二次函数中的符号问题

这一结论及推导过程。
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C、2个
D、1个
o x=1
x
24
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 B、3个
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
25
想一想：
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶 点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范 围,并说明理由.
8
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位Βιβλιοθήκη Baidu确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号：
a、b同号
a、b异号 b=0 简记为：左同右异
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
9
与x轴有一个交点
与x轴无交点
令x=-2，看纵坐标
11
用心练一练!
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ C ） A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
（a、b、c、△等符号）
1
二次函数的几种表达式：
①、 y ax (a 0)
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a( x h) (a 0) 2 ④、 y a( x h) k (a 0) 2 ⑤、 y ax bx c(a 0)
②、 y
2
b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点
b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
6
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与 什么有关？ a
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点 是 (0,C) .
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
直线x=-
b 2a
7
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 a>0 开口向上 a<0 开口向下 （2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. c>0 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点 c<0 c=0
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归纳小结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用 注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函 数值y的取值范围 （2）a，b，c，Δ的正负与图象的位置关系 注意：图象与轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）时 AB=|x2-x1|= √(x1+x2 )2+4x √Δ 1 x2= —— |a|
3
a,b的作用:
a、b同时决定对称轴位置： a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴
4
c的作用:
决定抛物线与y轴的交点： c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时,抛物线过原点 c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
5
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点
∴ａｂｃ＞０
又：ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ时，Ｘ＝１
如图，ｘ＝１时，ｙ＞０
即ａ＋ｂ＋ｃ＞０
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训练4:如图, x＝1 是抛物线 y=ax２+bx+c
的对称轴，则 3b－2c 0
分析： ∵x＝1 是对称轴 b 1 ∴－ ＝1，a＝－ b* 2a 2 又∵ x＝－1时， y<0 ∴a－b＋c <0 1 将*代入：－ 2 b－b＋c <0 变形可得：3b－2c > 0
a>b>c,且a+b+c=0,则它的图像可能是
分析：
∵a＋b＋c=0
且a> b> c
∴a、c 必异号
故 a>0，c<0
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训练7：二次函数 y=x２+bx+c中，如果
b＋c＝0 则图像经过
A. (－1，－1) B. (1，1)
点
C. (1，－1)
分析： 若得 b＋c＝0
D. (－1，1)
必取 x＝1，此时
< a+b+c_____0, > a-b+c____0 > 4a-2b+c_____0
abc___0 > 2a+b_____0 <
-2 -1
0
1
15
y
２、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，下列判断不正确的是（ ④） ①、abc>0, ②、b2-4ac<0, ③、a-b+c<0, ④、4a+2b+c>0.
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训练2：如图所示抛物线y=ax２+bx+c，
则有：
A. a+b+c<0 B. a+b+c=0 C. a+b+c>0 D. a+b+c符号不定
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训练3：二次函数y=ax２+bx+c如图所示，
则点P(a+b+c,abc) 在
A. 第一象限 C. 第三象限 分析： ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０ B. 第二象限 D. 第四象限
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a+b+c=0 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方 点在x轴上 a-b+c=0
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训练5：抛物线表示函数 y=ax２+bx+c 的图像,
则a、b、c 的大小关系是
A. a> b= c B. a> c> b C. a> b> c
D. a、b、c大小关系不确定 分析： a> 0，b< 0，c< 0
隐含：a－b＋c <0
∴ c －b <－ a c －b < 0 c <b
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训练6:如图已知二次函数y=ax２+bx+c,如果
2
o
x
(顶点式) (一般式)
b 2 4ac b ⑥、 y a( x ) (a 0) 2a 4a
2
a的作用:
(1)决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下. (2)决定形状: ︱a︱相同,则形状相同. ︱a︱不同,则形状不同. (3)决定开口大小: ︱a︱越大,则开口越小. ︱a︱越小,则开口越大. (4)决定最值:a>0时,有最低点,有最小值. a<0时,有最高点,有最大值. (5)决定增减性:a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大. a<0时,在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
y
1、当x=1 时，
y=a+b+c
2、当x=-1时，
y=a-b+c
x -2 -1 o 1 2
3、当x=2时，
4、当x=-2时，
……………
y=4a+2b+c y=4a-2b+c
……………
14
用心试一试!
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a___0, b_< _0, c___0, < >
= b = 2a, 2a-b___0, b2-4ac_____0 >
o
x
21
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
22
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c A、第一象限 y B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
23
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个 y
y＝1＋b＋c＝1 ∴点（1，1）在抛物线上
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训练8：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
b ，a）在（ D ） 所示，则点M（ c
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y
o
x
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这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析……
y M 1 B A x O 1
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训练1：抛物线y=ax２+bx+c如图所示，
则正确的是：
A. a<0, b<0, c>0, b２ <4ac B. a<0, b > 0, c<0, b２ <4ac C. a<0, b>0, c>0, b２ > 4ac D. a>0, b<0, c<0, b２ > 4ac
-1 o
2
x
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在 同一坐标系内的大致图象是（ C ）
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
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利用以上知识主要解决以下几方面问题： （1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大 致位置；
（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关 a,b,c的代数式的符号；
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快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
18
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
19
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
20
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
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a b c 2a+b 2a-b
开口方向大小 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号
与y轴交点 交于上半轴c>o 下半轴c<0 -
b 与1比较 2a b 与-1比较 2a
与x轴交点个数 令x=1，看纵坐标 令x=-1，看纵坐标 令x=2，看纵坐标
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
y
o
x
y
x
o
y
o
x
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二次函数：y=ax２+bx+c (a≠0) 信息： 1.四个字母
2.三对特殊值
a＞0
b＜0
x=0时 x=1时
c＞0 △＞0
y=c y=a+b+c
x=－1时
y=a-b+c
3.二个特殊位置
y轴是对称轴 b=0
抛物线过原点
c=0
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：