清华大学微积分课件(全)x52

r r (t ) = C
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∂u ∂u [例4] 求证满足微分方程 y +x = 0 的 u( x , y ) ∂y ∂x 为 u( x , y ) = f ( x − y ), 其中, f为任意一元可微 函数 . ( [ 提示 ] : 考察曲线 L : x 2 − y 2 = C )
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x −1 y−1 z − 2 故切线方程为 : = = 1 0 − 1 2 1 法平面方程为： ( x − 1) − (z − 2) = 0 法平面方程为： 2 2x = z 即 z
2
y
2
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x
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[解法 2] 解法
化为参数方程
2 2
将柱面 : ( x − 1) + y = 1 代入 上半球面 : z = 4 − x 2 − y 2
法线方程
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x − x0 y − y0 z − z0 = = z ′ ( M 0 ) z ′y ( M 0 ) −1 x
7
3、曲面的参数方程 、
x = x ( u, v ) S : y = y ( u, v ) z = z ( u, v )
u = u( x , y ) v = v( x, y)
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∂F ∂F ∂F T dx dy dz T ( , , ) ⋅( , , ) =0 dt dt dt ∂x ∂y ∂z
注意到
∂F ∂ F ∂ F T gradF = ( , , ) ∂x ∂y ∂z
是L的切向量 的切向量
dx dy dz T T =( , , ) dt dt dt
切 平 面 方 程
x x x x x Z − yf ( ) = f ′( )( X − x) + [ f ( ) − f ′( )](Y − y) y y y y y
当 ( X , Y , Z ) = ( 0, 0, 0 ) 时, 两端恒等
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因此所有切平面都经过原点. 因此所有切平面都经过原点.
→
于是 , 所求切平面方程为
6 ⋅ 3( x − 3) + 2 ⋅ 1( y − 1) + ( −2) ⋅ 1( z − 1) = 0
或 6 ⋅ ( −3)( x + 3) + 2 ⋅ ( −17 )( y + 17 ) + ( −2) ⋅ ( −17 )( z + 17 ) = 0
即 9 x + y − z − 27 = 0
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2、曲面方程 : z = f ( x , y ) 将方程改写为 F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z = 0
可得 切平面方程
r ∂z ∂z T n = ( , , − 1) ∂x ∂y
∂f ( M0 ) ∂f ( M0 ) ( x − x0 ) + ( y − y0 ) − ( z −z0) = 0 ∂x ∂y
2 2
[证] 只需证明 :
u = f ( x − y ) 等价于 ∂u ∂u u = u( x , y )满足微分方程 y +x =0 ∂x ∂y
2 2
因为u = f ( x 2 − y 2 ) 等价于
2 2
在曲线 L : x − y = C 上 u( x , y ) ≡ 常数
又等价于 gradu( x , y ) 与 L 切向量处处正交 2012-4-4 21
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x 2 + y2 + z 2 = 4 [例] 求曲线 L : 2 x + y2 = 2 x 在点 M 0 (1,1 , 2 )处的切线和法平面方程 .
[解法1 ] 解法
方程两边对 x求导
2 x + 2 yy' ( x ) + 2zz' ( x ) = 0 2 x + 2 yy' ( x ) = 2 −1 y' (1) = 0, z' (1) = 解出 2
M0
利用上述结果， 利用上述结果，隐函数方程组表示 的曲线的切向量可写成另一种形式
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F ( x, y, z ) = 0 L: G ( x , y , z ) = 0
M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L
L 在点 M 0 的切线既位于 F ( x , y, z ) = 0的切平面 上
则 Fx′ = 6x ,
F y′ = 2 y ,
设切点为 ( x0 , y0 , z 0 ), 则有 2 2 2 3 x0 + y0 − z0 − 27 = 0 = 2012-4-4 (10 + λ ) x 0 + ( 2 + λ ) y 0 − ( 2 + λ ) z 0 − 27 10 0
2 2
得z = 2( 2 − x )
x − 1 = cos t 圆( x − 1) + y = 1的参数方程是 y = sin t 代入 z x = 1 + cos t 得曲线的参数方程： 得曲线的参数方程： y = sin t t z = 2 sin 2
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r r r 若 r ( t ) ⋅ r ′( t ) ≡ 0 , 则 | r ( t ) |≡ C d r 2 d 2 2 2 r (t ) = [ x(t ) + y(t ) + z(t ) ] [证] dt dt x ′( t ) r r = 2( x ( t ), y( t ), z( t )) y′( t ) = 2r ( t ) ⋅ r ' ( t ) = 0 z′( t )
如何求曲线 L : F ( x , y ) = 0在点M 0 ( x0 , y0 )处 的切向量？ 的切向量？ 当∇F ( M 0 ) ≠ 0时, 不妨设 F y′ ≠ 0
确定函数 : y = f ( x ), 且y0 = f ( x0 ) 参数形式 : x = x , y = f ( x ) dy v 切向量为 v = (1, ) dx dy Fx′ =− 代入得到 dx F y′
曲面 F ( x , y , z ) = 0 在点 M 0的切平面方程为
Fx ( M 0 )( x − x0 ) + F y ( M 0 )( y − y0 ) + Fz ( M 0 )( z − z0 ) = 0
法线方程为
x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx ( M 0 ) F y ( M 0 ) Fz ( M 0 )
10 + λ 2 + λ − 2 − λ 又因为 n gradF , 所以 = = 6 x0 2 y0 − 2 z0 四式联立， 四式联立，解得 x 0 = 3, y 0 = 1, z 0 = 1, λ = − 1 或 x 0 = − 3, y 0 = − 17 , z 0 = − 17 , λ = − 19
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x + y + z = 4 求曲线 L : 2 2 x + y = 2x
2 2 2
在点 M 0 (1, 1, 2 )处的切线和法平面方程 .
[解法 ] 令 F ( x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 解法 3
G( x, y, z ) = x + y − 2 x
或 9 x + 17 y − 17 z + 27 = 0 2012-4-4
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隐函数方程） 曲面 S 的一般方程 (隐函数方程）
F ( x, y, z ) = 0
M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ S
∂F v n = gradF ( M 0 ) = ( ∂x
∂F , ∂y
∂F T , ) ∂z
π M 0 (1,1, 2 )处， t0 = 2
1 ∴ x' ( t0 ) = −1, y' ( t0 ) = 0, z' ( t0 ) = 2
x −1 y−1 z − 2 故切线方程为 = = 1 1 0 − 2 1 法平面方程为： (z − 2) = 0 法平面方程为： ( x − 1) − 2 2x = z 即
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第六讲
一、空间曲面的切平面与法线 二、二元函数泰勒公式
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一、空间曲面的切平面与法线 v
n
S
定义 : ( 切平面 )
π
若曲面 S 上过点 M 0的所有曲线在点 M 0 处的切线共面 , 则称此平面为曲面 S 在点 M 0的切平面
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1、曲面 S 的一般方程 (隐函数方程） 隐函数方程） M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ S F ( x, y, z ) = 0
gradF 垂直于切向量 T ，
所以， 是曲面的一个法向量， 所以， gradF是曲面的一个法向量，
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∂F ∂F ∂F T v , , ) 法向量 n = gradF ( M 0 ) = ( ∂x ∂y ∂z
单位法向量
M0
r gradF ( M 0 ) n0 = gradF ( M 0 )
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[例2] 过直线 10 x + 2 y − 2 z = 27, x + y − z = 0作曲面 3 x 2 + y 2 − z 2 = 27的切平面, 求其方程 . [解] 设 F ( x , y , z ) = 3 x 2 + y 2 − z 2 − 27
Fz′ = −2 z 过直线 10 x + 2 y − 2 z = 27, x + y − z = 0 的平面束 方程为 10 x + 2 y − 2 z − 27 + λ ( x + y − z ) = 0 v 法向量 n = {(10 + λ ), ( 2 + λ ), ( −2 − λ )}