傅里叶级数复数形式

1l nx π b = ∫ f(x)s in d (n=12 3⋯ x , , , ) n l −l l
代入欧拉公式
e +e c st = o , 2
it
−it
a ∞ nx nx π π 0 f (x) = +∑a c s (n o +b s ) n in 2 n=1 l l
nx nx π π i − ib inπx −inπx a ∞ a i l = 0 +∑ n e +e l − n e l −e l 2 2 n=1 2
f (x) = ∑ ne C
n −∞ = ∞ nx π i l
,
1 C = ∫ f(x)e n 2 −l l
l
nx π i − l
d (n=0 ± ,± ,⋯ x , 1 2 )
注意:傅里叶级数的两种形式， 注意 傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 傅里叶级数的两种形式 复数形式较简洁且只用一个算式计算系数． 的．复数形式较简洁且只用一个算式计算系数．
第十节 傅里叶级数的复数形式
一、复数形式的标准形式 二、小结
Biblioteka Baidu 一、复数形式的标准形式
以2L为周期的函数的傅里叶级数为 为周期的函数的傅里叶级数为
a ∞ nx nx π π 0 f (x) = +∑a c s (n o ), +b s n in 2 n=1 l l
1l nx π a = ∫ f(x)c s o d (n=012⋯ x ,, , ) n l − l l
− 的 达 为 上 表 式 f (x) =e ,将 展 复 形 将 其 成 数 式 −x
的 氏 数 傅 级 .
1 1 −(1+inπ)x 1 1 −x −inπx 解 c = ∫ e ⋅e d = ∫ e d x x n 2 −1 2 −1
1 1−in −1 π [e c sn −ec sn ] o π o π =− ⋅ 2 2 2 1+n π
1−in π 1 s h, in 1 =(− ) 2 2 1+n π
n
1−in π f (x) = ∑ −1 ( ) s h ⋅einπx. in 1 2 2 1+n π n− = ∞
n
∞ +
(x≠2 +1 k =0± ,± ,⋯ k , , 1 2 )
二、小结
傅里叶级数的复数形式 傅里叶系数的复数形式
( n = 1,2,3,⋯)
是 C 于 有 f(x) = ∑ ne
n− = ∞
∞
nx π i l
, 傅里叶级数的复数形式
1 C = ∫ f(x)e n 2 −l l
l
nx π i − l
d (n=0 ± ,± ,⋯ x , 1 2 )
傅里叶系数的复数形式
f 1 例设 (x)是 期 2的 期 数 在[− ,1 周 为 的 函 ,它 − ) 周 它
e −e sint = , 2 i
it
it −
a −ib inπx a +ib −inπx a n n e l + n e l = 0 +∑ n 2 2 n=1 2
∞
a a −ib a +ib 0 n n n C 令0= , C = , Cn = n , n − 2 2 2
nx π − i inπx l l =C +∑C e +C ne 0 − n n 1 = ∞