离散数学期末考试试题
离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系?A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案:D2. 布尔代数中,下列哪个运算符表示逻辑“与”?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B3. 下列哪个命题的否定是正确的?A. 如果今天是周一,则明天是周二。
B. 如果今天是周一,则明天不是周二。
答案:B4. 在图论中,一个图的顶点数为n,边数为m,下列哪个条件可以保证该图是连通的?A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 在集合论中,一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案:子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的,那么对于任意的a1, a2 ∈ A,如果a1 ≠ a2,则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案:单射性3. 在图论中,一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1,则该图被称为______。
答案:完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中,当A为真,B为假,C为真时,整个表达式的值为______。
答案:真三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的哈密顿回路,并给出一个例子。
答案:哈密顿回路是图中的一个回路,它恰好访问每个顶点一次。
例如,在一个完全图中,任意一个顶点出发,依次访问其他顶点,最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系,并给出一个二元关系的例子。
答案:二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如,小于关系是实数集合上的一个二元关系,它关联了每一对实数,如果第一个数小于第二个数。
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离散数学期末试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】326《离散数学》期末考试题(B )一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧⌝)(; (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).三.1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ?}, {{a , b }, a , b },16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤,奇数.二、1.22,2,m mn mn ., g , g . ,2,4.,不存在,不存在. 5.连通,3,10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃,}}{{c B A =⋂,{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1,-2,-3,-6,1,2,3,6}. .四、证 对于任意A y x ∈,,若)()(y f x f =,则))(())((y f g x f g =,即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射,因此y x =,于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ,令)}2,(),1,{(b a f =,)},3(),,2(),,1{(ββα=g ,这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射,而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下:2.(1)由于R b b ∉),(,所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(,所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(,而R d b ∉),(,因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(,于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ,进而R 是传递的.综上所述,所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知,))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证 不妨设G 的阶数3≥n ,否则结论是显然的. 根据推论1知,63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ,由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤,进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ,与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种,r = 0,1,2,…,则排列计数生成函数65432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .。
离散数学期末复习题(6套)

《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设}}{},,{{c b a A =,}}{},,{},{{c c b a B =,则)(=⋃B A ,)(=⋂B A ,)()(=A P .2.集合},,{c b a A =,其上可定义( )个封闭的1元运算,( )个封闭的2元运算,( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设A , B 是集合,若A B A =-,则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数,则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列,可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ,)1,()(+=x x x f ,则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合,证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-,并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合,定义N 上的关系R 如下:y x R y x +⇔∈),(是偶数,1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ,使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数,而所有自然数是整数,所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合,令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ,定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(,),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅,证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ,则G 是连通图,试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅},则-A ∅ = ( ),-A {∅} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元.5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当n 为( )时,n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分,共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系,1-R 是R 的逆关系,则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数,则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合,≤是其上的小于等于关系,则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ,又存在右逆元r a ,则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}中,2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:,若g f 是单射,证明f 是单射,并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ,必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字,其中三个1,两个2,一个3,求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 若n B m A ==||,||,则=⨯||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射.3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(;(2))(q p p ∨→;(3))(q p p ∧→;(4)q q p p →∨∧⌝)(;(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定是( )图,且其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 设A , B , C 是集合,则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ∈ C . (B)若A ⊆ B , B ∈ C ,则A ⊆ C .(C)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ∈ C . (D)若A ∈ B , B ⊆ C ,则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ,S ⊆ A ⨯ A ,则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的,则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的,则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的,则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的,则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中,下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图,且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1,则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.设f : Z → Z ,x x x f 2||)(-=,则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射,若G 1是Abel 群,则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格,对于L z y x ∈,,,若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+,则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图,则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合,使下列各式(1)A B A =⋂; (2)A B B A -=-;(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系,其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}, 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人,每个人恰有3个朋友,则n 必为偶数,试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个,其中有( )单射,( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子,F (x ): x 是闪光的,则命题“金子都是闪光的,但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合,则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( ),零元是( ),P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图,当n ≥ ( )时是Hamilton 图,当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系,则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合,使B B A =-成立的充要条件是什么,并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系,证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图,若n m ≥,证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下,求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(,其中b ,c 为常数且kn 2=,k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ,{a }( )B ,{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( ),lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构,其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵,不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分,共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下:对于任意x , y ∈ Q ,y x * = x + y – xy ,则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ,则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车,B (x ): x 是汽车,F (x , y ): x 比y 快,则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅,则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图,G是G的补图,若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图,则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射,证明f是单射,并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图,并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中,一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数,O(x): x是奇数,则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图,则G 一定 ( )连通图,其每个面恰由( )条边围成,G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分,共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素,则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中,( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集,( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”.1. 设A ,B ,C 是集合,若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集,若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界,则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下,有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射,证明g 是满射,并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下:对于任意∈y x , Z ,y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明:在至少两个人的人群中,必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色,证明:无论如何涂法,总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps :答案见离散数学期末复习题(6套)答案文档)。
离散数学期末试卷及答案

一.判断题(共10小题,每题1分,共10分)在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误:1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2.∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )3.初级回路一定是简单回路。
( )4.自然映射是双射。
( )5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。
( )6.群的运算是可交换的。
( )7.自然数集关于数的加法和乘法<N,+, >构成环。
( )8.若无向连通图G中有桥,则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9.设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )10.设A、B、C为任意集合,则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )二、填空题(共10题,每题3分,共30分)11.设p:天气热。
q:他去游泳。
则命题“只有天气热,他才去游泳”可符号化为。
12.设M(x):x是人。
S(x):x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号化为。
13.p↔q的主合取范式是。
14.完全二部图K r,s(r < s)的边连通度等于。
15.设A={a,b},,则A上共有个不同的偏序关系。
16.模6加群<Z6,⊕>中,4是阶元。
17.设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>},则R的传递闭包t(R) = 。
.18.已知有向图D的度数列为(2,3,2,3),出度列为(1,2,1,1),则有向图D的入度列为。
19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20.7阶圈的点色数是。
三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分)21.求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。
离散数学期末试卷(4套附答案)

一、单项选择题(每小题3分,共30分)1.下列为两个命题变元p,q的最小项的是( ) A .p∧q∧⎤ pB .⎤ p∨qC .⎤ p∧qD .⎤ p∨p∨q 2.下列句子不是命题的是( ) A .中华人民共和国的首都是北京 B .张三是学生 C .雪是黑色的D .太好了!3.对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y ),下列说法正确的是( ) A .y 是自由变元 B .y 是约束变元C .(∃x )的辖域是R(x , y )D .(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )4.7.集合A={1,2,…,10}上的关系R={(x ,y )|x +y =10,x ∈A ,y ∈A},则R 的性质是( )A .自反的B .对称的C .传递的、对称的D .反自反的、传递的 5.设论域为{l ,2},与公式)(x xA ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( ) A .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101B .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001 C .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100D .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0010101017. 下列运算不满足...交换律的是( ) A .a *b =a+2bB .a *b =min(a ,b )C .a *b =|a -b |D .a *b =2ab8..设A 是奇数集合,下列构成独异点的是( ) A.<A ,+> B.<A ,-> C.<A ,×> D.<A ,÷> 9. 右图的最大入度是( ) A .0 B .1 C .2D .3第9题图拟题学院(系): 高密校区 适用专业: 学年 2学期 离散数学 (B卷) 试题标准答案10. 设有向图D 的节点数大于1,D=(V ,E )是强连通图,当且仅当( ) A. D 中至少有一条通路 B. D 中至少有一条回路C. D 中有通过每个结点至少一次的通路D. D 中有通过每个结点至少一次的回路 二、填空题(每空3分,共30分)1.设A ={1,2,3,4},B ={2,4,6},则A -B =________,A ⊕B =________。
离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B等于多少?A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆否命题是?A. 若x^2≤0,则x≤0B. 若x^2>0,则x>0C. 若x≤0,则x^2≤0D. 若x≤0,则x^2>0答案:C3. 在图论中,一个图是连通的当且仅当?A. 存在一个顶点到所有其他顶点的路径B. 存在一个顶点到所有其他顶点的回路C. 图中没有孤立的顶点D. 图中至少有两个顶点答案:A4. 以下哪个选项是二元关系的自反性质?A. 对于所有元素x,(x, x)∉RB. 对于所有元素x,(x, x)∈RC. 对于所有元素x,y,(x, y)∈R且(y, x)∈RD. 对于所有元素x,y,z,(x, y)∈R且(y, z)∈R则(x, z)∈R5. 以下哪个命题是真命题?A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 所有的马都不是白色的答案:B6. 以下哪个选项是等价命题?A. p∧q和p∨qB. p∧q和¬p∨¬qC. p∧¬q和¬p∨qD. p∧q和¬p∧¬q答案:D7. 在集合论中,以下哪个操作是幂集?A. 并集B. 交集C. 对称差D. 包含所有子集的集合答案:D8. 以下哪个选项是图的路径?A. 一条边B. 一个顶点C. 一系列顶点和边,使得每对连续的顶点由一条边连接D. 一个环答案:C9. 以下哪个选项是命题逻辑中的合取?B. p∧qC. ¬pD. p→q答案:B10. 以下哪个选项是图的连通分量?A. 一个顶点B. 一条边C. 图的一个极大连通子图D. 图的一个极大不连通子图答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合{1,2,3}的子集个数为__7__。
离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B为()。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {2,3,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆否命题是()。
A. 若x^2≤0,则x≤0B. 若x^2>0,则x>0C. 若x≤0,则x^2≤0D. 若x^2≤0,则x<03. 函数f(x)=x^2+3x+2,其值域为()。
A. {x|x≥-1}B. {x|x≥-2}C. {x|x≥-3/2}D. {x|x≥-2/3}答案:C4. 逻辑运算符“与”的符号是()。
A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:A5. 命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的真值表为()。
B. 真真假C. 假真真D. 真假假答案:A6. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∪B为()。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {2,3,4}答案:C7. 函数f(x)=x^2-4x+4,其定义域为()。
A. RB. {x|x≥4}C. {x|x≤4}D. {x|x=4}答案:A8. 逻辑运算符“或”的符号是()。
A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案:B9. 命题“若x>0或y>0,则x+y>0”的真值表为()。
A. 真真真B. 真真假C. 假真真D. 真假假答案:B10. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A-B为()。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1}D. {2,3,4}答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B={2,3}。
2. 命题“若x>0,则x^2>0”的逆命题是:若x^2>0,则x>0。
离散数学期末考试题(附答案和含解析)

一、填空2.A ,B ,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C)-A4.公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。
6.设A={1,2,3,4},A 上关系图如下,则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。
//备注:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7.设A={a ,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {(a,b),(a,c), (a,d), (b,d), (c,d)} U {(a,a),(b,b)(c,c)(d,d)} 。
//备注:偏序满足自反性,反对称性,传递性8.图的补图为 。
//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图. 自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9.设A={a ,b ,c ,d} ,A 上二元运算如下:* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ,*>的幺元是 a ,有逆元的元素为 a,b,c,d ,它们的逆元分别为 a,b,c,d 。
//备注:二元运算为x*y=max{x,y},x,y ∈A 。
10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。
//(注:什么是格?即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序)二、选择题1、下列是真命题的有( C 、D )A . }}{{}{a a ⊆;B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C .}},{{ΦΦ∈Φ; D .}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有( B 、C )A .{4,3}Φ⋃;B .{Φ,3,4};C .{4,Φ,3,3};D . {3,4}。
离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x)证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))x A(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。
证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))(P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D,(C∨D)E,E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S 证明:(1) (C∨D) E P(2) E(A∧B) P(3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I(4) (A∧B)(R∨S) P(5) (C∨D)(R∨S) T(3)(4),I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪一项是图论中的基本概念?A. 集合B. 函数C. 映射D. 顶点答案:D2. 在逻辑中,下列哪一项表示合取?A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案:B3. 以下哪个命题是真命题?A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬p → p答案:B4. 在集合论中,下列哪个符号表示集合的交集?A. ∪B. ∩C. ⊆D. ⊂答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个图是无环的,则称该图为________。
答案:树2. 在布尔代数中,逻辑或运算的符号是________。
答案:∨3. 如果一个函数f: A → B,则称A为函数f的________。
答案:定义域4. 一个集合的子集个数是2的该集合元素个数次方,这个结论被称为________。
答案:幂集定理三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述图的邻接矩阵和邻接表的定义。
答案:邻接矩阵是一个二维数组,其元素表示图中两个顶点之间是否存在边。
邻接表是图的一种表示方法,其中每个顶点对应一个链表,链表中存储的是与该顶点相邻的顶点。
2. 什么是哥德尔不完备性定理?答案:哥德尔不完备性定理表明,在任何包含基本算术的一致形式系统内,都存在这样的命题:这个命题既不能被证明为真,也不能被证明为假。
3. 请解释什么是二元关系,并给出一个例子。
答案:二元关系是定义在两个集合上的一个子集,它包含所有满足特定条件的有序对。
例如,整数集合上的大于关系就是一个二元关系。
四、计算题(每题15分,共30分)1. 给定一个集合A={1,2,3,4},请计算集合A的幂集。
答案:集合A的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4}, {1,2,3,4}}。
大学离散数学期末考试题库和答案

大学离散数学期末考试题库和答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 在集合论中,以下哪个符号表示“属于”?A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案:A2. 如果A和B是两个集合,那么A∪B表示什么?A. A和B的交集B. A和B的并集C. A和B的差集D. A和B的补集答案:B3. 以下哪个命题是真命题?A. ∀x∈N, x^2 > xB. ∃x∈N, x^2 = x + 1C. ∀x∈N, x^2 ≥ xD. ∃x∈N, x^2 < x答案:C4. 在图论中,一个无向图的边数为E,顶点数为V,那么这个图的生成树的边数是多少?A. EB. V-1C. VD. E-1答案:B5. 以下哪个算法是用于解决旅行商问题(TSP)的?A. 动态规划B. 贪心算法C. 分支限界法D. 回溯法答案:D6. 在逻辑中,以下哪个符号表示“蕴含”?A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案:C7. 以下哪个是二进制数?A. 1010B. 2A3C. 12BD. ZYX答案:A8. 在关系数据库中,以下哪个操作用于删除表中的行?A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案:D9. 以下哪个是布尔代数的基本运算?A. 并集B. 交集C. 差集D. 所有以上答案:D10. 在离散数学中,以下哪个概念用于描述两个集合之间的关系?A. 函数B. 映射C. 序列D. 所有以上答案:D二、多项选择题(每题3分,共15分)11. 以下哪些是集合的基本运算?A. 并集B. 交集C. 差集D. 补集答案:ABCD12. 在图论中,以下哪些是图的基本类型?A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案:ABCD13. 在逻辑中,以下哪些是命题逻辑的基本连接词?A. 与(∧)B. 或(∨)C. 非(¬)D. 蕴含(→)答案:ABCD14. 在关系数据库中,以下哪些是SQL的基本操作?A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案:ABCD15. 在离散数学中,以下哪些是组合数学的基本概念?A. 排列B. 组合C. 二项式系数D. 图论答案:ABC三、填空题(每题3分,共30分)16. 如果集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},那么A∩B=______。
离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B等于()。
A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {4,5}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。
A. 若x≤1,则x≤0B. 若x≤1,则x<0C. 若x≤0,则x≤1D. 若x<1,则x≤0答案:D3. 在图论中,一个连通图的最小生成树包含的边数是()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:A4. 布尔代数中,A+0的结果是()。
A. 0B. AC. 1D. A+1答案:B5. 函数f: X→Y是双射的,当且仅当()。
A. f是单射且满射B. f是单射或满射C. f是单射且非满射D. f是非单射且满射答案:A二、填空题(每题3分,共15分)6. 若A={1,2,3},B={4,5,6},则A∪B的元素个数为 6 。
7. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是“若 x>1 ,则x>0”。
8. 在一个有n个顶点的完全图中,边的总数为 n(n-1)/2 。
9. 布尔代数中,A·1的结果是 A 。
10. 函数f: X→Y是单射的,当且仅当对于任意的x1, x2∈X,若f(x1)=f(x2),则 x1=x2 。
三、解答题(每题10分,共20分)11. 证明:若A和B是等价关系,则A∩B=A=B。
证明:由于A和B是等价关系,根据等价关系的性质,A和B都是自反的、对称的和传递的。
因此,A∩B也是自反的、对称的和传递的,所以A∩B是等价关系。
又因为A和B是等价关系,它们包含相同的元素,所以A∩B=A=B。
12. 给定一个有向图G,其中包含5个顶点和7条边,请构造一个包含所有顶点的最小路径覆盖。
解答:由于题目没有给出具体的图G,我们无法给出一个具体的最小路径覆盖。
但是,根据最小路径覆盖的定义,我们需要找到一组边,使得图中的每个顶点至少与这组边中的一条边相关联,且这组边的数量尽可能少。
离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合{1, 2, 3}的子集个数是:A. 3B. 4C. 8D. 2^3答案:C2. 命题逻辑中,命题p∧(q∨¬p)的真值表中,真值个数为:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B3. 函数f: A→B中,若A={1, 2},B={a, b},则f是单射的必要条件是:A. |A| ≤ |B|B. |A| < |B|C. |A| = |B|D. |A| > |B|答案:B4. 以下哪个图是无向图?A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案:B5. 在图论中,一个图的生成树是:A. 包含图中所有顶点的最小连通子图B. 包含图中所有边的最小连通子图C. 包含图中所有顶点和边的连通子图D. 包含图中所有顶点和边的无环子图答案:A6. 以下哪个命题是真命题?A. 所有偶数都是整数B. 所有整数都是偶数C. 所有奇数都是整数D. 所有整数都是奇数答案:A7. 在布尔代数中,以下哪个运算符表示逻辑与?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B8. 有限状态机中,状态的转移是由以下哪个决定的?A. 当前状态B. 输入符号C. 当前状态和输入符号D. 输出符号答案:C9. 以下哪个是图的遍历算法?A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 动态规划D. 分治算法答案:A10. 在集合论中,以下哪个符号表示集合的交集?A. ∪B. ∩C. ×D. ÷答案:B二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合{1, 2, 3}的幂集是{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}},其中包含元素个数最多的子集是_。
答案:{1, 2, 3}2. 在命题逻辑中,如果p和q都为真,则p∨q的真值为_。
答案:真3. 函数f: A→B中,若A={1, 2},B={a, b, c},则f是满射的必要条件是_。
国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)一、单项选择题(每小题3分,本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树,结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x):x是人,B(x):x是学生,则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路,则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图,结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分,本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分,本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集,其中B = 试(1)写出R的关系表达式;(2)画出关系R的关系图;(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示;(2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数;(4)画出图G的补图的图形,17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合,试证明:若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分,本题共]5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译(每小题6分,本题共】2分)H,设P :昨天下雨. 则命题公式为:P ,12. 设P :小王今天上午去看电影 Q :小王今天上午去打球 则命题公式为:r (PiQ ). 或者(rPAQ )V 〈PA rQ )四、 判断说明题(每小题7分,本题共14分)13. 正确.例:设 A = {a} t H — {a,{a}) 则有且ACI3.说明:举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图, 如K,可以如下图示嵌入平面.(7分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)15. (l )R = {Va ,a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>,V&,d>,VQ,d >}. (4 分)(2)关系图(8分)(3)集合B 无最大元,极大元为6与c.无上界. 16, 解: (1)关系图(2分) (6分)(2分)(6分)(3分) (517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题(本意共8分)18. 证明:V2(2)邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0(6分)(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图(9分)(】2分)(2分) (5分)(7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,(1 分)因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, (3 分)因此AGB. (5分)设xQB,则Vx,x>€BXB,(6 分)因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. (7 分)故得A=B. (8分)。
离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B=()。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。
A. 若x≤0,则x≤1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤1,则x≤0答案:B3. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A5. 命题p:“x>0”,则¬p为()。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A6. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。
A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C7. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A9. 命题p:“x>0”,则¬p为()。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A10. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。
A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=______。
答案:{1,2,3,4}2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是:若x≤1,则x≤0。
(完整word版)离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。
证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→⌝E,⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
离散数学考试试题及答案

离散数学考试试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,以下哪个概念不是布尔代数的基本元素?A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案:D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题?A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案:D3. 在集合论中,以下哪个符号表示集合的并集?A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案:B4. 以下哪个图不是无向图?A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 如果一个命题的逆否命题为真,则原命题的________为真。
答案:逆命题2. 在图论中,如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接,则称这个图为________图。
答案:完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案:子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合,那么这个函数被称为________函数。
答案:有限三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案:欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系,并给出一个例子。
答案:二元关系是指定义在两个集合之间的关系,它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如,小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数,并给出一个简单的例子。
答案:递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如,阶乘函数就是一个递归函数,定义为:n! = n * (n-1)!,其中n! = 1当n=0时。
四、计算题(每题10分,共30分)1. 计算以下逻辑表达式:(P ∧ Q) ∨ ¬R答案:首先计算P ∧ Q,然后计算¬R,最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},求A ∪ B。
答案:A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3,求f(5)。
离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1.下列哪一个不是集合操作? A. 并 B. 交 C. 补 D. 叉积正确答案:D2.下列哪一个不是真命题? A. 1 + 1 = 2 B. 所有的猫都会飞 C. 所有的数都是整数 D. 狗是哺乳动物正确答案:B3.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A ∩ B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3}D. {4, 5}正确答案:B4.设A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A × B的结果是:A. {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}B. {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}C. {(3, 3), (3,4), (3, 5)} D. {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}正确答案:A5.若n为正整数,则n是偶数的充要条件是: A. n可以被2整除 B. n除以2的余数为1 C. n大于2 D. n的绝对值是偶数正确答案:A6.若A = {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5},则A - B的结果是:A. {1, 2}B. {3}C. {1, 3, 4}D. {4, 5}正确答案:A7.已知命题P和命题Q,下列哪个是它们的逻辑等价式?A. P ∧ (P ∨ Q) = P B. P ∧ (P ∨ Q) = Q C. P ∨ (P ∨ Q) = P D. P ∨ (P ∨ Q) = Q正确答案:A8.设n为奇数,则n + n的结果是: A. 2n B. n^2 C.n(n+1) D. n(n-1)正确答案:C9.已知集合A = {1, 2, 3, 4},B = {4, 5, 6},C = {6, 7, 8},则(A ∩ B)∩ C的结果是: A. {1, 2, 3} B. {4} C. {6} D. 空集正确答案:D10.若命题P为真,则下列哪个推理是正确的? A. 如果P为真,则Q为真(反证法) B. P与Q都为真(析取引理)C. P蕴含Q(推理法则) D. P等价于Q(假设法)正确答案:A二、解答题(每题10分,共60分)1.证明:任取集合A和B,有(A ∪ B) - B = A - B解答:运用集合的基本运算性质:对任意元素x,x∈ (A ∪ B) - B,即x ∈ (A ∪ B)且x ∉ B。
离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 设A={1,2,3,4,5},B={2,3,5,7,11},则A∩B等于()A. {1,2,3,4,5}B. {2,3,5}C. {1,4}D. {2,3,5,7,11}2. 下面哪一个图是连通图?()A. 无向图B. 有向图C. 平面图D. 连通图3. 若一个图G有n个顶点,e条边,则以下哪个条件是图G 为连通图的必要条件?()A. n ≥ eB. n ≤ eC. n = eD. n + e = 24. 在一个简单图中,若每个顶点的度数都等于n-1,则该图是()A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 平面图5. 以下哪一个命题是正确的?()A. 每个图都有欧拉回路B. 每个连通图都有哈密顿回路C. 每个图都有哈密顿路径D. 每个连通图都有欧拉路径二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A={a,b,c},B={1,2,3},则A×B的结果是______。
7. 一个连通图的生成树包含______条边。
8. 在一个n阶完全图中,任意两个不同顶点之间的距离是______。
9. 一个图G的顶点集为V,边集为E,则图G的邻接矩阵表示为______。
10. 在一个简单图中,若每个顶点的度数都等于n-1,则该图的边数是______。
三、判断题(每题5分,共25分)11. 一个图的子图包含原图的所有顶点和边。
()12. 一个连通图的所有顶点都连通。
()13. 在一个简单图中,每个顶点的度数都小于等于n-1。
()14. 每个图都有哈密顿路径。
()15. 一个图G的生成树是原图G的子图。
()四、解答题(共50分)16. (10分)设A={1,2,3,4,5},B={2,3,5,7,11},求A∪B 和A-B。
17. (10分)证明:一个连通图的每个顶点的度数都大于等于2。
18. (10分)给定一个图G,顶点集V={a,b,c,d,e},边集E={ab,bc,cd,de,ac,ad},求图G的所有连通分支。
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离散数学试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) ( -P A ( —Q A R)) V (Q A R)V (P A R)= R证明:左端 =(-P A-QAR) V ((Q V P)A R£((—P A-Q)AR)) V((Q V P)A R):=(^P V Q) A R)V(( Q V P ) A R匕(一(P V Q )V(Q V P)) A R:=(「P V Q )V( P V Q )) A fcT A R置换):=R2) x(A(x) —.B(x)) := - x A(x) _._x B(x)证明:x ( A(x) > B(x)〉= x ( f(x) V B(x))= x—A(x) V x B(x)=—- x A(x)V x B(x)=- x A(x) -l xB(x)、求命题公式(P V (Q A R)) >(P A QA R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明:(P V (Q A R))「(P A Q A R>=— (P V (Q A R)) V (P A QA R))二(—P A ( 一QV -R) )V (P A Q A R)二(一P A — Q)V ( -P A -R)) V (P A Q A R)二(_PA _Q R) V (_P A _QA 一R) V ( _P A QA _R)) V ( _PA _QA _R)) V (P A Q R)二m0V m1V m2V m7u M3V M4V M5V M6三、推理证明题(10分)1)C V D,(C V D)》-E, -E >(A A -B), (A A证明(1) xP(x)—B)r(R V S)「:R V S(2)P(a)(1) (C V D)—;「E(3) -x(P(x) >Q(y) A R(x))证明:(2) -E >(A A -B)(4)P(a) >Q(y) A R(a)(3) (C V D)—.(A A -B)(5)Q(y) A R(a)⑷(A A -B)_. (R V S)(6)Q(y)V D)_ (R V S)(7)R(a)(5) (C⑹C V D(8)P(a)⑺R V S(9)P(a) A R(a)2)-x(P(x) —;Q(y) A R(x)) , xP(x)二Q(y) A(10) x(P(x) A R(x))x(P(x) A R(x))(11)Q(y) A x(P(x) A R(x))四、设m是一个取定的正整数,证明:在任取耐1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍证明设印,a2,…,a m1为任取的1个整数,用m去除它们所得余数只能是0, 1,…,m- 1,由抽屉原理可知,耳,a2,…,a m d这m+ 1个整数中至少存在两个数a s和a t,它们被m除所得余数相同,因此a s和a的差是m的整数倍。
五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B U C)=(A-B) n (A-C) (15分)证明•••x 三A- ( B U C) :j x 三 A A XP ( B U C) =xw A A( x^B A x^C):二(x 三 A A x^B)A( xwAA x「O = x - (A-B)A x. (A-C) = x • (A-B)A( A-C)「・A- (B U C) = (A-B)A( A-C)六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={<x,y>| x,y 三N A y=x }, S={<x,y>| x,y 三N A y=x+1}。
求R1、R*S、S*R、R {1,2}、S[{1,2}] ( 10 分)12 2 2 解:R-={<y,x>| x,y e NA y=x } , R*S={<x,y>| x,ywNA y=x +1}, S*R={<x,y>| x,y eN A y= (x+1) },七、若f:A T B 和g:B T C是双射,则(gf ) -1=f-1g-1(10 分)。
证明:因为f、g是双射,所以gf: A T C是双射,所以gf有逆函数(gf) -1: C T A。
同理可推f-1g-1: C T A是双射。
因为<x,y> € f-1g:=存在z ( <x,z> € g-1<z,y> € f-1厂二存在z (<y,z> € f <z,x> € g):二<y,x> € gf:=<x,y> €( gf) -1,所以(gf) -1=f-1g-1。
R {1,2}={<1,1>,<2,4>} , S[{1,2}]={1,4}。
八、(15分)设<A *>是半群,对A中任意元a和b,女口b必有a*b^ b*a,证明:(1) 对A中每个元a,有a*a= a。
(2) 对A中任意元a和b,有a*b*a= a。
(3) 对A中任意元a、b和c,有a*b*c = a*c。
证明由题意可知,若a*b= b*a,则必有a= b。
(1) 由(a*a)*a= a*( a* a),所以a*a= a。
(2) 由a*( a*b*a) = (a*a)*( b*a) = a*b*( a*a) = (a*b*a)* a,所以有a*b*a= a。
(3) 由(a*c)*( a* b* c) = (a*c*a)*( b*c) = a*( b*c) = (a* b)* c = (a* b)*( c*a*c) = (a*b*c)*( a*c),所以有a*b*c = a* c o九、给定简单无向图G= <V, E>,且| V| = m I E = n。
试证:若n A + 2,贝V G是哈密尔顿图证明若n A c m:+ 2,贝V 2n》n i-3mF 6 (1 )。
若存在两个不相邻结点u、v使得d( u) + d( v ) v n,则有2n=送d(w) v mb ( n—2)( n—3) + m= n i- 3mFw^V6,与(1)矛盾。
所以,对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d( u ) + d( v) A n所以G是哈密尔顿图。
离散数学试题(B卷及答案)一、证明题(10分)1) ((P V Q) A -(—P A ( —Q V -R))) V ( —P A -Q) V ( ~P A — R)二T证明左端二((P V Q)A (P V (Q A R))) V -((P V Q)A (P V R))(摩根律):=((P V Q)A (P V Q)A (P V R)) V—((P V Q)A (P V R))(分配律)=((P V Q)A (P V R)) V _((P V Q)A (P V R))(等幕律)=T (代入)2) -x(P(x) > Q(x)) A -xP(x) h x(P(x) A Q(x))证明—x(P(x) > Q(x)) A -xP(x) :=- x((P(x) >Q(x) A P(x))二- x(( ~P(x) V Q(x) A P(x)):二- x(P(x) AQ(x)) h xP(x) A - xQ(x) h x(P(x) A Q(x))二、求命题公式(一P 》Q)》(P V -Q)的主析取范式和主合取范式(10分)解:(一P >Q) >(P V -Q)=—( -P >Q) V (P V —Q)二—(P V Q) V (P V — Q)= (—P A —Q)V (P V — Q) = (—P V PV -Q)A ( —Q V P V —Q)= (P V —Q)= MJ m0V m2V m3四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点,证明其中必存在三个点,使得由它们组成的三角形(可能是 退化的)面积不超过 1/8 (10分)。
证明:把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形,则至少有一个小正方形内有三个点,它们组成的三角形 (可能是退化的)面积不超过小正方形的一半,即1/8。
五、 已知 A 、B 、C 是三个集合,证明 A n (B U C )=(A n B ) U (A n C ) ( 10分)证明:■/ x 三 A n ( B U C ):=x 三 A A x 三(B U C ):=x 三 A A ( x 三B V x 三 C ):二(x 三 A A x 三 B )V ( x 三 A A x 三 C ) u x • (A n B )V A n d x (A n B )U ( A n C ).・.A n ( B U C ) = (A n B )U ( A n C ) 六、 -={A 1, A 2,…,A n }是集合 A 的一个划分,定义 R={<a , b >|a 、b € A , I=1 , 2,…,n},贝U R 是A 上的等价关系(15分)。
证明:-a € A 必有i 使得a € A ,由定义知aRa ,故R 自反。
-a,b € A ,若 aRb ,贝U a,b € A ,即卩 b,a € A ,所以 bRa,故 R 对称。
_a,b,c € A ,若 aRb 且 bRc ,则 a,b € A 及 b,c € A 。
因为 i 丰 j 时 A n A=",故 i=j ,即 a,b,c € A ,所以 aRc ,故R 传递。
总之R 是A 上的等价关系。
七、 若f:A T B 是双射,则f 1:B T A 是双射(15分)。
证明:对任意的x € A ,因为f 是从A 到B 的函数,故存在 y € B ,使<x,y > € f , <y,x > € f -1。
所以,f -1是满射。
对任意的x € A,若存在y 1,y 2€ B,使得<y 1 ,x > € f -1且<y 2,x > € f -1,则有<x,y 1> € f 且<x,y 2> € f 。
因为f 是函数,则y 1=y 2。
所以,f -1是单射。
因此f -1是双射。
八、 设<G, *>是群,<A, *>和<B , *>是<G *>的子群,证明:若 A U B= G,则A =G 或B= G ( 10分)。
证明 假设A M G 且B M G 则存在 a A aB ,且存在b B, b'A (否则对任意的 a A , a B ,从而A =B ,即AU B= B,得 B = G 矛盾。
)三、推理证明题(10分) 1)(P(Q_.S)) A ( —R V P) A Q :.R >S 证明:(1) R 附加前提(2) -R V P P (3) PT(1) (2),1(4) P >(Q >S) P (5) Q >S T(3)(4),l (6)Q P(7) S T(5)( 6),l(8)R_.S CP2) —x(P(x) V Q(x)) , - x —P(x)二.x Q(x) 证明:⑴-x —P(x) P (2) —P(c)T(1),US(3) -x(P(x) V Q(x)) P (4) P (c) V Q(c) T(3),US (5) Q(c) T(2)(4),I (6) x Q(x)T(5),EG对于元素a*b.二G,若a*b.二A因A是子群,a-1“,从而a-1* ( a*b) = b . A,所以矛盾,故a*b.「A。