力学中的泛函分析和变分原理第十一讲
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
6.1.3
3
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
最小势能原理-(2)
第一项
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������
=
������
1 ������ ������������������,������ + ������������������,������ ������������ = 2 ������������ ������
−1
ℂ , ������ 分别为刚度矩阵和柔度矩阵,有 ℂ
= ������ .
2
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
最小势能原理-(1)
总势能 Π ������ =
������
������ ������ ������������ −
������ ������������ , in ������������������������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������ ,
其中,������������������ =
1 2
������������,������ + ������������,������ , ������������������ =
=0
课 程 回 顾
增广Lagrange泛函
定理:如果������0 是泛函ℱ在约束条件 ������������ ������ = 0, ������ = 1,2, … , ������ 下的极值点,则存在������个常数������1 , ������2 , … , ������������ ,使泛函
������������ ������������ ������������ = ������������������������ ������������ ������ 将以上化简结果代入(6.1.3)有 ������Π = −
������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
变分法基本引理
若对于任意������ ������ , 均有 ������ ������ ������ ������ ������������ = 0
Ω
则有������ ������ ≡ 0, ∀ ������ in Ω.
课 程 回 顾
Euler-Lagrange方程
求函数������ ������ ∈ ������ 2 ������, ������ ,使泛函������ ������ = ������ ������ ������ ������ , ������ ������ , ������ ������������ 达到极值。其中������关 于������ ������ , ������ ������ , ������具有二阶连续偏导数,函数的端点值有������ ������ = ������, ������ ������ = ������. ������是 定义在空间������ 2 ������, ������ 的子集������ ������ = ������ ������ ∈ ������ 2 ������, ������ ; ������ ������ = ������, ������ ������ = ������ 的泛 函。由以前推导可知极值点������ ������ 应满足 ������ ������ ������ ′ ′ ′ ������������ − ������������ ������������������ + ������������ ������ = 0 ������������ ������ ������
������������������,������ ������������������ ������������ ,
而,������������ = ������������ , on ������������ . 故有,������������������ = 0, on ������������ ,
′ ′ 为 使 ������ ������ + ������ ������ ∈ ������ ������ , 应 该 令 ������ ������ = ������ ������ = 0 . 故 有 ������ ������������ − ������������ ������������ ������������������ = 0,∀������ ∈ ������ ∈ ������ 2 ������, ������ ; ������ ������ = ������ ������ = 0 .由������的任意性,可得 ������ ′ ′ ������, ������ , ������ − ������������ ������ ������, ������ , ������ = 0 ������������ ������ ������ ������ = ������, ������ ������ = ������ 即为极值点������ ������ 所满足的方程,即Euler-Lagrange方程。 若待求函数在端点是未知的,将有自然边界条件 ′ ������������ ������, ������ , ������ ������=������ ′ = ������������ ������, ������ , ������ ������=������ ������ ������ ������
对于平面问题
1 sym. −������ 1 ������ 1 0 ������ 0 1 − ������ , ������ ������ = 2 1 − ������ 2 2 0 0 2 1 + ������ , ������������ ������ =
������ ℂ = 1 − ������ 2
������ ������
������������������ ������������������,������ ������������ =
������
பைடு நூலகம்
������������������ ������������������
������������ −
������
������������������,������ ������������������ ������������ =
������ ������������
������������ ������������������ ������������ −
������ ������������
������������ ������������������ ������������
������������ ������������������ ������������ = 0
������
ℒ ������, ������ = ℱ ������ +
������=1
������������ ������������ ������
以������0 为驻点,即
������
ℱ ′ ������0 +
������=1
′ ������������ ������������ ������0 = 0
2 ������1
+
2 ������2
+ 2������������1 ������2
������ 2 + ������12 2
1 1 ������ = ������ sym.
1 1 2 2 2 ������1 + ������2 − 2������������1 ������2 + ������ 2������ 2������ 12
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第十一讲:力学中的变分原理
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
课 程 回 顾
泛函极值的必要条件
设������是Banach空间,泛函ℱ在点������0 ∈ ������的邻域������内有定义,如果存在������0 的一 个邻域������1 ⊂ ������,使得对所有的������ ∈ ������1 均有ℱ ������0 ≤ ℱ ������ ,则称������0 为ℱ的局部极小 点, ℱ ������0 称为ℱ的局部最小值。 定 理 : 设 泛 函 ℱ 在 ������0 达 到 极 值 , 且 在 ������0 处 对 于 任 意 ������ , 均 存 在 一 阶 变 分 ������ℱ ������0 , ������ ,则������ℱ ������0 , ������ = 0.
������; ������������ = ������������ , on ������������ .
计算一阶变分 ������������ ������Π = Π ������ + ������������ − Π ������ = ������������ ������������ − ������������������������ ������������ ������ 使Π取极值的������使得������Π = 0, 令 ������������ ������Π = ������������ ������������ − ������������������������ ������������ ������ ������������ ������������������ ������������ −
0
������������������ ������������������ ������������������������ ,
������������������
6.1.1
应变余能密度: ������������ ������������������ =
0
������������������ ������������������ ������������������������ ,
,������
1 ������ ������������ + ������������������ ������������������,������ ������������ 2 ������������ ������,������ ������
������������������ ������������������ ������������ ������������ −
������������ = ������������������ ������������������������ ������������������ = ������������������ ������������������������
������
1
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
课 程 章 节
第一章:线性赋范空间 第二章:希尔伯特空间 第三章:有界线性算子 第四章:有界线性泛函与共轭空间
第五章:泛函的极值
第六章:力学中的变分原理
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
单位体积应变能及应变余能
应变能密度:
������������������
������ ������������������ =
������������ ������
������������������,������ ������������������ ������������
6.1.4
������������������,������ + ������������ ������������������ ������������ −
6.1.2
������ ������: ������������ ������������ ������ ������ ������ ������: ������������
������������������ ������������������ = ������ ������������������ + ������������ ������������������