0.5
0.7
0.85
1
1.221 1.649 2.014 2.340 2.718
在一条直线
y
( xi , y (2)凭视觉知， i )
y 上的两测附近，于是可设
x，
近
x
y 似的成直线关系。
ˆ y ax b
ˆ y与
上面的直线关系称为数学模型。在第 k 次观测数据中， 实测值 yk有误差
ˆ k yk yk yk a bxk , k 1, 2,, n