工程制图 第四章 立体截切及相贯投影
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土木工程制图 教学课件 作者 张爽 第四章立体的投影
【例4-13】已知四棱柱体与三棱柱体相贯的水平 投影图和侧面投影图，求相贯线正投影。
平面立体与曲面立体相交
方梁和圆柱相贯
【例4-14】已知圆锥体薄壳基础的轮廓线，求其相贯线。
曲面立体与曲面立体相交
辅助平面法
表面取点
【例4-15】求两正交圆柱的相贯线。
【例4-16】求轴线正交的圆柱和圆锥的相贯线。
s″
z
z
k′ z n′
z
k″
z
z (n″)
a′
b′
c′ a″(c″)
b″
a
c
s
n z
z
k
z
b
【例4-2】完成三棱锥表面线条的各面投影。
曲面立体的投影
一、圆柱体
圆柱体
圆柱由圆柱面和上、 下两底面组成。
圆柱面可看成是由 直线AA1绕与它平行的 轴线旋转而成。
直线AA1称为母线。
圆柱面上与轴线平 行的任一直线称为圆柱 面的素线。
截切——用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截交线
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
一、平面和平面立体的截交线
截交线的性质： • 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。 • 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
1、形体分析 2、投影选择 ⑴ 选择安放位置 ⑵ 选择正面投影方向 ⑶ 选择投影图的数量 3、先选比例、后定图幅或先定图幅、后选比例 4、画底稿线（布图、画基准线、逐个画出各基本形 体投影图，标注尺寸） 5、检查整理底稿、加深图线、书写文字 ，完成全图
1、形体分析的内容 1) 平面体相邻组成部分间的表面衔接与投 影图的关系
工程制图 第四章 基本立体的投影
球面投影 可见性判断
工程图学基础/机械设计制图
圆球表面取点取线
圆球表面一点N 已知n′ n′， 例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' N (n" )
O
点N在球面的 一水平圆上
n
工程图学基础/机械设计制图
圆环 圆环的形成 圆环的形成
轴线 圆绕与其共面、 圆绕与其共面、但 不通过圆心的轴线 旋转而成
工程图学基础/机械设计制图 例1：求左视图
同一立体被多 个平面截切， 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。 线的分析和作图。
●
解题步骤： 解题步骤：
★空间及投影分析 截交线的形状 截交线的投影特性 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
●
● ●
工程图学基础/机械设计制图 例2：求左视图
● ●
e′ ′
●
c′ d′ ′ ′
●
●
a′ ′
b′ ′
截交线 的空间 形状？ 形状？ E 截交线D C 的投影 特性？ 特性？ A
B
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
工程图学基础/机械设计制图
例7:圆锥被正垂面截切，求 7:圆锥被正垂面截切， 圆锥被正垂面截切 截交线，并完成三视图。 截交线，并完成三视图。
截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状？ 形状？ 特性？ 特性？ 一根轴的端点？ 一根轴的端点？
★ 空间分析 ★ 投影分析 交线的形状？ 交线的形状？ 截平面与体的
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
工程图学基础/机械设计制图 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
工程制图与计算机绘图 (4)
圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴 线回转而成。
节目录 章目录
（1）圆柱的投影
轴线垂直于投影面的投影特征： 圆柱面在某一投影面上有积聚性，投影为圆形。
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（2）圆柱表面求点
【例4-5】已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。
m′ n′
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1. 平面与圆柱相交
截平面与轴线的相对位置
垂直
平行
斜交 节目录 章目录
【例4-7】已知带矩形切口圆柱体的正面和水平投影，求作侧面投影。
节目录 章目录
圆柱截切类型 节目录 章目录
2.平面与圆锥相交 圆
截平面与轴线的相对位置 椭圆
三角形
垂直
斜交 抛物线
过锥顶斜交 双曲线
与素线平行的斜交 圆锥截切类型
(1)棱柱的投影
【例4-1】画出正六棱柱的投影 分
析 上、下底面为正六边形，放置成平行于H面，水平投影为正六边
形，反映顶面和底面实形；使其前后两个侧棱面平行于V面。
节目录 章目录
直棱柱的画图顺序： 1）先画棱柱反映底面实形的投影； 2）根据投影规律画两底的其他投影； 3）根据投影规律画侧棱的各个投影。
平行
节目录 章目录
【例4-8】已知圆锥被正垂面P截切，完成截交线的水平投影，并画出其侧面投影。
b'
e'(f') c'(d') 1'(2') a'
b a
(c)
(b) a c
(c) b
a
节目录
章目录
二、平面与回转体相交
截交线的特性：
通常是一条封闭的平面曲线，也可能是由直线组成 的平面多边形或直线和曲线组成的平面图形。 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上 的点也是二者的共有点。
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（1）圆柱的投影
轴线垂直于投影面的投影特征： 圆柱面在某一投影面上有积聚性，投影为圆形。
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（2）圆柱表面求点
【例4-5】已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。
m′ n′
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1. 平面与圆柱相交
截平面与轴线的相对位置
垂直
平行
斜交 节目录 章目录
【例4-7】已知带矩形切口圆柱体的正面和水平投影，求作侧面投影。
节目录 章目录
圆柱截切类型 节目录 章目录
2.平面与圆锥相交 圆
截平面与轴线的相对位置 椭圆
三角形
垂直
斜交 抛物线
过锥顶斜交 双曲线
与素线平行的斜交 圆锥截切类型
(1)棱柱的投影
【例4-1】画出正六棱柱的投影 分
析 上、下底面为正六边形，放置成平行于H面，水平投影为正六边
形，反映顶面和底面实形；使其前后两个侧棱面平行于V面。
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直棱柱的画图顺序： 1）先画棱柱反映底面实形的投影； 2）根据投影规律画两底的其他投影； 3）根据投影规律画侧棱的各个投影。
平行
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【例4-8】已知圆锥被正垂面P截切，完成截交线的水平投影，并画出其侧面投影。
b'
e'(f') c'(d') 1'(2') a'
b a
(c)
(b) a c
(c) b
a
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二、平面与回转体相交
截交线的特性：
通常是一条封闭的平面曲线，也可能是由直线组成 的平面多边形或直线和曲线组成的平面图形。 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上 的点也是二者的共有点。
工程制图习题集标准答案
百度文库11-1 标注下列尺寸（尺寸数值由图中量取整数）1. 补全尺寸数字和箭头。
60°51φ3. 标注下列小间距尺寸。
332. 标注直径和半径尺寸。
1-4 比例，尺寸注法，斜度和锥度。
1. 参照所示图形，用1∶4在指定位置处画出图形，并标注尺寸。
1∶42002. 参照所示图形，用1∶1在指定位置处4.尺寸注法改错，将改正后的尺寸标注在右边空白图上。
R1550503. 参照所示图形，用1∶2在指定位置处画出图形，并标注尺寸。
09°18φ 241φ90°1φ2φ1φ5. 在下面图形上用1∶1度量后标注尺寸（取整数）2422.已知点A在H面之上20，点B在V面之前15，点C在V面上，点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸点的两面投影。
第二章投影法基础3.已知点B在点A的左方15，前方10，上方5，又知点C与点B同高，且其坐标X=Y=Z，请作出点B和点C的投影。
4.判断下列各对重影点的相对位置，并填空。
1）点A在点B的正上方m2m22）点D在点C的正后方m2m22-1 点的投影。
1.按照立体图作诸点的三面投影3百度文库42.按已知条件画出下列直线的三投影1）画水平线 AB ，距 H 面20mm 与, V 面 成30°角，实长 25mm 。
2）画侧平线 EF ，距 W 面20mm ，与V 面 成30°夹角，实长 25mm 。
3. 分别在图（ a ）.（b ）.（c ） 中，由点A 作直线AB 与CD 相交，交点 B距离V 面25mm 。
4. 根据轴测图，在三视图中标出线段 AB 和CD 的三投影 （点的三投影用小写字母标出） 并填写它们的名称和对各投影面的相对位置。
AB 是 正 平 线； CD 是 侧垂线。
AB: ∥ V,H, ∠ W ∠ 。
CD: V, ∥ H2-2 直线的投影 （ 一） 。
1. 判断下列直线对投影面的相对位置，并填写名称。
AB 是正 平线； EF 是侧平线； CD是 侧 垂 线； KM 是正垂线；百度文库2-2 直线的投影 （ 二）2. 已知线段AB 为正平线,C 为该线段上的一点 ,根据给出的投影 ,画出线段AB 和点C 的 水平投影和侧面投影。
建筑工程制图第4章 曲线与曲面立体的投影
两圆柱位置不同时相贯线的变化趋势
(a)
(b)
(c)
(d)
4.5 旋转楼梯
平螺旋面
螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
1．平螺旋面
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
4.5 旋转楼梯
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5 3
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。Fra bibliotek● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
B
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
底圆 母线 素线 顶圆 轴线
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。 O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′
4″
1″
3
(2)
2″
3
利用投影的
积聚性 O A
2 1
4
3
O1 A1
相贯线 相贯线
大一机械制图 第4章 立体的投影
P Q
48
例：求作水平投影
画步出骤未: 截切前
的1. 空俯间视和图投影分析 2.找特殊点，补充中间点 3.依次光滑连线判别可见性 4.完成轮廓线的投影
49
截平面与立体的相交形式
单体单面
基本形式
单体多面 多体多面
分别分析单面 与单体交线
截平面与截平面 之间的交线分析
体与体连接处的 交线分析
50
4.３ 两立体相交
判别可见性 4.完成轮廓线。
辅助平面为水平面
63
例:画出两圆柱相贯线的投影
64
相贯线的变化趋势分析
相交体大小对交线的影响
平面曲线
交线总弯向直径大的圆柱的轴线 等径圆柱
65
66
例：补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内形交线
轮廓线上的点是
a'
a'' 曲线虚实分界点
b'
(c'')
b''
(c') d'
(d'')
c
d a
b
分析
ac不平行轴线 故AC为曲线
作图
①找特殊点 ②求H投影 ③求W投影 ④光滑连接曲线
11
圆锥体
s'
s"
S
V
W
H
s
正面 轮廓线
侧面 轮廓线
13
圆锥体表面取点取线
第四章 立体的截切与相贯
土木工程制图与CAD/BIM技术
化学工业出版社
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
1
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
1
平面体的截切
内容
2
曲面体的截切
3
立体的相贯线
2
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
1 掌握平面体、曲面体截交线的画法 掌握平面体和平面体、平面体和曲面体、
（a）全贯
（b）互贯
28
第三节 立体的相贯线
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
平面体与平面体相贯求相贯线的步骤：
（1）分析：立体相贯的形式（全贯、互贯）。 （2）求贯穿点：运用直线与直线相交求交点。
求贯穿线：运用平面与平面相交求交线。 （3）连线: 按顺序连线并判断可见性。
29
第三节 立体的相贯线
4
第一节 平面体的截切
目录
要求Βιβλιοθήκη 理论例题化学工业出版社
总结
作业
截交线的性质： 1. 共有性：
既属于截平面，又属于 立体表面，是截平面与 立体表面的共有线。 2．封闭性： 由单一平面截得的截交 线是封闭的平面图形。
截断面 截交线
截平面 立体
5
第一节 平面体的截切
目录
要求
理论
例题
化学工业出版社
总结
作业
目录
要求
理论
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总结
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第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
1
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
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总结
作业
1
平面体的截切
内容
2
曲面体的截切
3
立体的相贯线
2
第四章 立 体 的 截 切 与 相 贯
目录
要求
理论
例题
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总结
作业
1 掌握平面体、曲面体截交线的画法 掌握平面体和平面体、平面体和曲面体、
（a）全贯
（b）互贯
28
第三节 立体的相贯线
目录
要求
理论
例题
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作业
平面体与平面体相贯求相贯线的步骤：
（1）分析：立体相贯的形式（全贯、互贯）。 （2）求贯穿点：运用直线与直线相交求交点。
求贯穿线：运用平面与平面相交求交线。 （3）连线: 按顺序连线并判断可见性。
29
第三节 立体的相贯线
4
第一节 平面体的截切
目录
要求Βιβλιοθήκη 理论例题化学工业出版社
总结
作业
截交线的性质： 1. 共有性：
既属于截平面，又属于 立体表面，是截平面与 立体表面的共有线。 2．封闭性： 由单一平面截得的截交 线是封闭的平面图形。
截断面 截交线
截平面 立体
5
第一节 平面体的截切
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要求
理论
例题
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总结
作业
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例题
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工程制图-第四章 相贯
利用积聚性，采用表面取点法 ☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆ 光滑连接
3.正交两圆柱相贯线的基本形式 ⑴ 三种基本形式
两外表面相交
内外表面相交
内内表面相交
⑵ 直径大小和相对位置变化对相贯线的影响 ① 直径变化的影响
相贯线向大直径一侧弯
交线为两椭圆
② 轴线位置变化的影响
垂直相交
垂直偏交
② 轴线位置变化的影响
例5 补全主视图
求相贯线的方 法和思路一样 两外表面相贯 内外表面相贯 两内表面相贯
例6 求主视图
● ● ●
×
●
● ●
外相表切面处与无外线表面相贯 内表面与内表面相贯
例6 求主视图
5. 多体相贯 多体相贯 ——多个回转体组合相贯 作图步骤
相贯体分析
相交表面的关系
作图基本知识
求出各交线
例7 补全主视图
垂直偏交
垂直偏交
平行
4. 特殊相贯线
★两直径相等圆柱正交或斜交 相贯线——椭圆
★两轴线平行圆柱
相贯线——直线
★同轴回转体
相贯线——圆
轴线∥投影面 该投影面投影
直线
例5 补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外表面交线 ◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内表面交线 ◆ 两内表面相贯
特殊点 一般点
方法
表面取点法 辅助平面法
◇光滑连接各点
◆近似画法
◇求出特殊点 ◇用圆弧线光滑连接各点
2. 轴线垂直相交两圆柱的相贯线 例4 求两圆柱面相贯线的投影
3.正交两圆柱相贯线的基本形式 ⑴ 三种基本形式
两外表面相交
内外表面相交
内内表面相交
⑵ 直径大小和相对位置变化对相贯线的影响 ① 直径变化的影响
相贯线向大直径一侧弯
交线为两椭圆
② 轴线位置变化的影响
垂直相交
垂直偏交
② 轴线位置变化的影响
例5 补全主视图
求相贯线的方 法和思路一样 两外表面相贯 内外表面相贯 两内表面相贯
例6 求主视图
● ● ●
×
●
● ●
外相表切面处与无外线表面相贯 内表面与内表面相贯
例6 求主视图
5. 多体相贯 多体相贯 ——多个回转体组合相贯 作图步骤
相贯体分析
相交表面的关系
作图基本知识
求出各交线
例7 补全主视图
垂直偏交
垂直偏交
平行
4. 特殊相贯线
★两直径相等圆柱正交或斜交 相贯线——椭圆
★两轴线平行圆柱
相贯线——直线
★同轴回转体
相贯线——圆
轴线∥投影面 该投影面投影
直线
例5 补全主视图
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
● ●
★ 外表面交线 ◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
★ 内表面交线 ◆ 两内表面相贯
特殊点 一般点
方法
表面取点法 辅助平面法
◇光滑连接各点
◆近似画法
◇求出特殊点 ◇用圆弧线光滑连接各点
2. 轴线垂直相交两圆柱的相贯线 例4 求两圆柱面相贯线的投影
道路工程制图与识图第4章 简单立体的投影
2
左边实线围成的矩形是五棱柱左边2个棱面的重合 投影，它不能反映棱面的实形；右边实线围成的矩形是 五棱柱右边2个棱面的重合投影，它不能反映棱面的实 形。W 面投影中的2个矩形是五棱柱4个侧棱面的重合投 影；最后的一条铅垂线是五棱柱最后棱面的积聚投影； 上、下2条水平线是五棱柱顶面和底面的积聚投影。
33
34
2）相贯线的特点 相贯线的形状随立体形状和两立体的相对位置不同 而异，一般分为全贯和互贯2种类型。当一个立体全部 穿过另一个立体时，产生2组相贯线，称为全贯，如图 4.21（a）所示；当2个立体相互贯穿，产生1组相贯线， 称为互贯，如图4.21（b）所示。 4.3.2 平面立体与平面立体相交 两平面立体相交，相贯线是直线。每一条相贯线都 由2个贯穿点连接而成。贯穿点是一个平面立体上的轮 廓线与另一平面立体表面的交点。
22
23
4.2.2 平面与平面立体相交 1）截交线的形成平面与平面立体产生的截交线是 由截交点连接而成。截交点是截平面与平面立体棱线的 交点或是截平面与截平面交线的端点，如图4.15所示。
24
2）截交线的特点 平面与平面立体产生的截交线是直线；截交线围成 的截断面是平面多边形。 3）平面截切平面立体轴测图的绘制
6
7
2）圆锥体的形成及投影 圆锥面是由母线（直线）绕固定直线（即轴线）旋 转（在旋转时母线与定轴相交一点）一周形成，圆锥体 由圆锥面与一平面构成。圆锥表面上的素线都汇交于一 点，如图4.4（a）所示。
8
9
4.1.3 拉伸法阅读简单立体的投影图 拉伸法读图是投影的逆向思维，即是把反映物体形 状特征的投影图沿一定的投影方向从投影面拉回空间， 完成物体的投影图阅读。
第4章 简单立体的投影
任何工程结构物，不论形状多么复杂，都可以看成 是由若干个简单的立体组成。简单立体按其表面性质不 同分为2大类：平面立体和曲面立体。平面立体是指表 面皆由平面构成的立体，如棱柱体和棱锥体等；曲面立 体是指表面由曲面或曲面与平面所构成的立体，如圆柱 体和圆锥体等。
第四章 工程制图A 立体表面交线截交线
★求截交线
★完善圆柱轮廓
结果和立体图
3′(4′) 1′(2′)
●
4(2)
●
●
3(1)
4″ 2″
●
●
3″ 1″
●
●
4
●
2●
3
●
1 ●
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
多个平面截切立体时， 确定截交线形状为矩形和圆弧。
要分别对各截平面进行 截交线的分析和作图。
2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。
[例题4 ] 求圆柱截交线
1'2'
2"
3'4'
4"
24
1" 3"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为直 线和部分圆，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
再取局部。
测试题: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5）
2(3、6、7)
5 7
6 3
4 2
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
8
1
7 8
54 63 2
1
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
★完善圆柱轮廓
结果和立体图
3′(4′) 1′(2′)
●
4(2)
●
●
3(1)
4″ 2″
●
●
3″ 1″
●
●
4
●
2●
3
●
1 ●
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
测试题2：空心圆柱上部开有长方槽，若已
知其V、H投影，试求W投影。
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
多个平面截切立体时， 确定截交线形状为矩形和圆弧。
要分别对各截平面进行 截交线的分析和作图。
2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。
[例题4 ] 求圆柱截交线
1'2'
2"
3'4'
4"
24
1" 3"
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为直 线和部分圆，侧面投影为矩形 ；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
1(2)
2" ●
● 1"
3(4)
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制
截交线。当平面体只有局
部被截切时，先假想为整
体被截切，求出截交线后
1(3)
再取局部。
测试题: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4（5）
2(3、6、7)
5 7
6 3
4 2
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
8
1
7 8
54 63 2
1
例1、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平
工程制图和计算机绘图第4章 相贯线精品文档
［例4-7］ 画出图4-14(a)所示组合体的投影图。
第4章 相贯线 图4-14 多个立体相交
第4章 相贯线
解 (1) 空间分析：本例有三个圆柱A、B、C相交。圆 柱A、B同轴且轴线为侧垂线；轴线为铅垂线的圆柱C与圆柱 A、B垂直相交；圆柱B的底面与圆柱C相交。A、C的相贯线 和B、C的相贯线都是空间曲线，而圆柱B的底面和圆柱C的 截交线是两条直线段。
由以上几例可知，立体上的相贯线有三种情况，即两立 体外表面的相贯线、内表面的相贯线以及外表面与内表面的 相贯线。
第4章 相贯线 图4-5 圆柱钻圆孔
第4章 相贯线 图4-6 圆筒钻圆孔
第4章 相贯线
二、辅助平面法 1. 作图原理 图4-7所示为部分球体与圆锥台相交，为了作出其共有 点，假想用一个平面P(称为辅助平面)截切它们。平面P与球 面的截交线是一个圆LA，与锥台的截交线也是一个圆LB。LA 与LB的交点K1、K2是辅助平面P、球体表面、锥台表面三个 面的共有点，因此也是相贯线上的点。这种用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫做辅助平面法。
从这个例子中我们应该掌握辅助平面法的两个要点： ① 辅助平面法的实质是求辅助平面分别截两立体所得 截交线的交点。
第4章 相贯线
② 辅助平面位置选取的原则是使辅助平面分别截两立 体所得截交线投影的形状最简单(直线和圆)，以便用工具作 图。
［例4-6］ 求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯 线，如图4-9(a)所示。
(2) 作图： ① 先作特殊点。相贯线上的特殊点主要是轮廓素线上 的点和极限位置点。从侧面投影可知，相贯线上最高、最低、 最前、最后四点依次为Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ点，其水平投影也是 已知的。利用点的投影规律，由已知投影1、2、3、4和1''、 2''、3''、4''，求得1'、2'、3'、4'，如图4-4(a)所示。
第4章 相贯线 图4-14 多个立体相交
第4章 相贯线
解 (1) 空间分析：本例有三个圆柱A、B、C相交。圆 柱A、B同轴且轴线为侧垂线；轴线为铅垂线的圆柱C与圆柱 A、B垂直相交；圆柱B的底面与圆柱C相交。A、C的相贯线 和B、C的相贯线都是空间曲线，而圆柱B的底面和圆柱C的 截交线是两条直线段。
由以上几例可知，立体上的相贯线有三种情况，即两立 体外表面的相贯线、内表面的相贯线以及外表面与内表面的 相贯线。
第4章 相贯线 图4-5 圆柱钻圆孔
第4章 相贯线 图4-6 圆筒钻圆孔
第4章 相贯线
二、辅助平面法 1. 作图原理 图4-7所示为部分球体与圆锥台相交，为了作出其共有 点，假想用一个平面P(称为辅助平面)截切它们。平面P与球 面的截交线是一个圆LA，与锥台的截交线也是一个圆LB。LA 与LB的交点K1、K2是辅助平面P、球体表面、锥台表面三个 面的共有点，因此也是相贯线上的点。这种用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫做辅助平面法。
从这个例子中我们应该掌握辅助平面法的两个要点： ① 辅助平面法的实质是求辅助平面分别截两立体所得 截交线的交点。
第4章 相贯线
② 辅助平面位置选取的原则是使辅助平面分别截两立 体所得截交线投影的形状最简单(直线和圆)，以便用工具作 图。
［例4-6］ 求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯 线，如图4-9(a)所示。
(2) 作图： ① 先作特殊点。相贯线上的特殊点主要是轮廓素线上 的点和极限位置点。从侧面投影可知，相贯线上最高、最低、 最前、最后四点依次为Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ点，其水平投影也是 已知的。利用点的投影规律，由已知投影1、2、3、4和1''、 2''、3''、4''，求得1'、2'、3'、4'，如图4-4(a)所示。
大学工程制图--第4章立体的投影
一、 圆柱体 二、 圆锥体 三、 圆球 四、 圆环 五、 回转体的尺寸 标注
4.2 曲面立体的投影
一、圆柱
1、圆柱的投影分析 一直线（母 从前往后看在VW 从左向右看在 从上往下看在 线）绕与其平行的 面的投影是一个矩形： 轴线⊥H 面，所 面的投影是一个矩形： H 面上的投影为一 轴线 轴线旋转一周，形 上下两条水平线分别 以在H 面上的投影积 上下两条水平线分别 个圆周：它既是圆 成圆柱面。 是顶圆和底圆的投影， 聚为一点，用两条互 是顶圆和底圆的投影， 柱面的顶圆和底圆 长度为圆周的直径。 相垂直的点画线的交 长度为圆周的直径。 的重合投影，反映 左右两条直线为圆柱 点来表示；轴线//V 左右两条直线为圆柱 顶圆和底圆的实形， 面VW面投影的外形线V 面和W 面，所以在 面 面投影的外形线 又是圆柱面的积聚 （最左和最右素线）， 面与W 面的投影反映 （最前和最后素线）， 素线 投影。 也是前半圆柱面和后 实长。 也是左半圆柱面和右 半圆柱面的分界线。 半圆柱面的分界线。
4.1 平面立体的投影
二、棱锥
Z
s'
(1) 棱锥的投影分析
V
a'
b ' A a
X
H
棱锥的投影特性： 其底面为水平 图示为一正三棱 棱面△SAC为 s” 面，它的水平投影反 锥，它由底面△ABC 侧垂面，因此侧面投 在底面所平行的 S 映实形，正面和侧面 和三个棱面△SAB、 影积聚成一直线，水 W 投影面上的投影轮廓 投影分别积聚成一直 △SBC、 △SAC所组 平投影和正面投影都 为反映棱锥底面实形 线。 成。 是类似形。棱面 C a” 的多边形，其余两投 (c”) △SAB和△SBC为一般 b” 影由三角形线框组成。 B c 位置平面，它的三面 s 投影均为类似形。 Y b
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
工程制图-截切立体与相贯立体课件
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
天津工业大学机械电子学院制图教研室
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
3.1.2 平面与回转体相交
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
例 2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
天津工业大学机械电子学院制图教研室
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4(5) 2(367)
1(8)
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
Ⅳ
2
Ⅶ Ⅵ
1 Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
截截特分投求检线交交性析影线截查的线？棱的交的截投线形投线交影的状影？
天津工业大学机械电子学院制图教研室
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
工 程 制 图 -截 切立体 与相贯 立体培 训课件 (ppt5 6页)
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例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
天津工业大学机械电子学院制图教研室
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3.1.2 平面与回转体相交
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质： • 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
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例 2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
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例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 2: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4(5) 2(367)
1(8)
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Ⅶ Ⅵ
1 Ⅷ
Ⅲ Ⅱ
Ⅰ
截截特分投求检线交交性析影线截查的线？棱的交的截投线形投线交影的状影？
天津工业大学机械电子学院制图教研室
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例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
天津工业大学机械电子学院制图教研室
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工程制图-第四章-截切体与相贯体的投影
7 8
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
21 6 3 45
例3 已知主视图和左视图，求俯视图。
正垂面
侧垂面
空间与投影分析：四棱柱被 正垂面和侧垂面截切
结束
先画出完整的四棱柱俯视图，再找出相似形。
正垂面
正垂面 的类似形
侧垂面
正垂面 的类似形
侧垂面的 类似形
侧垂面的 类似形
结束
二、回转截切体的投影
• 截交线的分析
截交线是截平面与回转面的公有线
结束
一、表面取点法
就是根据投影具有积聚性的特点，由两回转体表面上若干 共有点的已知投影求出其它未知投影，从而画出相贯线的投 影。 例 求作两垂直相交的圆柱的相贯线。
作图方法：
• 先找特殊点 • 再求中间点 (用表面取点法) • 连接各点并判可见性
结束
找特殊点(最左点2, 最右点1, )的三视图
结束
1′
1″
5′
（5″）
1
5
结束
由左视转向点2 和点8 的主视图，作出点2 和点8 的左视图与俯
视图。
1′ 2′（8′）
5′
1″
8″
2″
（5″）
yy
28
yy
1
5
结束
用辅助平面法找出点3 和点7 的俯视图与左视图。
1′ 2（′ 8′）
3（′ 7′）
5′
8″ (7″)
1″
2″ (3″)
（5″）
yy
yy
7
28
1
5
3
结束
光顺地连出截交线椭圆的俯视图与左视图，并判断可见性。
结束
3.圆球的截交线
圆球的截交线是圆。截交线的投影为直 线、圆或椭圆三种情况。
工程制图截切体与相贯体的投影(课堂PPT)
.
21
结束
• 基本内容 1.圆柱体上的截交线 2.圆锥体上的截交线 3.圆球的截交线 4.复合回转体体上的截交线
.
22
结束
1. 圆柱体上的三种截交线
截面为矩形
截面为. 圆
截面为椭圆 23
例1 已知主视图和左视图，求作俯视图。
空间与投影分析
圆柱被水平面和侧平面截切，截
交线的水平投影为矩形；
.
24
Ⅲ Ⅰ
9
找出棱线上的点Ⅱ、点Ⅳ的主视图和左视图。
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
1
3
.
结束
Ⅳ Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
10
用圆规量取Ⅱ、Ⅳ的y坐标，求出Ⅱ、Ⅳ的水平投影
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
yy
4
Ⅳ
1
3
yy
Ⅰ
2
.
11
结束
顺序连接截交线的左视图、俯视图。
3′ 1′ 2′4′
3″
4″
2″
1″
4
1
（5′）6′ 3′
1
5
2 3
64
结束
1″
4″
5″
6″ 3″
Ⅱ
Ⅰ
Ⅴ
.
Ⅲ ⅥⅣ
35
完成图形
Ⅱ
Ⅰ
结束
Ⅴ
.
Ⅲ ⅥⅣ
36
2.圆锥上的五种截交线
过锥顶 与轴线垂直 与轴线倾斜 与一条素线平行
与轴线平行
等腰三角形
圆
.
椭圆
抛物线
37
双曲线
例4 圆锥体被一正垂面P 截切，已知主视图，求作俯视图和
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第四章 立体截切及相贯的投影
截切
截切：平面与立体相交
立体的截切
平面立体的截切 曲面立体的截切
Байду номын сангаас
相贯
相贯：立体与立体相交
对立体的认识：
建筑工程中的立体 常可分解为若干基本几 何体。例：纪念碑、水 塔、房屋模型。
§4－1 平面体的截切 一、平面与平面立体相交 平面 P 与立体相交，可看成立体被平面 P 截割。 截交线的特性：
• • • • • • •
平面体截切线小结
• • • • • • 截交线的求解步骤 1.分析形体 2.分析截平面的性质及截交线的形状 3.在截平面的积聚性投影上找出所有的转折点， 并标记 4.求出这些转折点的另外两面投影 5.依次连接形体同一表面上的相邻两点，判断 可见性 6.整理图形，判断可见性
(1)共有性 ； (2)封闭性：截交线是封闭的平面折 线；
(3)截交线的取决因素 (4)任一折线----交线 (5)任一折点----交点 立体侧面
截平面
立体棱线
§4－1 平面体的截切
求截交线的方法(交点法):
(1)求各交点的投影； (2)依次连接各点成截交线。
平面体截切线小结
• 截交线的形状
• 平面体的截交线是由若干条直线组成的封闭空间 折线，折线上的每一个转折点都是平面体的棱线与截 平面的交点或是两个截平面的交线与平面体的贯穿点。 截交线的求解步骤 1.分析形体 2.分析截平面的性质及截交线的形状 3.在截平面的积聚性投影上找出所有的转折点，并标记 4.求出这些转折点的另外两面投影 5.依次连接形体同一表面上的相邻两点，判断可见性 6.整理图形，判断可见性
截切
截切：平面与立体相交
立体的截切
平面立体的截切 曲面立体的截切
Байду номын сангаас
相贯
相贯：立体与立体相交
对立体的认识：
建筑工程中的立体 常可分解为若干基本几 何体。例：纪念碑、水 塔、房屋模型。
§4－1 平面体的截切 一、平面与平面立体相交 平面 P 与立体相交，可看成立体被平面 P 截割。 截交线的特性：
• • • • • • •
平面体截切线小结
• • • • • • 截交线的求解步骤 1.分析形体 2.分析截平面的性质及截交线的形状 3.在截平面的积聚性投影上找出所有的转折点， 并标记 4.求出这些转折点的另外两面投影 5.依次连接形体同一表面上的相邻两点，判断 可见性 6.整理图形，判断可见性
(1)共有性 ； (2)封闭性：截交线是封闭的平面折 线；
(3)截交线的取决因素 (4)任一折线----交线 (5)任一折点----交点 立体侧面
截平面
立体棱线
§4－1 平面体的截切
求截交线的方法(交点法):
(1)求各交点的投影； (2)依次连接各点成截交线。
平面体截切线小结
• 截交线的形状
• 平面体的截交线是由若干条直线组成的封闭空间 折线，折线上的每一个转折点都是平面体的棱线与截 平面的交点或是两个截平面的交线与平面体的贯穿点。 截交线的求解步骤 1.分析形体 2.分析截平面的性质及截交线的形状 3.在截平面的积聚性投影上找出所有的转折点，并标记 4.求出这些转折点的另外两面投影 5.依次连接形体同一表面上的相邻两点，判断可见性 6.整理图形，判断可见性