现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

V ( x) = ∫ (gradV ) dx = ∫
0
x
τ
x n
0
∑ ∇ Vid xi
i =1
变量梯度法 (4/10)
(5 − 29)
� 而rot(gradV)=0的充分必要条件是: � gradV的雅可比矩阵
⎡ ∂∇Vi ⎤ ∂ grad V ( x) = ⎢ ⎥ τ ∂x ∂ x ⎢ ⎣ j ⎥ ⎦
� 由塞尔维斯特准则有
∆1 = −6 < 0, −6 2 2 ∆2 = = 36 x 2 +8> 0 2 2 −2 − 6 x2
ˆ ( x负定 ) , 所以由克拉索夫斯基定理可知, 平衡 � 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
变量梯度法 (1/10)
5.4.2 变量梯度法
� 舒尔茨和吉布生在1962年提出的变量梯度法,为构造李雅普诺 夫函数提供了一种比较实用的方法。 � 该方法的思想是设法构造出Lyapunov函数的梯度来分析 Lyapunov函数的定号性。 � 设非线性定常连续系统的状态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
且所讨论的平衡态为原点,即xe=0。
变量梯度法 (2/10)
� 设所找到的非线性系统的判定平衡态 xe=0是渐近稳定的李雅 普诺夫函数为 V(x), 它是 x 的显函数 , 而不是时间 t 的显函数 , 则 V(x)的单值梯度gradV存在。 � 梯度gradV是如下定义的n维向量:
̇τ x ̇ = f τ ( x) f ( x) V ( x) = x
则其导数为
̇ (t ) = f ( x ) x
̇τ x ̇ = f τ ( x) f ( x) V ( x) = x
克拉索夫斯基法 (3/7)
̇ ( x ) = [ f τ ( x ) f ( x)]′ V ⎡ ∂f ( x ) ̇ ⎤ ⎡ ∂f ( x) ̇ ⎤ τ x f x f x x⎥ =⎢ ( ) + ( ) τ τ ⎥ ⎢ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂x ⎦ = f τ ( x ) J τ ( x) f ( x) + f τ ( x) J( x) f ( x) ˆ( x) f ( x) = f τ ( x) J
克拉索夫斯基法 (4/7)
� 在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。 � 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必 要条件。 � 如对于渐近稳定的线性定常连续系统
̇1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡x =⎢ ⎢x ⎥ ⎥ ⎢x ⎥ ̇ − 2 − 7 ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦⎣ 2⎦
� 可取作李雅普诺夫函数,因此,有
1 ⎤ ∂f ( x ) ⎡ − 3 =⎢ 2⎥ τ 1 − 1 − 3 x ∂x 2⎦ ⎣ 2 ⎤ ˆ ( x ) = J ( x ) + J τ ( x ) = ⎡− 6 J ⎢ 2 − 2 − 6x 2 ⎥ 2⎦ ⎣
J ( x) =
克拉索夫斯基法 (7/7)
式中,aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数 ,它们可以是常数 , 也可以是 t 的函数或x1,x2,…,xn的函数。 � 通常将aij选择为常数或t的函数。
V ( x ) = ∫ ∇ V1 (x ,0,⋯,0) dx1 + ∫ ∇ V2
0
1
x1
x2
0
(x1 ,x2
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn ,0,⋯ ,0)
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录(1/1)
目 录
� 概述 � 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 � 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 � 5.3 线性系统的稳定性分析 � 5.4 非线性系统的稳定性分析 � 5.5 Matlab问题 � 本章小结
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
n× n
是对称矩阵,即
∂∇Vi ∂∇ V j = ∂x j ∂xi ∀i, j = 1, 2, ⋯, n
� 当上述条件满足时 ,式(5-29)的积分路径可以任意选择 , 故 可以选择一条简单的路径,即依各个坐标轴xi的方向积分
V ( x ) = ∫ ∇V1 (x ,0,⋯,0) dx1 + ∫ ∇V2
克拉索夫斯基法 (1/7)
5.4.1 克拉索夫斯基法
� 设非线性定常连续系统的Baidu Nhomakorabea态方程为
̇ (t ) = f ( x ) x
� 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2) f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵
J ( x ) = ∂f ( x ) / ∂xτ
� 对上述非线性系统 ,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯 基定理。
变量梯度法 (3/10)
�由
∂V ∂V ̇ ̇ ̇n = (gradV )τ x ̇ x V( ) = x1 + ⋯ + x ∂x1 ∂xn
可知,V(x)可由gradV的线积分求取,即
V ( x ) = ∫ (grad V )τ dx = ∫
0
x
x n
0
∑ ∇Vi dxi
i =1
式中,积分上限x是状态空间的一点(x1,x2,…,xn)。 � 由 场 论 知 识 可 知 , 若 梯 度 gradV 的 n 维 旋 度 等 于 零 , 即 rot(gradV)=0,则V可视为保守场 ,且上式所示的线积分与路 径无关。
� 由于
⎡ 0 −1 ⎤ τ ˆ J ( x ) = J ( x ) + J ( x) = ⎢ ⎥ − 1 − 14 ⎣ ⎦
不是负定矩阵, 故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。 � 可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。
克拉索夫斯基法 (5/7)
� 若 V(x)=f τ (x)f(x) 正定 , 为 Lyapunov 函数 , 则说明只有当 x=0 时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。 � 因此 ,只有原点是系统的唯一平衡态 ,才能用克拉索夫 斯基定理判别渐近稳定性, 并且由该定理判别出的渐 近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。 � 由克拉索夫斯基定理可知 ,系统的平衡态 xe=0是渐近稳定 的条件是J(x)+Jτ(x)为负定矩阵函数。 � 由负定矩阵的性质知 , 此时雅可比矩阵 J(x) 的对角线 元素恒取负值 , 因此向量函数 f(x) 的第 i 个分量必须包 含变量 xi, 否则, 就不能应用克拉索夫斯基定理判别该 系统的渐近稳定性。 � 将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知 :对称 矩阵A+Aτ负定,则系统的原点是大范围渐近稳定的。
0
xn
(x1 ,x 2 ,⋯,x n
dxn )
(5 − 31)
变量梯度法 (6/10)
̇ ( x ) = (gradV )τ x ̇ ( x )。 ̇ 定义 V 2) 由 V ̇ ( x )为负定的条件,可以决定部 � 由平衡态渐近稳定时 V 分待定参数aij。
3) 由限制条件
∂∇Vi ∂∇ V j = ∂x j ∂xi ∀i, j = 1, 2, ⋯, n
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
� 对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: � 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如, � 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯 基法(也叫雅克比矩阵法) � 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量 梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) � 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔 曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)
� 由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在 寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标轴平移,将系统的 所讨论的平衡态移至原点。 � 在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡 态的范围。 � 下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。 � 克拉索夫斯基法 � 变量梯度法 � 阿依捷尔曼法
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
� 本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 � 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 � 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 � 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
� 由gradV可得如下V(x)的导数
̇ ( x ) = (gradV )τ x ̇ V ⎡ x2 ⎤ = [a11 x1 + a12 x2 a21 x1 + a22 x2 ] ⎢ 3⎥ − x − x ⎣ 2 1⎦ = x1 x2 (a11 − a21 − a22 x12 ) + x22 (a12 − a22 ) − a21 x14
̇ (t ) = f ( x ) x
克拉索夫斯基法 (2/7)
� 定理5-11 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充 分条件为
ˆ ( x) = J ( x) + J τ ( x ) J
为负定的矩阵函数,且
̇τ x ̇ = f τ (x ) f (x ) V ( x) = x
为该系统的一个李雅普诺夫函数。 � 更进一步,当|| x|| →∞时,有||f(x)||→∞,则该平衡态是大范围 渐近稳定的。 � 证明 当非线性系统的李雅普诺夫函数为
⎡ ∂V ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 1⎥ ∆ dV grad V ( x) = =⎢ ⋮ ⎥= dx ⎢ ⎥ ∂ V ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ∂xn ⎥ ⎦ ⎡ ∇V1 ⎤ ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣∇Vn ⎥ ⎦
� 舒尔茨和吉布生建议, 先假设gradV具有某种形式, 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
克拉索夫斯基法 (6/7)
� 例4-12 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:
⎡− 3 x1 + x2 ⎤ ̇ = f ( x) = ⎢ x 3⎥ x − x − x ⎣ 1 2 2⎦
� 解 由于f(x)连续可导且
3 2 f τ ( x ) f ( x ) = (−3x1 + x2 )2 + ( x1 − x2 − x2 ) >0
式中决定其余待定参数aij。 4) 按式(5-31)求线积分,获得V(x)。 � 验证 V(x) 的正定性, 若不正定则需要重新选择待定参 数aij,直至V(x)正定为止。 5) 确定平衡态xe=0渐近稳定的范围。
变量梯度法 (7/10)—例5-14
� 由上述构造过程可知,变量梯度法只是建立非线性系统的李 雅普诺夫函数的充分性方法。 � 用这种方法没有找到适宜的李雅普诺夫函数,并不意味着 平衡态就不是渐近稳定的。 � 例5-14 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性。
0
1
x1
x2
0
(x1 , x2 ,0,⋯ ,0)
dx2 + ⋯ + ∫ ∇Vn (x , x ,⋯, x ) dxn
0
1 2
xn
n
变量梯度法 (5/10)
� 按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。 1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
⎡ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + ⋯ + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ grad V = ⎢ 21 1 ⎢ ⎥ ⋮ ⎢ ⎥ a x + a x + ⋯ + a x ⎣ n1 1 2n 2 nn n ⎦
� 在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 � 对非线性系统则不然。 � 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 � 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
τ � 由于 V ( x ) = f ( x ) f ( x)为系统的一个李雅普诺夫函数,即 τ
f τ ( x) f ( x) 正定。
ˆ ( x) 负定,则 V ̇ ( x, t) = f τ ( x) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 � 因此,若 J
� 所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定 的 。 ���
̇1 = x2 ⎧x ⎨ ̇2 = − x2 − x13 ⎩x
� 解 显然xe=0是系统的平衡态。 � 可设李雅普诺夫函数V(x)的梯度为
⎡ ∇V1 ⎤ ⎡ a11x1 + a12 x2 ⎤ grad V = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ∇ V a x + a x ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 1 22 2 ⎦
变量梯度法 (8/10)