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剪叉式升降机构动力学仿真分析
(武汉理工大学汽车工程学院，武汉430000)
摘要：升降平台在工业的各领域受到广泛应用，它是由平面单级单剪机构组合而成，该机构由五个刚体组成，文章以平面单级单剪机构为研究对象，应用动力学理论基础分析出该机构的运动学，利用笛卡尔广义坐标系，建立雅克比方程，推导出运动学的位移、速度、加速度方程。

最后利用多体动力学软件ADAMS建立仿真模型并对运动过程进行仿真，得出关键部件的运动图线和升降平台的高度变化关系曲线。

关键词：平面刚体；雅克比方程；运动学；Adams；仿真
引言
剪叉机构由两根中间用枢轴连接，可在平面内
相互转动的剪杆组成，每根剪杆又可以认为由两段
一端铰接和一端固接的梁单元连接而成。

剪杆作为机构折叠变化的对象，铰点约束剪杆的变化，折叠过程既剪杆围绕铰点旋转，最后达到指定位置，从而完成一个折叠过程。

剪叉式升降台主要由底座、剪叉机构和工作台三个部分组成，其中剪叉机构是剪叉式升降台的主体，也是主要承力构件。

文章主要以简化后的平面剪叉机构为研究对象，行运动学分析，求解该机构的位移、速度、
约束方程[1]。

图1剪叉式升降平台
1．运动学分析
以单片剪叉式升降台为研究对象，如图2 示，分析滑块B水平速度、升降平台ED 的垂直速度。

该运动机构由五个刚体组成，N＝5，公共基的基点取在A点。

图2 剪叉机构的简化运动模型
系统的坐标数为n＝3N=15，图中连杆BE为B1，连杆AD为B2，滑块B
为B3，滑块D为B4，杆ED 为B5。

系统中转动铰4个，滑移铰2个，A端有x 和y向的绝对位置约束。

所以整个系统的主约束方程个数S=14，自由度为δ=15−14=1。

根据连体基与铰的位置，可以得到约束方程的参数
3
4
5
6
[q]= ([q1]T+[q2]T+[q3]T+[q4]T+[q5]T)，其中[q i]= [(x i,y i,φi)]T，i=1,2,3,4,5
采用局部分析方法依次建立每个约束的约束
方程，对于刚体1和2之间的旋转铰有约束方程组： [∅r ]=[r α]−[r β]+[A α][ρα′P ]−[A β][ρβ′P ]=0 (1)
即：[∅1
r ]=[x 2y 2]−[x 1y 1]+[00]−[0
0]=[x 2−x 1y 2−y 1]=0
对局部约束方程（1）求导得其雅克比： [∅q r ]=([I ]2 [I ̃][A α][ρα′P ] −[I ]2 −[I ̃][A β][ρβ′P ] )[∅t r ]=0
(2)
其中
[∅1q 1r ]=（[I ]2 [I ̃][A α][ρα′P ]）=[−100
−10
] [∅1q 2
r
]=（ −[I ]2 −[I ̃][A β][ρβ′P
]）=[100
10
] 雅克比右项： [∅1t r ]=0 [γ1
r ] =[A α][ρα′P ][φα2]
−
[A β][ρβ′P ][φβ2]
=0（3）
刚体1和5之间的旋转副有：
[∅2r ]
=[x 5y 5]−[x 1y 1
]+[
cos φ5
−sin φ5sin φ5cos φ5
][—l 3
20
]
−[cos φ1−sin φ1sin φ1cos φ1
][—l 120
]=[x 5−x 1−l 32cos φ5+l 1
2cos φ1
y 5−y 1−l 32sin φ5+l 1
2
sin φ1
]=0 将上式对于q 1、q 5求偏导得到雅克比矩阵：
[∅2q 5r
]=[
1
l 3
2sin φ50
1−l 3
2
cos φ5
] [∅2q 1r ]=[−10−l 1
2sin φ1
0−1l 1
2
cos φ1
] 得到该约束的雅克比右项：
[∅2t r ]=0
[γ2r ] =
[A α][ρα′P ][φα2]
−[A β][ρβ
′P ][φβ2]=[−
l 32φα2cos φ5+l
12φβ2cos φ1−l 32φα2sin φ5+l 12φβ
2
sin φ1] 刚体1和3之间的旋转副有：
[∅3r ]=[x 3y 3]−[x 1y 1]+[cos φ3−sin φ3sin φ3cos φ3][0
0]−[
cos φ1
−sin φ1sin φ1
cos φ1
][ l 12
]
=[x 3−x 1− l 12cos φ1y 3−y 1−l 1
2sin φ1]=0 对q 1、q 3关于t 求偏导得到雅克比矩阵：
[∅3q 3r ]=[10
010
] [∅3q 1r ]=[
−10l 1
2sin φ10
−1
−l 1
2
cos φ1] 得到该约束的雅克比右项：
[∅3t r ]=0
[γ3r ] =[A
α][ρα′P ][φα2
]−[A β][ρβ′P ][φβ2
]=[−l 12φ12
cos φ1−l 12φ1
2
sin φ1] 刚体2和4之间的旋转副有：
[∅4r ]=[x 4y 4]−[x 2y 2]+[cos φ4
−sin φ4sin φ4
cos φ4][0
]
−[
cos φ2
−sin φ2sin φ2
cos φ2
][ l 22
]
=[x 4−x 2− l 2
2cos φ2
y 4−y 2−l 2
2
sin φ2
]=0 将上式分别对q 2、q 4关于t 求偏导得到雅克比矩阵：
[∅4q 4r ]=[
10
010
] [∅4q 2r ]=[
−10l 2
2sin φ20−1
−l 2
2
cos φ2] 得到该约束的雅克比右项：
[∅4t r ]=0
[γ4r ] =[A α][ρα′P ][φα2]−[A β][ρβ′P ][φβ2]
=[− l 22φ22
cos φ2−l 22
φ22
sin φ2] 刚体5和4之间的滑移约束方程：
[∅5t ]
=[
(I ̃A βd β′)T
h −d β′T I ̃A
βαd α′]=0 （4） 其中 h =[r α]−[r β]+[A α][ρα′P ]−
[A β][ρβ′P
]=[x 5−x 4y 5
−y 4
]
[(I ̃A βd β′)T
h]=([0−110][
cos φβ
−sin φβsin φβ
cos φβ][10])T [x 5−x 4
y 5−y 4
]
=(x 5−x 4)(−sin φβ)+(y 5−y 4)cos φβ [−d β′T I ̃A
βαd α′
]=−[1
0][0−11
0][cos (φα−φβ)−sin (φα−φβ)sin (φα−φβ)cos (φα−φβ)][1
0]
=sin (φ5−φ4)
所以[∅5t ]=
[(x 5−x 4)(−sin φ4)+(y 5−y 4)cos φ4
sin (φ5−φ4)
]=0
将上式分别对q 5、q 4关于t 求偏导得到雅克比矩阵
[∅5q 5r ]=[−sin φ4cos φ4
000cos (φ5−φ4)
] [∅5q 4
r ]=[sin φ4−cos φ4 (x 5−x 4)(−cos φ4)−(y 5−y 4)sin φ400−cos (φ5−φ4)] 得到该约束的雅克比右项： [∅5t r ]=0 [γ5r ]=[d β′T [(I ̃A β)T (r α−r β)φβ2+2A βT (ṙa −ṙβ)φβ]0]=[φ42[−(x 5−x 4)sin φ4+(y 5−y 4)cos φ4]+2φ4[(ẋ5−ẋ4)cos φ4+(y 5−y 4)sin φ4]0] （5） 对于刚体2的绝对x 和y 位置约束： ∅6ax =x T (r α+A αρα′P
)−c x =[10]([x 2y 2
]+[cos φ2−sin φ2sin φ2cos φ2][− l 22
])−0
=x 2−l 2
2
cos φ2=0 (6) ∅7ay =y T (r α+A αρα′P )−c y
=[01]([x 2y 2
]+[
cos φ2
−sin φ2sin φ2cos φ2
][− l 22
])−0
=y 2−l 2
2sin φ2=0 (7) 分别将∅6ax 、
∅7ay
关于t 求q 2的偏导得到该约束的雅克比及其右项：
∅6q 2ax =[x
T x T I ̃A αρα′P ]=[10
l 2
2
sin φ2] ∅6t ay
=0 γ6ax =x T A αρα′P φα2
=−l 22φ22
cosφ2 ∅7q 2ay
=[y T
y T I ̃A αρα′P ]=[0
1−
l 2
2
cosφ2] ∅7t ay
=0 γ7ay
=y T A αρα′P φα2=−
l 22φ2
2
sinφ2 刚体3在y 向的绝对位置约束和绝对角约束：
∅8ay
=y T (r α+A αρα′P )−c y =0
=[01]([x 3y 3
]+[
cosφ3
−sinφ3sinφ
3cosφ3][ −l 1cosθ
])−0=y 2 ∅9aφ
=φ3=0
分别将∅8ax
、∅9ay
关于t 求q 3的偏导得到该约束的雅克比及其右项：
∅8q 2ay
=[y T
y T I ̃A αρα′P ]=[010]
（8）
∅8t ay =0 γ8ay
=y T A αρα′P φα2=−x 3φ32sinφ3 （9）
∅9q 3aφ
=[0T
1]=[0
01] ∅9t ay =0 γ9ay
=0
所以系统的主约束方程由9*1块矩阵集组成：
[∅K ]=[ ∅1r ∅2r ∅3r ∅4r ∅5t ∅6ax ∅7ay ∅8ay ∅9aφ] =[ x 2−x 1
y 2−y 1x 5−x 1−l 32cosφ5+l
12
cosφ1y 5−y 1−l 32sinφ5+l 12sinφ1x 3−x 1− l 12cosφ1y 3−y 1−l 12sinφ1
x 4−x 1− l 22cosφ2y 4−y 1−l 22sinφ2(x 5−x 4)(−sinφ4)+(y 5−y 4)cosφ4sin (φ5−φ4)
x 2−l 22cosφ2y 2−l 2
2sinφ2y 2φ3]
=[0] （10）
模型的自由度与机构自由度相同，需增加一个驱动约束，此约束可定义为曲柄与大地相对转动的
驱动约束，由初始条件可得φ2=ωt +φ0，即∅10rd
=φ2−（ωt +φ0）。

对q 2求偏导为主约束方程上与
附加驱动约束构成系统的运动学方程 [∅]=[
[∅K ]
∅rd
]=[0] （11） 由已知条件φ3
=0，φ4=0，φ5=0，y 3=0，x 5=0可以简化约束方程得：
[∅]=[[∅K ]
∅
rd ]=[ x 2−x 1y 2−y 1
−x 1−l 32+l 12
cosφ1y 5−y 1+l 12sinφ1
x 3−x 1− l 12cosφ1−y 1−l 1
2sinφ1x 4−x 1− l 22cosφ2y 4−y 1−l 22
sinφ2y 5−y 4x 2−l 22cosφ2
y 2−l 22sinφ2y 2
φ2−（ωt +φ0）]
=[0]（12）
系统的雅克比组集为：
[∅q ]=(∅1
(r)T
∅2
(r)T
∅3
(r)T
∅4
(r)T
∅5
(t)T
∅6
(ax)
∅7
(ay)
∅8
(ay)
∅9
(aφ)
∅10
rd )T
= [ [∅1q 1r
][∅2q 1r
][∅3q 1r ]00
00000
[∅1q 2
r ]0
0[∅4q 2r ]0[∅6ax ][∅7ay ]0
0[∅10rd ]00[∅3q 3r ]
0000[∅8ay
][∅9aφ]0
000
[∅4q 2r ][∅5q 4r ]
00000
[∅2q 5r ]00[∅5q 5r
]00000]
（13）
系统的速度方程为∅q q =−∅t ，即 ∅q [ q 1q 2q 3q 4q 5]
=0 再对以上矩阵求二阶导得到机构的加速度方
程：∅q q =γ，即∅q [ q 1q 2q 3q 4q 5]
=[ [γ1r ]
[γ2r ][γ3r ][γ4r ][γ5r ][γ6r ][γ7r ][γ8r ][γ9r ]]
（14）
其中
[γ1r ] =0，
[γ2r ] =[−
l 32φα2cosφ5+l 12φβ2
cosφ1−l 32φα2sinφ5+l 12φβ
2sinφ1] [γ3r ] =[−l 12φ1
2cosφ1−l 12φ1
2
sinφ1] [γ4r ] =[− l 22φ2
2cosφ2
−l 22φ2
2
sinφ2] [γ5r ]
=[φ
42[−(x 5−x 4)sinφ4+(y 5−y 4)cosφ4]+2φ4[(ẋ5−ẋ4)cosφ4+(ẏ5−ẏ4)sinφ4]0
] γ6ax =−
l 22φ2
2
cosφ2 γ7ay
=−
l 22φ2
2sinφ2 γ8ay
=−x 3φ32sinφ3
γ9ay
=0
2.Adams 模型建立与仿真分析
在众多CAD 、CAE 软件中，ADAMS 以其强大
的运动学、动力学分析功能，在众多工程领域里获得了广泛的应用。

文章基于系统的运动学理论模型，利用ADAMS 软件建立三维实体模型进行动力学仿
真，并与所建立运动学模型的理论结果进行对比[2]。

以医用直线加速器治疗床为例，AD 杆尺寸为200cm*15cm*5cm ，BE 杆尺寸同AD 杆,平台ED 尺寸为2.3m ，滑块尺寸为30cm*20cm*8cm 。

由于大多数举升机构通过给其中一个杆添加液压或者电驱动带动机构运动。

文章选取AD 杆为主动件，给其一个大小为5°/s 的角速度，研究举升机构主动件以一定角速度运动时平台随其变化的情况，以及与地面接触的滑块的运动过程，所以确定平台为机构
的一个主要关键部件，滑块B 为另一关键部件[3、4]。

图3 ADAMS 仿真三维模型
仿真前进行参数设置，仿真持续时间为8秒，步长设置为500。

得到机构的模拟运动过程。

测量升降平台在X、Y、Z三个方向上位移、速度和加速度曲线如下图所示。

图4 平台在X向的位置变化
图5 平台在Y向的位置变化
图6 Y方向的速度曲线
图7 Y方向的加速度曲线
由图可见Y轴上的曲线即为举升机构由举升状态下的最高高度到压缩后的最低位置位移变化过程的曲线。

所以该举升机构的最大举升高度约为1.2m，与实际情况相似。

仿真结果中还得到X方向也有微量的位移，这是由于在ADAMS中建立仿真模型时产生的误差，相比与理论计算的这种误差也是合理的。

体现了理论计算与仿真结果的精确程度的差异。

另外，平台在Z方向位移变化为零，这也应证了该机构是平面机构。

如下图为滑块B在X向的位移、速度、加速度曲线。

图8 滑块在X向的位移曲线
图9 滑块在X向的速度曲线
图10 滑块在X向的加速度曲线
参考文献
[1] 孙光旭，袁端才.液压剪叉式升降台的动力学仿真[J]. 系统仿真学报,2010,11(22):2650-2653.
[2] 宋耀军. 液压缸驱动的剪刀撑结构运动及动力学分析[J]. 起重运输机械, 2004 (2): 41-43.
[3] 邓宏光. 剪叉式升降平台建模及关键参数研究[J]. 机电工程技术,2005, 34(7): 20-22.
[4] 刘颖.医用直线加速器治疗床升降机构的运动分析[J]. 机械设计,2006,23:300-302.
[5] 洪嘉振.计算多体系统动力学[M].高等教育出版社,北京：
1999.。