含参不等式恒成立问题中_求参数取值范围一般方法
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
含参不等式题型知识讲解
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
1：已知关于x 的不等式组3x x a>-⎧⎨<⎩。
(1)若此不等式组无解，求a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求a 的取值范围，并利用数轴说明2：如果关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩无解，问不等式组11y a y b +≥⎧⎨+≤⎩的解集是怎样的?3、若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。
4、已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a bC a bD a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m<⎧⎨>⎩，有解，则m 的取值范围是__ ___。
8、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。
2：已知关于x 的不等式组()324213x x a x x --≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是13x ≤<，求a 的值。
求参数范围的几种方法
求参数范围的几种方法作者：郭道俊来源：《读与写·下旬刊》2018年第05期摘要：含参数不等式问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。
求参数范围往往和函数构成统一体，是高中数学的重点，也是难点，求解时各种方法时常也结合应用，构造函数，利用函数性质结合图形是解题的主要方向。
关键词：构造函数；数形结合；转换主元；分离变量中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）15-0129-01含参数不等式问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。
此类问题有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
正因为此类问题解法灵活、综合性强，所以部分考生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢？下面介绍一些求参数范围的主要方法，以供参考。
1.利用构造函数法例、已知4a+loga3+a2>5恒成立，求a的取值范围。
该不等式是一个非常规不等式，不宜用通常的方法求解，联系到函数的单调性，可构造函数求解。
解析：令f（a）= 4a+loga3+a2，该函数定义域为（0，+∞），且在定义域上，函数y=4a，y= loga3，y= a2都是增函数，故f（a）在（0，+∞）上单调递增。
又有f（1）=5，所以当f （a）>5= f（1）时，有a>1，即原不等式恒成立的a 的取值范围为（1，+∞）。
一般地，在运用"构造函数法"求解"含参不等式恒成立问题"时，结合所学函数快速判定构造方向是解题的关键。
2.利用数形结合法例：当x （1，2）时，不等式（x 1）2解析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
求解含参不等式恒成立问题的几个“妙招”
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恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解 先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
求参数的取值范围的两种思路
伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。
例析求参数取值范围的常用方法
点评 ：在 求参数 的取值 范 围时 ，先 求 出原命题 的否命题 中参数 的取 值 范围 。再 求原命题 中参 数 的
取值 范 围． 当命题 出现 “ 多” “ 至 至少”或 直接 从正 面人 手难 以寻觅解题 的 突破 口时 ．宜考虑 利 用反 面
求解法．
六 、利 用数形 结合 法 求参数 取值范 围
间 Ｄ上是 下降的甘在 区间 Ｄ上 自变量增大 函数值减
（ ） ｇ 甘 函数 ， 图像与 函数 ｇｘ 图像有 １ ＿ （） （） （）
交点：
小． 类似地 ， 函数， 在 区间 Ｄ上是增 函数乍 ） 图 （） 的
像在 区间 Ｄ上是上升 的甘 在区间 Ｄ上 自变量增 大 函
（ ）（） ｇ § 函数， 图像恒在函数 ｇｘ 图像 ２， ＞ ） （） （）
习 中善 于归纳 、总结 ，就会 发现有 关求参 数取值 范 解析 ： 函数， ） 一 叶 １ｘ ｌ Ｏ１ 上单调 递 （ ＝ （ ）＋ ｌ 在【，】 ｅ 减 （ ） ０ ［ １上恒成立 － 在 ０］ ＜ ， 在 【， 上 恒成立 ．０ Ｏｌ 】 ． ’
０即ｏ ． ． ≥１
２（－ ）一 Ｏ在 ＋ Ｉ￣Ｘ 司
到等．
破 ；适 当改 变参数 的取值范 围来 区分文 科与 理科 难
度 ，培养推理论证能力 ，综合提高数学思维能力 ，为 解好高考压轴题做准备．
今年 高考数 学对不 等式 的考查 ．在 基础 上做 文 章 ，回归课本 ，于平淡处 出神奇 ， “ 摘叶飞花 ”． 符 合 时代要求 ，为师生所喜爱 ． 也许 ，这正是解 决 当今
再
暌 得 ： 孚 ＜ 解 ．
围（ 是掣 ， ） ．
的值 取范
（２ ｘ－
一元二次不等式恒成立问题(高三一轮)
一元二次不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。
含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。
而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，以下是这类问题的几种处理策略。
题型一 定义域为R 时设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况）例1.若不等式232kx +k 08x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围 变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（ ）变式2：若关于x 的不等式221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围. 题型二 定义域不为R 时策略1. 参变分离策略 将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围。
策略 2. 函数最值策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围策略3.零点分布策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于[]1,3,()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围[][]2221,2,2,3xy ax y x y ≤+∈∈变式2.已知不等式对任意恒成立，a 则实数的取值范围是 .题型三 给定参数范围的恒成立问题策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
含参不等式恒成立问题中参数范围的确定
【 。≥ 。
注 ： 次 函数 ｆ ） ｋ 一 （ ＝ ｘ＋ｂ ｋ ０ 在 ［ ， ］ （ ≠ ） 上
恒 ＿） 的要件 ｛ ； 有（＞ 充条为 ； 厂 ０ ；
・ １ ＋ ＋
何构造一次 、 二次函数模 型 ， 并利用它们的性 质来 确
定 参 数 的取 值 范 围 。 （ ） 造 一 次 函数 １构 例 ３ 在不等式 中出现 ３个字母 ： 、 ， ｍ、 ａ 已知 函数 厂 是定 义在 ［一１ １ 上 的奇 函数 ， ｆ １ ＝ （ ） ，】 且 （）
Ｕ
Ｉ 一 ， 。
。
难点剖析
４９
分析 ： 同一 直 角坐标 系 中作 出 ｆ ） ｇ（ 在 （ 及 ）
的图象 。 如 图 ２ 示 ，（ 的 图象 是 半 圆 （ ＋２ ＋Ｙ ＝ 所 厂 ） ） ４ ｙ ） （ ＞０ 。
’・１ １ １ １ ‘一２≤ 。 一 ・
曰， 则
：
ｎ 十 １
ｎ Ｚ ＋
＋ ｊ
ｎ
＞ 于 于１ 一 自 数ｎ 成 ，实 萎对 大 的 切 然 都 立求 数ｍ
的取值范 围。 解： 要使不等式成立 ， 只要使左边 的最小值大 于
，
由 ａ 。吉＝ － ）号最 值 一 ＋＋ 一ａ吉 ，小 为 ２ ＋
又 ａ 一 。＋ ２ １
［ １ ＋厂 一 ） ＞０ ） ｌ ２ ］ 。又 ’ｆ（ 是奇 函数 ，． ｌ （ ． ） ’ ．（ ． — ２） （１一 （ ） ２） ０ ． ） 一１１上单调 ， ）＞ ・ ． 在［ ， ］
递增。
②解 ：． （ ≤ｍ 一２ ｍ ＋ｌ 所有 Ｅ［一１ 。－ ） ａ ‘ 厂 对 ，
难点剖析
Ｓ
摘要 ：含 参 不等 式恒 成立 问题 ” “ 把不 等式 、 函 数、 三角 、 几何等 内容有 机地结 合起来 ， 以覆盖 知 其 识点 多， 综合性强 ， 解法 灵活 等特点而 备受高 考 、 竞 赛命题者的青睐。另一方 面 ， 在解决这 类 问题的过 程中涉及 “ 函数 与 方 程” “ 归 与转 化 ” “ 、化 、 数形 结 合” “ 、分类讨论” 等数学恩想对锻炼学生的综合解题 能力 ， 培养其思维 的灵活性 、 创造性都有着独到的作 用。本文就结合实例谈这类 问题 的一般求解策略。 关键词 ： 参数 范围 策略 分 离 参 数 法 例 １ 若 不等式 ＋— １ １ ＋… １
含参不等式恒成立问题例析
含参不等式恒成立问题例析廖东明含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．一、已知参数范围求自变量的求值范围例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-⋅+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于(2)0(3)0g g ->⎧⎨>⎩，即22815030x x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -⋅<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a <-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以min (3)0x a <-=．若3x >，则3a x >-即3x a >-对任意[2,3]a ∈-恒成立，所以max (3)5x a >-=．综上可知，实数x 的取值范围是(,0)(5,)-∞+∞．点评：变更主元法只适用于参数a 是一次的，且给定了参数a 的取值范围求变量x 的取值范围类型．而参数分离法（当参数可分离时）则更具有普遍性，转化为()()f x g a ≤或()()f x g a ≥的形式，进而根据()()f x g a ≤⇔min ()()f x g a ≤或()()f x g a ≥⇔max ()()f x g a ≥来获解．在本例中，若(2,3]a ∈-，则解答中将(2)0(3)0g g ->⎧⎨>⎩变为(2)0(3)0g g ->⎧⎨≥⎩，将m i n (3)0x a <-=变为min (3)0x a ≤-=，再完成后续的修改工作，得到x 的取值范围是(,0](5,)-∞+∞．【牛刀小试】设不等式221(1)x m x ->-对满足||2m ≤的一切m 的值恒成立，求实数x 的取值范围．x << 二、已知自变量x 的范围求参数a 的取值范围1．参数可分离型 例2 已知定义在(,3]-∞上的减函数()f x ，使22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．分析：本题是函数不等式恒成立问题，可先根据函数的单调性去掉函数的对应法则f 转化为自变量的大小关系，再考虑定义域，转化为建构一个不等式组对x ∈R 恒成立问题．解：原问题等价于不等式组222sin 3sin 1cos a x a x a x ⎧-≤⎪⎨-≥++⎪⎩即2223sin 19(sin )24a x a a x ⎧≤+⎪⎨-≥--+⎪⎩对一切x ∈R 恒成立，所以22294a a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩，解得a ≤≤． 点评：已知不等式在未知数x 的某一范围内恒成立求参数的取值范围问题，通常采用分离参数法（参数可分离时），把求参数的取值范围问题转化为求函数的最值问题（当最值不存在时，转化为求函数的上确界M 上或下确界M 下问题）． 【牛刀小试】设4()f x x x=+，若不等式()()0f x f a -<对(1,8)x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．（答案：(0,1][4,)a ∈+∞．提示：44a x a x+>+对(1,8)x ∈恒成立，因为函数4y x x =+在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，(1)5y =，(2)4y =，17(8)2y =，所以417[4,)2x x +∈，所以4172a a +≥，所以20540a a a >⎧⎨-+≥⎩，解得01a <≤或4a ≥．） 2．参数不可分离型例 3 已知不等式22(45)4(1)30m m x m x +---+>，对于一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．分析：本题参数不可分离，审视所给的不等式特点，对二次项的系数分类讨论，利用二次函数的图象和性质求解．解：（1）当2450m m +-=时，有5m =-或1m =．①5m =-时，不等式为2430x +>，解集为1(,)8-+∞而不为R ，所以5m ≠-．②1m =时，不等式为30>，对一切实数x 恒成立，所以1m =满足． （2）当2450m m +-≠时，由不等式恒成立得24500m m ⎧+->⎨∆<⎩，即22245016(1)12(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨--+-<⎪⎩，解得119m <<．综上可知，实数m 的取值范围是[1,19)． 点评：对于参数不能分离型，需根据题目的特点采用相应的方法，如利用二次函数的图象和性质，或挖掘几何意义用数形结合的方法求解．【牛刀小试】若不等式22()(1)0a a x x -++≤对一切(0,2]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A．(-∞ B．)+∞ C．13([,)+-∞+∞ D ．11[22（答案：C ．解：若不采用分离参数法，构造函数22()()(1)f x a a x x =-++．因为()0f x ≤对一切(0,2]x ∈恒成立，所以必然是20a a -<，所以函数()f x 的对称轴212()x a a =-位于y 轴的右方．故原问题等价于22122()(2)3()20a a f a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-+≤⎩或221022()1()02()a a f a a ⎧<<⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，解得a ∈∅或13([,)a +∈-∞+∞，选C ．采用分离参数法，则2max 11()12a a x x -≥=+，解得a ≤a ≥．）。
2012高考热点之参数问题分类讨论教师版
含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m a xa f x ≥；若()a f x≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m i na f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2af x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
解：根据题意得：21a x x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()m i n g x ，则()()m i n fa g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t tt t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()m in 324f t f ∴==234a a ∴-<1322a ∴-<<二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
含参不等式恒成立问题中求参数的取值范围
含参不等式恒成立问题中求参数的取值范围“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
一、判别式法：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔0a 。
例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a￥例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得 ab ==-1212，． %例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32!(3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}￥分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1 |C ．≥230--xxD ．(x －3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1…[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8 237232x x x -+-"解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆*分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅>应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 、x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2ax 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a—从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x ≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．:分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．又×，b a a c b c= ∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac>由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论． /解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．(1)当a ＞0时，不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1…例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．例14 (1998年上海高考题)设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝R`C ．(U A)∪(U B)＝RD ．A ∪B ＝R分析 由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a}∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ． 答 选D ． …说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究，在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
求解含参不等式恒成立问题的三种途径
考点透视赵爱华含参不等式恒成立问题的常见命题形式有求参数的取值范围、证明不等式恒成立.由于不等式中含有参数，导致问题中的其他参变量不确定，这给我们解题带来了很大的不便.因而解答此类问题，需采用一些途径，如分离变量、变更主元、分类讨论.下面结合实例，探讨一下如何求解含参不等式恒成立问题.一、分离变量对于含参数不等式恒成立问题，可以将不等式进行变形，使其变量和参数分离，即使变量和参数分别置于不等号的左右两边，然后通过求含有变量式子的最值，将问题转化为解关于参数的不等式问题.例1.对任意θ∈R ，不等式cos 2θ-3>2m cos θ-4m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：由cos 2θ-3>2m cos θ-4m 得：cos 2θ-3>2m ⋅()cos θ-2，由θ∈R 知cos θ-2<0，所以m >cos 2θ-32()cos θ-2=-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4.当2-cos θ=22-cos θ，即cos θ=2-2时，-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4取得最大值4-22，所以实数m的取值范围为m >4-22.将不等式变形为一边只含有变量、一边只含有参数的式子，便可将变量分离，再根据函数的单调性和有界性求得-2(2-cos θ)+2(2-cos θ)+4的最值，即可建立使不等式恒成立的新不等式.二、变更主元对于含参不等式恒成立问题，很多同学习惯于将x 视为变量，其他字母看作参数.事实上，有时为了求得参数的取值范围，我们可变更主元，将所求的参数看作主元、变量视为参数，根据题目中对变量的限制情况，建立关于参数的不等式，从而求得参数的取值范围.例2.对任意||m ≤2，不等式2x -1>m ()x 2-1恒成立，求x 的取值范围.解：由2x -1>m ()x 2-1可得()x 2-1m +1-2x <0，设f (m )=(x 2-1)m -2x +1,-2≤m ≤2，所以要使f ()m <0恒成立，只需使f ()-2<0且f ()2<0，ìíîïï-2()x 2-1+1-2x <0，2()x 2-1+1-2x <0，解得x.解答本题，需变更主元，将m 视为变量、x 看作参数，构造关于m 的一元一次函数，根据一次函数的单调性建立关于x 的不等式，进而通过解不等式求得x 的取值范围.三、分类讨论由于含参不等式恒成立问题中涉及了参数，所以常需运用分类讨论法，对不等式中的某些参数、变量进行分类讨论，使一些不确定因素变成确定因素，建立使目标不等式恒成立的关系式，即可解题.例3.对任意x ∈[-2,2]，不等式x 2+ax +3-a ≥0恒成立，求a 的取值范围.解：设f ()x =x 2+ax +3-a =æèöøx +a 22-a 24-a +3，令f (x )在x ∈[-2,2]上的最小值为g (a ).①当-2+a2>0，即a >4时，g (a )=f (2)=7-3a ，要使g (a )≥0，需使7-3a ≥0，即a ≤73，显然a 不存在.②当2+a 2≥0≥-2+a 2，即-4≤a ≤4时，g (a )=f (-a 2)=-a 24-a +3.由g (a )≥0得-6≤a ≤2，所以-4≤a ≤2.③当2+a2<0，即a <-4时，g (a )=f (-2)=7+a ，由g (a )≥0得a ≥-7，所以-7≤a <-4.综上所述，a 的取值范围为-7≤a ≤2.要使目标不等式恒成立，需使f (x )的最小值大于或等于0.而函数f (x )的最小值受参数影响，于是分三种情况：-2+a 2>0、2+a 2≥0≥-2+a 2、2+a 2<0进行讨论，从而确定f ()x min .总之，含参不等式恒成立问题具有较强的综合性，在解题时不仅要灵活运用函数、不等式、方程等知识，还需根据不等式的特点来分离变量、变更主元、分类进行讨论.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）40。
【02】专题讲座1：不等式恒成立问题
a 的取值范围.
解：根据题意得： x +
a − 2 > 1 在 x ∈ [ 2, +∞ ) 上恒成立， x
即： a > − x 2 + 3x 在 x ∈ [ 2, +∞ ) 上恒成立，
(a ∈ R)
所以对任意 a ∈ (0, +∞) ， g (a ) > 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ≥ 0 ，即
− x 2 − 2 x ≥ 0 ，∴ −2 ≤ x ≤ 0
于是 x 的取值范围是 { x | −2 ≤ x ≤ 0} 练习 1 、已知对于任意的 a∈[-1,1]，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求 x 的取值范围. 解 令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a∈[-1,1]时，g(a)>0 恒成立，则 得 − 3 − 13 < x < −3 + 13 . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换， 构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围. 2、化归二次函数法： 根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数的最值、二次函数零点等相关 知识，求出参数取值范围.此法适用于二次型函数. 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解 ①判别式策略： 题.一般地，对于二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0, x ∈ R ) ,有 a > 0 a < 0 ; 2） f ( x ) < 0 对 x ∈ R 恒成立 ⇔ 1） f ( x ) > 0 对 x ∈ R 恒成立 ⇔ . ∆ < 0 ∆ < 0 例 2、在 R 上定义运算 ⊗ ：x ⊗ y＝x(1－y) 实数 x 成立，则 若不等式(x－a) ⊗ (x＋a)<1 对任意 ( ) 1 3 3 1 (A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) − < a < (D) − < a < 2 2 2 2 分析： 根据条件得出二次不等式对任意 x ∈ R 恒成立， 可借助二次方程的 ∆ 的 符号求解 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1 对任意 x 成立 2 2 即 x -x-a +a+1>0 对 x ∈ R 恒成立 记 f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足 ∆ = (-1)2 - 4(-a2 + a + 1) < 0 化简得 解得 4a2-4a-3<0 1 3 − <a< ,故选择 C. 2 2
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含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。
大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
下面介绍几种常用的处理方法。
一、 分离参数
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定
a 的取值范围。
解：根据题意得：21a
x x
+
->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，
设()2
3f x x x =-+，则()2
3924f x x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭
当2x =时，()max 2f x = 所以2a >
在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则
()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221
t a a t
+-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21
t f t t
+=
在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22
211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11,2t ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
()()min 324f t f ∴==
234a a ∴-< 13
22
a ∴-<<
二、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -
<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7
3a ∴≤又4a >所以a 不存在；
（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫
=-=--≥ ⎪⎝⎭
62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤
（3） 当22
a
-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又
4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤ 三、 确定主元
在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，
()()()()()()2221210202021210
x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪
∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩
x <<
四、利用集合与集合间的关系
在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。
例5、当1,33x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。
解：1log 1a x -<<
（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫
⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3
113
a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥
（2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13
13
a a
⎧≤
⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤
综上所得：1
03
a <≤
或3a ≥ 五、 数形结合
数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。
例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围。
解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数
23y x =和log a y x =
观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立；
当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫
⎪⎝⎭
或在这个点的上方，
则，11log 33a
≥ 127a ∴≥
1
127
a ∴>≥ 综上得：1
127
a >≥
上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。
恒成立问题中含参范围的求解策略
周云才
数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化
对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为（或）在给定区间上恒成立（或），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。
例1 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。
解析：因，所以对恒成立，即有
，由于在上是增函数，所以当时，，所以
例2 设且恒成立，求实数m的取值范围。
解析：由于，所以，于是恒成立，因
（当且仅当时取等号），故。
二、数形结合——直观化
对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用函数的图像或相应图形，采用数形结合的思想，直观地反应出参数的变化范围。
例3 当时，恒有成立，求实数a的取值范围。
解析：令，由题意，对恒成立。
（1）当，即时，有对恒成立。
（2）当时，结合二次函数的图像，
有
或
综合（1）（2）得
例 4 设，对于任意正整数k，直线与恒有两个不同的交点，求实数a的取值范围。
解析：作出在区间上的图像，由图像知，直线只能绕原点O从x正半轴旋转到过点的范围，直线AO的斜率为
于是实数a的取值范围是
三、巧妙赋值——特殊化
在某些恒成立问题中，恰当地取特殊的数或考虑特殊的情形，探求出参数的值或范围，再加以证明，不失为一个好办法。
例5 是否存在常数c，使得不等式对任意的正实数x，y恒成立？并证明你的结论。
解析：令得，有
先证成立证成立
证成立，此时显然成立。
再证成立。
证成立证成立，此时也显然成立。
故存在常数c，使得原不等式对任意的正实数x，y恒成立。
例6 设。
若对于任意恒成立，试确定常数a，b，c。
解析：取分别代入已知等式，
即
（1）＋（2）得，（4）
由（2）（3）（4）得
由得，解得，从而
再由
再
将求解的a、b、c代入已知等式验证适合，故
四、变更主元——简单化
对含多个变量问题，有时变换主元与次元的位置，常能达到避繁就简的目的。
例7 对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围。
解析：不等式不等式即
对于恒成立。
记，则问题转化为一次函数（或常数函数）在区间［－1，1］内恒为正的x应满足的条件。
由得
或
故实数x的取值范围是
恒成立问题中含参范围的求解策略较多，但主要有以上四种常见方法，其实质是一种等价转化的思想，可见，只要我们在解题中善于归纳和总结，就一定会积累更多的经验和方法，从而更好地提高我们的解题能力。