多自由体系结构的地震反应(1)
荷载结构设计与方法课后思考题答案(白国良)
第一章1。
工程结构的基本功能是什么？①能为人类生活和生产提供良好的服务，满足人类使用要求，审美要求的结构空间和实体②承受和低于结构服役过程中可能出现的各种环境作用2。
说明直接作用和间接作用的区别①直接作用直接以力的不同集结形式作用于结构，包括结构的自重，行人及车辆的自重，各种物品及设备的紫红，风压力，土压力，雪压力，水压力，冻胀力,积灰荷载德不孤，这一类作用通常也称为荷载②间接作用不直接以力的某种集结形式出现，而是引起结构的振动，约束变形或外加变形,但也能使结构产生内力或变形等效应,包括温度变化，材料的收缩和膨胀变形。
地基不均匀沉降、地震、焊接等。
3.什么是作用效应？作用在结构上产生的内力和变形称为作用效应4.作用有哪些类型?①按随时间变化分类:永久作用、可变作用、偶然作用②按随空间变化分类：固定作用、自由作用③按结构的反应特点分类：静态作用、动态作用5。
永久作用、可变作用主要是指哪些荷载永久作用指在设计基准期内作用随时间变化或其变化与平均值相比可以忽略不计的作用。
如结构自重、土压力、水位不变的水压力、预加压力、地基变形、钢材焊接、混凝土收缩变形等。
可变作用指在设计基准期内作用随时间变化,且其变化与平均值相比不可忽略的作用。
如结构施工过程中的人员和物体重力、车辆重力、吊车荷载、服役结构中的人越和设备重力、风荷载、雪荷载、冰荷载、波浪荷载、水位变化的水压力、温度变化等。
6.我国结构设计方法是怎样演变的？容许应力法,破损阶段法,极限状态设计法和概率极限状态设计四个阶段。
7。
何为概率极限状态设计法？是以概率论为基础，视作用效应和影响结构拉力的主要因素为随机变量，根据统计分析确定可靠概率来度量结构可靠性的结构设计法。
第二章自重:指组成结构的材料自身重量产生的重力,属于永久作用。
土的自重应力：颗粒间压力在土体中引起的应力。
雪压：是指单位面积上的积雪重量。
基本雪压：是指当地空旷平坦地面上根据气象资料记录资料经统计得到的在结构使用期间可能出现的最大雪压值。
建筑结构抗震设计第2阶段练习题及答案,这是其中一个阶段共3个阶段。答案在后面
江南大学网络教育第二阶段练习题及答案，这是其中一个阶段共3个阶段。
答案在后面考试科目:《建筑结构抗震设计》第章至第章（总分100分）__________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一单选题 (共5题，总分值10分，下列选项中有且仅有一个选项符合题目要求，请在答题卡上正确填涂。
)1. 规范规定不考虑扭转影响时，用什么方法进行水平地震作用效应组合的计算？（）。
（2 分）A. 完全二次项组合法（CQC法）B. 平方和开平方法（SRSS法）C. 杜哈米积分D. 振型分解反应谱法2. 楼层屈服强度系数沿高度分布比较均匀的结构，薄弱层的位置为（）。
（2 分）A. 最顶层B. 中间楼层C. 第二层D. 底层3. 在设计基准周期为50年内超越概率为10%的地震重现期为（）（2 分）A. 475年B. 225年C. 140年D. 98年4. 基底剪力法计算水平地震作用可用于下列何种建筑? ( ) 。
（2 分）A. 40米以上的高层建筑B. 自振周期T1很长(T1>4s)的高层建筑C. 垂直方向质量、刚度分布均匀的多层建筑D. 平面上质量、刚度有较大偏心的多高层建筑5. 《抗震规范》给出的设计反应谱中，当结构自振周期在0.1s~Tg之间时，谱曲线为（）。
（2分）A. 水平直线B. 斜直线C. 抛物线D. 指数曲线二判断题 (共10题，总分值20分正确的填涂“A”，错误的填涂“B”。
)6. 地震作用下，绝对刚性结构的绝对加速度反应应趋于零。
（2 分）（）7. 一般而言，房屋愈高，所受到的地震力和倾覆力矩愈大，破坏的可能性也愈大。
（2 分）（）8. 一般而言，在结构抗震设计中，对结构中重要构件的延性要求，低于对结构总体的延性要求；对构件中关键杆件或部位的延性要求，又低于对整个结构的延性要求。
（2 分）（）9. 在同等设防烈度和房屋高度的情况下，对于不同的结构类型，其次要抗侧力构件抗震要求可低于主要抗侧力构件（2 分）（）10. 结构的自振周期随其质量的增加而减小，随刚度的增加而加大。
自由度体系结构的地震反应
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
3—4 多自由度弹性体系的地震反应分析
Hale Waihona Puke 或者 61） （3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点， 根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62） （3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加 振型分解法 就是通过把体系的位移反应按振型加 以分解， 并利用各振型相互正交的特性， 以分解 ， 并利用各振型相互正交的特性 ， 将原来 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程， 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ， 从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若 干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后， 题 ， 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后 ， 采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反 应 。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反 应的重要方法。 应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系， 对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 个自振频率， （K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应 ） 代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型 ， 除第一主振型外的其它振型统称为 个主振型， 高阶振型。 自由度弹性体系自由振动时， 高阶振型 。 n 自由度弹性体系自由振动时 ， 任一质 点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成， 点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成 ， 故自由振动方程的通解可写为：
《抗震结构设计》模拟试题1-4及答案2
《抗震结构设计》模拟试题一一、填空题1、根据建筑使用功能的重要性，按其受地震破坏时产生的后果，将建筑分为、、、四个抗震设防类别。
2、多层混合结构房屋的结构布置方案应优先采用结构布置方案，其次采用_____结构布置方案。
3、建筑场地类别的划分主要根据和，因为场地覆盖层厚度对建筑物的震害有一定影响。
4、钢筋混凝土房屋应根据烈度、和采用不同的抗震等级，并应符合相应的计算和构造措施要求。
5、建筑结构抗震验算基本方法包括和。
二、名词解释1、场地2、液化3、时程分析法4、抗震设防烈度5、地震影响系数三、简答题1、简述建筑场地类别划分依据？2、影响液化的因素主要有哪些？3、简述两阶段设计的基本内容。
4、什么是“强柱弱梁”？四、计算题1、计算7度时三层砖房的各楼层地震作用标准值和总水平地震作用标准值。
各楼层的重力荷载代表值和层高度见表1表12Ei i iTi《抗震结构设计》模拟试题一答案一、填空1、甲类、已类、丙类、丁类。
2、横墙承重、纵横墙承重3、土层的等效剪切波速，场地的覆盖层厚度。
4、建筑物的类型，高度5、结构抗震承载力的验算，结构抗震变形验算。
二、名词解释1、场地：指建筑物所在的区域，其范围大体相当于厂区、居民点和自然村的区域，范围不应太小，一般不小于0.5Km2。
2、液化：指物体有固体转化为液体的一种现象。
3、时程分析法：是由建筑结构的基本运动方程，输入对应于建筑场地的若干条地震加速度记录或人工加速度波形（时程曲线），通过积分计算求得在地面加速度随时间变化周期内结构内力和变形状态随时间变化的全过程，并以此进行结构构件截面抗震承载力验算和变形验算。
4、抗震设防烈度：按国家规定权限批准作为一个地区抗震设防依据的地震烈度。
5、地震影响系数：即设计反应谱，它是地震系数（地面峰值加速度与重力加速度的比值）与地震动力放大系数（或称标准反应谱）的乘积。
它与建筑所在地的设防烈度、影响本地区的地震的震级和震中距，以及建筑场地条件有关，是根据现有的实际强地震记录的反应谱统计分析并结合我国的经济条件确定的。
第三章4_多自由度体系的最大地震反应的底部剪力法
4
根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 111iGi
(a)
Fn mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11 1i 1n c
H1
Hi
Hn
1i c Hi
(b)
（2）计算振型参与系数
25
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F2i 2 2 X 2iGi ( i 1, 2 ) F21 2 2 X21G1 0.160.2331.71609.8 37.5 kN F22 2 2 X22G2 0.160.233(1)509.8 18.3 kN
FEk Geq1
1: 多层砌体房屋，底部框架和多层内框架砖房，宜取水平
地震影响系数最大值 max 对质量及层高均匀者：
Gi G j G
H j jh
3(n 1)
2(2n 1)
单质点： 1, FEk GEq1 G1
多质点： n 2 0.75 ~ 0.9
规范规定： 0.85
（四）地震作用分布
Fi mi 1i
Hn
F1 m1
Hi
11
H1
5
Fi F1i 111iGi
(c)
n
11TTMM111i1Gi
m j1 j
j 1 n
1i1Gi
m
2
j 1j
j 1
n
c Gj H j
j1 n
cHi1Gi
c2
G
j
H
2 j
j 1
n
GjH j
j1 n
大工22秋《工程抗震》在线作业2答案
大工22秋《工程抗震》在线作业2-00001
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 7 道试题,共 35 分)
1.进行竖向地震作用计算时,可以近似取竖向地震影响系数最大值为水平地震影响系数最大值的( )。
A.55%
B.65%
C.75%
D.85%
答案:B
2.7—9度时楼层屈服强度系数小于( )的框架结构应进行弹塑性变形验算。
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
答案:A
3.砌体结构的楼板和梁主要承受( )。
A.水平荷载
B.竖向荷载
C.竖向荷载和水平荷载
D.以上说法都不对
答案:B
4.若限制质点在一个平面内运动,则一个自由质点有( )个自由度。
A.一
B.二
C.三
D.四
答案:B
5.Ⅱ类场地,设计地震分组为第一组时,场地的特征周期为( )秒。
A.0.30
B.0.35
C.0.45
D.0.55
答案:B
6.多遇地震情况下,地震系数的值相当于基本烈度的( )。
A.1/3
B.1/2
C.2/3
D.3/4。
多自由度体系的水平地震作用(精)
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
建筑结构抗震(4-4-2)--4-多自由度的水平地震作用
n
G
＝
E
Gi
i＝1
Gi为质点i的重力荷载代表值。
建筑结构抗震
按“平方和开方”的振型组合原则，所有振型参
与时结构总的底部剪力为
n
FEk＝S＝
S2j E
j1
＝1GE
n j1
n i1
j 1
jX
ji
Gi GE
2
＝1G
E
为系数,
＝
n j1
n i1
j 1
jX ji
Gi GE
2
建筑结构抗震 •《抗震规范》规定，当n=1时，取 ＝1，而当n > 1时，取 ＝
FEk nFEk 1 n FEk
2)顶点的水平地震作用为
建筑结构抗震
Fn＝
HnGn
n
1 n FEk nFEk
HiGi
i1
其余各质点的地震作用为
Fi＝
HiGi
n
1 n FEk
HiGi
i 1
建筑结构抗震
式中， n 为顶部附加地震作用系数，对多层内框架砖 房，可取0.2，对多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋， 可根据特征周期Tg及房屋基本周期T1按第五章表5.7 确定。
相同，各层重量及三个振型及对应的周期如图，设防烈
度为7度,Ⅰ类场地设计地震动分组为第二组，结构阻尼
比0.05，试用振型分解反应谱法求水平地震作用下框架
梁的弯矩。
G1=
1 -1
1/4
1800kN
G2=
2700kN
2/3
2/3 -3/4
G3=
2700kN
1/3
2/3
1
500 500 500
T1=0.4665 T2=0.2086 T3=0.1348
抗震分析中的多点激励问题
摘要：本文针对工程抗震分析中大跨度结构多点激励问题的分析方法进行了理论总结，并结合实际算例，对采用相对运动法和大质量法进行多点激励问题分析的计算结果与精确解进行了研究对比，给出了相关的结论。
关键词：多点激励相对运动法大质量法一、引言地震时震源释放的能量以地震波的形式经过不同的路径、地形和介质传播至地表，由于波的传播特性导致地震地面运动具有随时间和空间不断变化的特征。
通常在结构的地震反应分析中，只是考虑地震地面运动的时变特性，而忽略地震地面运动随空间变化所带来的影响。
对于高层与高耸结构、中小跨度桥梁等在水平面内的几何尺寸比较小的结构物来说，地震地面运动的空间效应影响很小，计算结果能够满足工程需要 [1]。
但对于大跨度结构，由于跨越尺度较大，不同支承点处输入的地震地面运动则存在着一定的差异，从而对结构的地震反应有一定的影响。
由于不同支承点处输入的地面运动存在着差异，但从结构分析的力学机理来说都是一致的，因此统称为多点激励效应。
考虑多点激励使得大跨度结构的地震反应分析更加符合实际情况，显得更为合理[2]。
二、多点激励动态时程分析方法的应用大跨度结构多点激励动态时程分析的方法主要有相对运动法（rmm，relative motion method）和大质量法（lmm，large mass method）[3]。
1．相对运动法对于多自由度体系，多维多点输入的地震反应动力平衡方程为（1）式中[m]、[c]、[k]分别是结构的总体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，、、分别为结构的绝对位移向量、速度向量和加速度向量，为地震作用引起的外荷载向量。
设桥梁结构支承点相应于地震动输入的自由度数为，非支承点的自由度数为，在绝对坐标系下，式（1）的动力平衡方程可写为分块矩阵的形式，即（2）式中、、和、、分别表示支承点和非支承点处的位移、速度和加速度向量。
将结构的绝对位移分解为准静力响应和动力响应之和，其中非支承点处的准静态响应定义为（3）式（3）的力学意义为结构支座节点的静位移引起的结构非支承点处的位移，即所谓的准静态响应。
建筑结构抗震设计多自由度弹性体系的地震反应
2024/10/13
结构抗震设计
19
2）、主振型和自由振动方程的通解
对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入 频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其 它振型统称为高阶振型。
n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n
个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解
X 11
sin（1t
1）
X 21
s in（ 2 t
）
2
x（2 t）
X 12
sin（1t
1）
X 22
s in（ 2 t
）
2
其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。
由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。
2024/10/13
结构抗震设计
2024/10/13
结பைடு நூலகம்抗震设计
11
则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比 值分别为：
当 时， 1
xx11（ （21 tt） ）
X 12 X 11
m112 k11 k12
当 时， 2
xx22（ （21 tt） ）
X 22 X 21
m1 2 2 k11 k12
上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
m1——集中在质点1上的质量。
高层建筑结构设计思考题答案（2）
高层建筑结构设计思考题答案（2）第二章2.1钢筋混凝土房屋建筑和钢结构房屋建筑各有哪些抗侧力结构体系？钢筋混凝土房屋建筑和钢结构房屋建筑各有哪些抗侧力结构体系？每种结构体系举1~2例。
答：钢筋混凝土房屋建筑的抗侧力结构体系有：框架结构(如主体18层、局部22层的北京长城饭店)；框架剪力墙结构（如26层的上海宾馆）；剪力墙结构（包括全部落地剪力墙和部分框支剪力墙）；筒体结构[如芝加哥Dewitt-Chestnut公寓大厦（框筒），芝加哥JohnHancock大厦（桁架筒），北京中国国际贸易大厦（筒中筒）]；框架核心筒结构（如广州中信大厦）；板柱-剪力墙结构。
钢结构房屋建筑的抗侧力体系有：框架结构（如北京的长富宫）；框架-支撑（抗震墙板）结构（如京广中心主楼）；筒体结构[芝加哥西尔斯大厦（束筒）]；巨型结构（如香港中银大厦）。
2.2框架结构、剪力墙结构和框架----剪力墙结构在侧向力作用下的水平位移曲线各有什么特点？答：(1)框架结构在侧向力作用下，其侧移由两部分组成：梁和柱的弯曲变形产生的侧移，侧移曲线呈剪切型，自下而上层间位移减小；柱的轴向变形产生的侧移，侧移曲线为弯曲型，自下而上层间位移增大。
第一部分是主要的，所以框架在侧向力作用下的水平位移曲线以剪切型为主。
(2)剪力墙结构在侧向力作用下，其水平位移曲线呈弯曲型，即层间位移由下至上逐渐增大。
(3)框架-剪力墙在侧向力作用下，其水平位移曲线呈弯剪型,层间位移上下趋于均匀。
2.3框架结构和框筒结构的结构构件平面布置有什么区别?答：(1)框架结构是平面结构，主要由与水平力方向平行的框架抵抗层剪力及倾覆力矩，必须在两个正交的主轴方向设置框架，以抵抗各个方向的侧向力。
抗震设计的框架结构不宜采用单跨框架。
框筒结是由密柱深梁组成的空间结构，沿四周布置的框架都参与抵抗水平力，框筒结构的四榀框架位于建筑物的周边，形成抗侧、抗扭刚度及承载力都很大的外筒。
2.5中心支撑钢框架和偏心支撑钢框架的支撑斜杆是如何布置的？偏心支撑钢框架有哪些类型？为什么偏心支撑钢框架的抗震性能比中心支撑框架好？答：中心支撑框架的支撑斜杆的轴线交汇于框架梁柱轴线的交点。
振型分解反应谱法公式推导过程
振型分解反应谱法公式推导过程一、振型分解反应谱法基本原理。
1. 多自由度体系的运动方程。
- 对于一个具有n个自由度的线性弹性结构体系，在地震作用下的运动方程为：M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)其中，M为质量矩阵（n× n阶），C为阻尼矩阵（n× n阶），K为刚度矩阵（n× n阶），ẍ(t)、ẋ(t)和x(t)分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量（n维），ẍ_g(t)为地震地面加速度时程，1是元素全为1的列向量。
2. 振型分解。
- 假设多自由度体系的位移x(t)可以按照体系的振型φ_j（j = 1,2,·s,n）进行分解，即：x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)其中，φ_j为第j阶振型向量（n维），q_j(t)为第j阶广义坐标（标量）。
- 将x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)代入运动方程M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)，然后左乘φ_i^T（φ_i的转置向量），得到：φ_i^TM∑_j = 1^nφ̈_jq_j(t)+φ_i^TC∑_j = 1^nφ̇_jq_j(t)+φ_i^TK∑_j = 1^nφ_jq_j(t)=-φ_i^TM1ẍ_g(t)- 由于振型具有正交性，即φ_i^TMφ_j=0（i≠ j），φ_i^TKφ_j=0（i≠ j），并且对于比例阻尼C = α M+β K，也有φ_i^TCφ_j=0（i≠ j）。
- 当i = j时，定义广义质量M_j^*=φ_j^TMφ_j，广义刚度K_j^*=φ_j^TKφ_j，广义阻尼C_j^*=φ_j^TCφ_j，则对于第j阶振型，有：M_j^*q_j(t)+C_j^*q_j(t)+K_j^*q_j(t)=-φ_j^TM1ẍ_g(t)进一步化为标准形式：q_j(t)+2ξ_jω_j q_j(t)+ω_j^2q_j(t)=-frac{φ_j^TM1}{M_j^*}ẍ_g(t)其中，ω_j=√((K_j)^*)/(M_{j)^*}为第j阶圆频率，ξ_j=frac{C_j^*}{2M_j^*ω_j}为第j阶阻尼比。
计算多自由度弹性体系的最大地震反应
＝
＋
＋
鲁＝
的结 构。当建筑 物有局部 凸出屋 面 的小建筑 物 （ 如屋 顶 间 ， 女儿
＋
＿０． ０ ８ ３×１ ０一 ｍ。
通 过振 型组合求结构 的最大顶点 位移 为 ：
＝ ＝ １ ０
（ １ — ６ ） 或 ： 譬 Ｆ ￣ Ｋ ］ ｄ ｚ Ｊ ３ ｄ ／ ｆ Ｅ ｄ 、 建 筑 上 的 地
∑ ∑
６ ． ４ ４ ２ ４ － （ 一０ ． ７ ９ ９ ） ＋０ ． ０ ８ ３ ‘＝
６ ． ４ ９ ２ ｍｍ 。
震作用需乘 以增 大系数 ， 抗震规范规定该增大系数 取为 ３ 。但是 ， 应注 意鞭梢效应 只对局 部凸出小建筑有影 响 ， 因此作用 在小建筑
＝６ ． ４ ９ １ ｍｍ 。
６ ＝０ ． ０ ８ ＋０ ． ０ ７＝０． ０ ８×０ ． ４ ３ ３＋０ ． ０ ７＝０． １ ０ ５。
ｒ ｌ ３ ＝１ ． ０× ９ ． ８× ０ ． ０ ９ ７ ６×１ ． ４ ２ １ ×１＝１ ． ３ ５ ９ ｋ Ｎ。
第二振型各质点 （ 或各楼 面） 水平地震作用为 ：
＝
半
—
＋
＋— －０ ． ８ ０ ０ ６ ’ ０ ０ ：
一
比， 可见底部 剪力法 的计算结 果 ＋ 鲁＝ ＋ 与振 与振型分解法的计算结果相 型分解反应谱法很接近 。
１ ２ ０ ０
０． ’ ７ ９ ９ ×１ ０～ ‘ ｍ。 ‘ ‘
说明 ： 底部剪力法适用于重量 和刚度沿高 度分布 均 比较 均匀 烟 囱） 等 时， 由于该部 分结 构 的重 量 和刚度 突然变 小 ， 将产 生 ＋ 墙 ， 鞭梢效应 ， 即局部 凸 出小 建筑 的地震 反应 有加 剧 的现 象。因此 ， 当采用底 部剪 力法计算 这类小建筑 的地震 作用效 应时 ， 计算按 式
桥梁结构地震反应分析
2021/6/18
12
Pushover 法的计算步骤如下：
① 假定一个适当的、沿高度分布的侧向荷载模式； ② 按荷载增量法进行结构非线性分析，直至结构到达最终位移限值。增量形式的非线性平衡方
程可以写成：
2021/6/18
2
• 桥梁抗震设计，首先要解决桥梁结构地震反应的计算问题。地震地面运动作为动态作用，其
引起的桥梁结构反应遵循一般的结构动力学原理。但由于地震地面运动有别于一般的动力荷 载，地震地面运动作用下桥梁结构的动力反应分析必然有它的特殊之处。
• 桥梁结构地震反应分析方法可分为解析法和数值法两类。解析法建立在对结构充分简化的基
m x cx k x0
2 k, c m 2m
x2 x2x0
阻尼比
无阻尼圆频率
1 时
x(t)e t (x0codts x 0x0 sid n t) d
20
2.单自由度体系受迫振动
m
P(t)
P(t)
x(t)
t
t t
将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这 些位移相加即 为动荷载引起的位移。
础之上，从目前规定的分析方法来看，普通简支梁桥和拱桥的地震力计算方法仍是基于解析 法。
2021/6/18
3
• 解析解：一种包含分式、三角函数、指数、对数等基本函数的解的形式。用来求解析解的方
法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉。解析法即常见的微积分技巧，如 分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，对任一独立变量，将其带入解 析函数可求出精确的相依变量。
建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应
[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
－k2
－k2
k2
I＝11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt＝－M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑 阻尼影响）
质点1 fI1 fS1＝－m1x1 t m1xg t －k1x1 t k2x2 t k2x1 t ＝0
即 质点2
即
m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t ＝－m1xg t fI 2 fS2＝－m2x2 t －m2xg t －k2 x2 t x1 t ＝0
矩阵；而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
M xtCx t K x t ＝－M Ixg t （4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝0 M 1 K 其中，0， 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法） 适用条件： • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； • 房屋的总高度不超过40m； • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形 为主； • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略 不计。 结构在地震作用下的反应一第一振型为主， 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 且近似为直线。
抗震习题集——精选推荐
抗震习题集结构地震反应分析与抗震验算计算题3.1 单⾃由度体系，结构⾃振周期T=0.5S ，质点重量G=200kN ，位于设防烈度为8 度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0．30g ，设计地震分组为第⼀组，试计算结构在多遇地霞作⽤时的⽔平地震作⽤。
3.2 结构同题3．1，位于设防烈度为8度的Ⅳ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0.20g ，设计地设分组为第⼆组，试计算结构在多遇地震作⽤时的⽔平地震作⽤。
3.3 钢筋混凝⼟框架结构如图所⽰，横梁刚度为⽆穷⼤，混凝⼟强度等级均为C25，⼀层柱截⾯450mm ×450mm ，⼆、三层柱截⾯均为 400mm ×400mm ，试⽤能量法计算结构的⾃振周期 T 1。
3.4 题3．2的框架结构位于设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0.20g ，设计地震分组为第⼆组，试⽤底部剪⼒法计算结构在多遇地震作⽤时的⽔平地震作⽤。
3.5 三层框架结构如图所⽰，横梁刚度为⽆穷⼤，位于设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速为0.30g, 设计地震分组为第⼀组。
结构各层的层间侧移刚度分别为k 1=7.5×105kN ／m ，k 2=9.1×105kN ／m ，k 3=8.5×105 kN ／m ，各质点的质量分别为m 1=2×106kg, m 2=2×106kg, m 3=1.5×105kg ，结构的⾃震频率分别为ω1＝9.62rad/s, ω2=26.88 rad/s,ω3=39.70 rad/s, 各振型分别为：要求：①⽤振型分解反应谱法计算结构在多遇地震作⽤时各层的层间地震剪⼒；②⽤底部剪⼒法计算结构在多遇地震作⽤时各层的层间地震剪⼒。
3.6 已知某两个质点的弹性体系（图3-6），其层间刚度为k 1=k 2=20800kN ／m ，，质点质量为m 1=m 2=50×103kg 。
3.3多自由度弹性体系的地震反应分析2009.9
x31 x32 x3 j x3n
x j1 xj2 x jj x jn
xn1 ]T xn 2 ]T xnj ]T xnn ]T
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析 质量矩阵正交性 刚度矩阵正交性 阻尼正交性
{X} [m]{X}i = 0
T j
(i ≠ j) (i ≠ j) (i ≠ j)
x1 (t )
D1 = (c11 x1 + c12 x2 ) m11 + c11 x1 + c12 x2 + k11 x1 + k12 x2 = m10 x x
质点2 质点2：
x0
m2 2 + c21 x1 + c22 x2 + k 21 x1 + k 22 x2 = m2 0 x x
矩阵形式： 矩阵形式：
体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于 也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。 零，也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。
由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型 由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正 交。
[m]{} + [c]{x} + [k ]{x} = [m]{1}0 x x
刚度的意义
2
K2
k21
K2
2
k22
1
1
K1
k11
1
K1
1
k12
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 = k k22 = k
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24
2.等效质量法
基本思想：用一个等 效单质点体系代替原 来的多质点体系。 等效原则为： 1)等效单质点体系与 原多质点体系的基本 自振频率相等； 2)等效单质点体系自 由振动的最大动能与 原多质点体系自由振 动的最大动能相等。
建筑结构抗震
建筑结构抗震
多质点体系按第一振型振动的最大动能U1max
2579.5 1200 0
K
12
M
•
X1
1200
1484.6
600 •X1 0
0 600 389.8
1
X1 0.648
0.301
第一振型
同样可得
K22M •X 2 0
1
X
2
0.601
0.676
建筑结构抗震
K 32M •X3 0
1
X 3 2.57
2.47
第二振型
第三振型
五、结构周期的计算
其中
x 1 t x 2 t
x
t
＝
x
i t
x
n
t
q1 t q 2 t
qt
＝
q
i t
q n t
X＝X1 X2 X建n筑结构抗震
假定阻尼矩阵 C 可表示为
C＝0 M 1K
体系原运动方程
Mxt 0M1K xt Kxt＝－MIxgt
将 xt＝Xqt 代入上式，并左乘振型矢量XTj 得
XTj M X qtXTj 0M1K X qt
建筑结构抗震
m1 0
0 m2
x1(t) x2 (t)
k1 k2
k
2
k2 k2
x1 x2
(t) (t)
0m1
0 xg (t)
m2
xg (t
)
M x(t) K x(t) M Ixg (t)
考虑阻尼时
M x(t) Cx(t) K x(t) M Ixg (t)
采用瑞雷阻尼假定
C 0M 1K
建筑结构抗震
(i＝1，2， ，n)
由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值
P67、69、70例题
2.利用Matlab编程求解
K 2M 0
2
K
M 1 ＝
012
0
0
2 2
0
0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
2 n
3.矩阵迭代法（stodola法）
建筑结构抗震
建筑结构抗震
XTj
K
Xqt＝XTj
KXj q
j
t
＝
2 j
XTj
MXj
q
j t
XTj
0 M 1 K
Xqt＝0
1
2 j
XTj MXj qj t
将上述各式代入式（4.23），并除以系数 XTj MXj 得
分解后的运动方程
qjt
0
1
2 j
qj t
2 j
q
j
t
＝－
jxg t
式中
＝
j
x11(t) X11
k2
位移比值
x22 (t) X 22 k1 k2 m122
x21(t) X 21
k2
仍为常数
体系运动的组成：包含所有的频率和振型
x(t
)
xx12((tt))
X X
11 12
sin(1t
1
)
X X
21 22
sin(
2t
2
)
建筑结构抗震
1)多自由度运动方程的特点——耦联的微分方程; 2） 质点的运动包含所有振型频率 ; 3）各主振型之间具有关系？
建筑结构抗震 振型的正交性：任意两个不同主振型之间互相正交
频率方程
(Ki2M)Xi 0
(K j2M )Xj 0
X
T j
左乘(4.12)
X
T j
(Ki2M )Xi
0
转置变换
X
T i
(K
T
i2M T )X j
0
X
T i
(K
i
2
M
)X
j
0
XTi 左乘(4.13)
X
T i
(K
j
2
M
)X
j
0
式(4.15) － 式(4.16)
K 1.2 1.8 0.6 106 N / m
0 0.6 0.6
K2M 0
1 14.5rad / s 2 31.3rad / s 3 46.1rad / s
T1 0.433s T2 0.202s T3 0.136s
建筑结构抗震 为求解第一振型，将w1=14.5 rad/s代入下式
X 11
k2
X 22 k1 k2 m122
X 21
k2
特点：位移幅 值的比值为常 数
2.对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系
x11 x12
(t) (t)
X X
11 12
sin(1t
1
)
x21 x22
(t) (t)
X X
21 22
s
in(
2
t
2
)
建筑结构抗震
x12 (t) X12 k1 k2 m112
而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载所产生的
假想顶点位移 如对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬
臂杆
ml 4
T1 1.78 EI
将重力荷载作为水平荷载产生的悬臂杆顶点位移uT
mgl 4 8EI
剪切型悬臂杆
T1 1.78
8uT g
1.6
uT
弯曲型悬臂杆 T1 1.8 uT
弯剪型悬臂杆 T1 1.7 uT
•矩阵迭代法的迭代步骤如下：
（型1，）上先标假0定表一示个初试 始探 迭振 代型 振型X。10（）其，中代下入标式1表（示b）第得一振
D
X
0 1
1
X
1 1
Xˆ
1 1
建筑结构抗震
（c）
（2）一般说 X和11 是X不10 一样的（除非 是真X10实的
振型）。再将 代入式X1（1 b）得到
建筑结构抗震
x1 t＝q1 tX11 q 2 tX21 x 2 t＝q1 tX12 q2 tX22
坐标变换x1(t)和x2(t) q1(t)、 q2(t)
2)振型乘以组合系数叠加
将实际位移按振型加以分 解，故称为振型分解法。
二、多自由度体系振型分解 •振型分解式
xt ＝Xqt
建筑结构抗震
•将质点地震作用下任一时刻的位移用其振型的线性组 合表示
体系的运动包含若干个频率的振动，不同频率运动之 间的关系？
建筑结构抗震
四、多自由度体系的振型
建筑结构抗震
振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系
1.对应某一自振频率各质点位移幅值的比值
频率方程
1 ——X11、X12
2 ——X21、X22
(K
2
M
)
X X
1 2
0
X12 k1 k2 m112
建筑结构抗震
X2(t)
-m2X2
m2
h2
k2
X1(t)
K2(X2-X1)
K2(X2-X1)
m1
-m1X1
h1
k1
k1X1
(a)
(b)
(c)
两个自由度的层间剪切模型计算简图
1. 质点的运动
建筑结构抗震
地面运动加速度: xg (t)
质点相对加速度: x1(t)
x2 (t)
质点绝对加速度: x1(t) xg (t) x2 (t) xg (t)
1 2
n i 1
mi (1 xi
)2
等效单质点体系的最大动能
U 2 max
1 2
meq (1 xeq )2
U1max U 2max
n
mi xi2
meq
i1
xe2q
连续质量体系 弯曲型悬臂结构 meq 0.40ml
剪切型悬臂结构 meq 0.25ml
弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。
等效单质点体系的频率
2. 质点1的运动方程
建筑结构抗震
惯性力
f I1 m1[x1(t) xg (t)]
恢复力
f S1 f11 f12 k1x1(t) k2 x2 (t) x1(t)
平衡方程
fI1 fS1 0
质点1运动方程
m1x1(t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) m1xg (t)
12
XTK XTM
X X
Gi X1i g Gi X1i g Giui
i1 n
i1 n
i1 n
mi
X
2 1i
Gi
X
2 1i
Giui2
i 1
i 1
i 1
T1
2 1
2
g
建筑结构抗震
n
Gi
X
2 1i
i 1 n
2
Gi X1i
i 1
n
Giui2
i 1
n
Giui
i 1
ui将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点i处的水平位移
2
k1k2 m1m2
0
( 2 )
1
k1
k2
k2
2
m1
m2
k1 m1
k2 m2
2
k2 m1
2k1 m1