数值分析复习题1

一、 填空

1. 设

2.8451x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差

r e *≤ 。

2. 设()(0,1,,10)i l x i = 为Lagrange 基函数,则10

30()i i i x l x ==∑ 。

3. 在区间[0,1]上，函数1()x x a ϕ=+与函数22()x x ϕ=正交，则a = 。

4. 能用高斯消元法求解Ax b =的充要条件是 。

5. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数为____________。

6. 矩阵A 的谱半径定义为()A ρ，它与矩阵范数||||A 的关系是 。

7. 已知方程组52832026x y x y +=⎧⎨-=⎩

,其雅可比法的迭代矩阵是____________。 8. 设f(x)可微，则求方程sin x =f(x)根的牛顿迭代格式为 。

9．利用欧拉公式计算积分2

x t y e dt =⎰的近似值,其迭代格式为____________。 10．区间]1,1[-上的求积公式])1()1([31])1()1([)(11-'-'--+≈⎰-f f f f dx x f 具有 阶代数精度。

二、求32

()f x x =在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,并估计误差。

三、给定线性方程组12312232540.56x x x ax x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（a 为实数）。

（1）写出求解上述方程组的Gauss-Seidel 迭代格式；

（2）确定a 的取值范围使Gauss-Seidel 迭代法收敛；

（3）a 为何值时收敛最快。

四、试由()2x f x =的函数表 :101

():0.512x f x -

建立二次插值多项式2()p x ,并求0.32的近似值及用误差公式估计其误差。

五、已知实验观测数据(,)(1,2,,)i i x y i m = ，令1)(0=x ϕ，∑=-=m

i i x m x x 1

11)(ϕ，

取拟合函数为)()()(1100x a x a x ϕϕϕ+=，试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数01,a a （推导出计算公式）。

六、把区间分成4等份，利用复化梯形公式计算积分211dx x

⎰的近似值，并利用误差公式估计其误差。

七、如果()g x 在方程()x g x = 根*x 的附近具有p 阶连续导函数,且 '''(1)()()()0p g x g x g x **-*==== ， 但()()0p g x *≠，试证明迭代格式 1()k k x g x +=，0,1,2,k = 具有p 阶收敛速度。

八、对初值问题(0)1y y y '=-⎧⎨=⎩

，在区间[]0,x 上证明用预估－校正法求得的近似解为21

2(1),0,1,2,,n n y h h n =-+= 并证明当步长0h →时, n y 收敛于该初值问题的准确解。