多自由体系结构的地震反应(1)

•矩阵迭代法的迭代步骤如下：
（型1，）上先标假0定表一示个初试 始探 迭振 代型 振型X。10（）其，中代下入标式1表（示b）第得一振
D
X
0 1
1
X
1 1
Xˆ
1 1
建筑结构抗震
（c）
（2）一般说 X和11 是X不10 一样的（除非 是真X10实的
振型）。再将 代入式X1（1 b）得到
12
XTK XTM
X X
Gi X1i g Gi X1i g Giui
i1 n
i1Baidu Nhomakorabean
i1 n
mi
X
2 1i
Gi
X
2 1i
Giui2
i 1
i 1
i 1
T1
2 1
2
g
建筑结构抗震
n
Gi
X
2 1i
i 1 n
2
Gi X1i
i 1
n
Giui2
i 1
n
Giui
i 1
ui将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点i处的水平位移
建筑结构抗震
第四章 多自由体系结构的地震反应
4.1 概述 4.2 多自由度体系的自由振动 4.3 多自由度体系的振型分解法 4.4 多自由度体系的水平地震作用及效应 4.5 多自由度体系的时程分析
建筑结构抗震
要点
• 振型的基本概念及解耦的条件 • 振型分解法：多—单—多 • 反应谱法的应用：作用及效应
K 1.2 1.8 0.6 106 N / m
0 0.6 0.6
K2M 0
1 14.5rad / s 2 31.3rad / s 3 46.1rad / s
T1 0.433s T2 0.202s T3 0.136s
建筑结构抗震 为求解第一振型，将w1=14.5 rad/s代入下式
24
2.等效质量法
基本思想：用一个等 效单质点体系代替原 来的多质点体系。 等效原则为： 1)等效单质点体系与 原多质点体系的基本 自振频率相等； 2)等效单质点体系自 由振动的最大动能与 原多质点体系自由振 动的最大动能相等。
建筑结构抗震
建筑结构抗震
多质点体系按第一振型振动的最大动能U1max
1 2
n i 1
mi (1 xi
)2
等效单质点体系的最大动能
U 2 max
1 2
meq (1 xeq )2
U1max U 2max
n
mi xi2
meq
i1
xe2q
连续质量体系 弯曲型悬臂结构 meq 0.40ml
剪切型悬臂结构 meq 0.25ml
弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。
等效单质点体系的频率
2579.5 1200 0
K
12
M
•
X1
1200
1484.6
600 •X1 0
0 600 389.8
1
X1 0.648
0.301
第一振型
同样可得
K22M •X 2 0
1
X
2
0.601
0.676
建筑结构抗震
K 32M •X3 0
1
X 3 2.57
2.47
第二振型
第三振型
五、结构周期的计算
建筑结构抗震
XTj
K
Xqt＝XTj
KXj q
j
t
＝
2 j
XTj
MXj
q
j t
XTj
0 M 1 K
Xqt＝0
1
2 j
XTj MXj qj t
将上述各式代入式（4.23），并除以系数 XTj MXj 得
分解后的运动方程
qjt
0
1
2 j
qj t
2 j
q
j
t
＝－
jxg t
式中
＝
j
2. 质点1的运动方程
建筑结构抗震
惯性力
f I1 m1[x1(t) xg (t)]
恢复力
f S1 f11 f12 k1x1(t) k2 x2 (t) x1(t)
平衡方程
fI1 fS1 0
质点1运动方程
m1x1(t) (k1 k2 )x1(t) k2 x2 (t) m1xg (t)
XTj K Xqt＝－XTj MIxg t
（4.23）
建筑结构抗震
考虑式（4.23）左端第一项
q1 t q2 t
XTj M Xqt＝XTj MX1
Xi
Xn
qi t
qn
t
利用振型正交性
XTj MX1q1t XTj MXiqi t XTj MXn qn t
＝XTj MXjqjt
类似地，可推得：
体系的运动包含若干个频率的振动，不同频率运动之 间的关系？
建筑结构抗震
四、多自由度体系的振型
建筑结构抗震
振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系
1.对应某一自振频率各质点位移幅值的比值
频率方程
1 ——X11、X12
2 ——X21、X22
(K
2
M
)
X X
1 2
0
X12 k1 k2 m112
(
2 j
i2 )XiT M )Xj
0
18
振型关于质量矩阵正交性
建筑结构抗震
XiT M X j 0
同样可得 振型关于刚度矩阵正交性
XiT KX j 0
建筑结构抗震 例4.1 三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型
解:
2 0 0
M 0 1.5 0 103 kg
0 0 1
3 1.2 0
建筑结构抗震
2. 质点2的运动方程
惯性力
f I 2 m2 x2 (t) xg (t)
恢复力
f S2 f S21 k2 x2 (t) x1(t)
平衡方程 质点2运动方程
fI2 fS2 0
m2 x2 (t) k2 x2 (t) k2 x1(t) m2 xg (t)
写成矩阵形式
建筑结构抗震
4.1 概述
1.实际房屋的自由 度：无限个。简化： 有限自由度模型
2.常用分析模型： 层间模型。每层楼 面、屋面可作为一 个质点，墙柱质量 则分别向上下质点 集中。
建筑结构抗震
Xn(t)
mn
Xi(t)
mi m2
m1
Xg(t)
X2(t) X1(t)
层间模型计算简图
4
建筑结构抗震
4.2 MDOF体系自由振动
k
m
建筑结构抗震
1
k
meq
1
meq
T1 2 meq
——体系在等效质点处受单位水平力所产生的水平位移。
例4.3 用等效质量法求4.1基本周期
T1 0.466s与精确解0.433s差7%
n
mi xi2
meq
i1
xe2q
3.顶点位移法
建筑结构抗震
基本思想：将悬臂结构的基本周期，用顶点位移来表示，
•矩阵迭代法是首先假定振型形状，经过迭代调整一直到 获得满意的结果，然后再确定自振频率假定体系的刚度矩
阵的K逆1 矩阵 存在，将其左乘式（4.20）
1 X K 1M X
（a）
令D K 1M ，得 D X 1 X （b）
式（b）就是迭代方程，式中矩阵 D 代表了结构的所有
动力特征，所以也叫动力矩阵.
X
T j
M
I
X
T j
M
X
n
＝ miX ji
j i＝1
n
m
i
X
2 ji
i＝1
令式 可改写成
建筑结构抗震
X2(t)
-m2X2
m2
h2
k2
X1(t)
K2(X2-X1)
K2(X2-X1)
m1
-m1X1
h1
k1
k1X1
(a)
(b)
(c)
两个自由度的层间剪切模型计算简图
1. 质点的运动
建筑结构抗震
地面运动加速度: xg (t)
质点相对加速度: x1(t)
x2 (t)
质点绝对加速度: x1(t) xg (t) x2 (t) xg (t)
建筑结构抗震
m1 0
0 m2
x1(t) x2 (t)
k1 k2
k
2
k2 k2
x1 x2
(t) (t)
0m1
0 xg (t)
m2
xg (t
)
M x(t) K x(t) M Ixg (t)
考虑阻尼时
M x(t) Cx(t) K x(t) M Ixg (t)
采用瑞雷阻尼假定
C 0M 1K
一、振型分解法基本概念
1.思路：利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的 微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使 原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度 体系的问题；
2.求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个 解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。
建筑结构抗震
3. 两自由度体系振型分解法 1)坐标变换
其中
x 1 t x 2 t
x
t
＝
x
i t
x
n
t
q1 t q 2 t
qt
＝
q
i t
q n t
X＝X1 X2 X建n筑结构抗震
假定阻尼矩阵 C 可表示为
C＝0 M 1K
体系原运动方程
Mxt 0M1K xt Kxt＝－MIxgt
将 xt＝Xqt 代入上式，并左乘振型矢量XTj 得
XTj M X qtXTj 0M1K X qt
无阻尼自由振动方程
M x(t) Kx(t) 0
建筑结构抗震
M
X X
1 2
2
s
in(t
)
K
X X
1 2
s
in(t
)
0
(K
2
M
)
X X
1 2
0
频率方程
(K 2M ) 0
建筑结构抗震
或
k1 k 2 m1 2
－k 2
展开
－k2 ＝0
k 2 m2 2
( 2 )2
k1
k2 m1
k2 m2
二）求解结构体系自振频率及振型的其它建方筑法结构抗震
1.广义雅可比法
求解自振频率及振型的问题归结为求解
式 KX＝MX
（4.20）
中的特征值 和特征向量 X 的问题.
广义雅可比法的基本思路是寻找合适的相似转换矩阵 P
和Q ，使
1
P K Q＝ i
3
1
P M Q＝ i
n
于是特征值 i＝i i
建筑结构抗震
x1 t＝q1 tX11 q 2 tX21 x 2 t＝q1 tX12 q2 tX22
坐标变换x1(t)和x2(t) q1(t)、 q2(t)
2)振型乘以组合系数叠加
将实际位移按振型加以分 解，故称为振型分解法。
二、多自由度体系振型分解 •振型分解式
xt ＝Xqt
建筑结构抗震
•将质点地震作用下任一时刻的位移用其振型的线性组 合表示
而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载所产生的
假想顶点位移 如对质量沿高度均匀分布的等截面弯曲型悬
臂杆
ml 4
T1 1.78 EI
将重力荷载作为水平荷载产生的悬臂杆顶点位移uT
mgl 4 8EI
剪切型悬臂杆
T1 1.78
8uT g
1.6
uT
弯曲型悬臂杆 T1 1.8 uT
弯剪型悬臂杆 T1 1.7 uT
X 11
k2
X 22 k1 k2 m122
X 21
k2
特点：位移幅 值的比值为常 数
2.对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系
x11 x12
(t) (t)
X X
11 12
sin(1t
1
)
x21 x22
(t) (t)
X X
21 22
s
in(
2
t
2
)
建筑结构抗震
x12 (t) X12 k1 k2 m112
建筑结构抗震
(i＝1，2， ，n)
由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值
P67、69、70例题
2.利用Matlab编程求解
K 2M 0
2
K
M 1 ＝
012
0
0
2 2
0
0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
2 n
3.矩阵迭代法（stodola法）
建筑结构抗震
2
k1k2 m1m2
0
( 2 )
1
k1
k2
k2
2
m1
m2
k1 m1
k2 m2
2
k2 m1
2k1 m1
k
2
2k2 m2
• 频率特征
1——第一自振圆频率
建筑结构抗震 2 ——第二自振圆频率
T1 2 /1——较大的为第一自振周期
T2 2 /2——较小的为第二自振周期
f1 1 / 2 ——较小的为第一自振频率 f2 2 / 2 ——较大的为第二自振频率
建筑结构抗震 振型的正交性：任意两个不同主振型之间互相正交
频率方程
(Ki2M)Xi 0
(K j2M )Xj 0
X
T j
左乘(4.12)
X
T j
(Ki2M )Xi
0
转置变换
X
T i
(K
T
i2M T )X j
0
X
T i
(K
i
2
M
)X
j
0
XTi 左乘(4.13)
X
T i
(K
j
2
M
)X
j
0
式(4.15) － 式(4.16)
D
X
1 1
1
X
2 1
Xˆ
2 1
（d）
其中
X
2 1
是第二次近似振型矢量
（的3）如就果是所X求12的和特X征11 值间。误如差两满者足误要差求不，满则足式要（求d），中则继
续进行迭代。可以证明，该迭代过程最终将收敛于第一振 型。
建筑结构抗震
4.3 MDOF体系的振型分解法
建筑结构抗震
建筑结构抗震
一）基本周期的实用近似计算
1.能量法 1)体系的最大变形能 2)体系的最大动能 3)能量守恒原理
U
max
1 2
X
(t
)
T max
K
X
(t) max
Emax
1 2
2 X
(t)T
M
X
(t)
Ed U max
2
X T KX X T M X
对应第一振型，假定 KX 1 F1 G
n
n
n
x11(t) X11
k2
位移比值
x22 (t) X 22 k1 k2 m122
x21(t) X 21
k2
仍为常数
体系运动的组成：包含所有的频率和振型
x(t
)
xx12((tt))
X X
11 12
sin(1t
1
)
X X
21 22
sin(
2t
2
)
建筑结构抗震
1)多自由度运动方程的特点——耦联的微分方程; 2） 质点的运动包含所有振型频率 ; 3）各主振型之间具有关系？