高中数学复习提升-2017高考数学大题评分标准
高考数学立体几何评分标准
高考数学立体几何评分标准高考数学立体几何评分标准一、准确性（300字）高考数学立体几何的评分标准中，准确性是最基本的要求之一。
准确性指的是考生在解题过程中能否正确应用相关的理论知识和几何定理，以及是否能够正确得出结论。
在解决数学立体几何问题时，准确性是评判考生能力的重要标准。
在高考中，主要考察的立体几何问题包括多面体的性质、平面与立体的位置关系、立体的体积和表面积计算等。
考生需要准确地理解问题，运用合适的理论和公式，进行推理和计算，得出准确的答案。
在评分过程中，主要从解题思路、关键步骤和结论的正确性等方面对考生的准确性进行评判。
二、完整性（200字）完整性是高考数学立体几何评分标准中的另一个重要方面。
完整性要求考生在解题过程中，能够清晰地阐述解题思路、中间步骤和最终结论，完整地展示解题过程。
完整性不仅包括答案的完整，也包括解题过程的完整。
在解决数学立体几何问题时，考生应该合理地组织解题思路，清晰地呈现计算过程和推理步骤，并且给出必要的解释和解答。
在评分过程中，完整性是评判考生解题质量的重要指标，缺少解题过程的完整性将会影响考生的得分。
三、逻辑性（150字）高考数学立体几何评分标准中，逻辑性是评价考生解题思路和推理过程是否合理的指标之一。
逻辑性要求考生在解决数学立体几何问题时，能够合理运用逻辑推理和数学思维，按照正确的推理路径得出结论。
在解决数学立体几何问题时，考生应该根据题目给出的条件和所学的理论知识，合理选择推理路径，进行推理过程，并得出正确的结论。
评分过程中，逻辑性主要通过解题过程的合理性和推理的流畅性进行评判，合理的推理过程和结论将会得到高分。
四、简洁性（100字）在高考数学立体几何评分标准中，简洁性是对考生解题过程简洁明了程度的评判要求。
简洁性要求考生在解题过程中，尽量简化步骤，减少无用的计算，并保持解题思路的清晰性。
在解决数学立体几何问题时，考生需要运用合适的方法和公式，避免冗长的计算过程，并保证解题思路的连贯性和清晰性。
高考数学高中数学大题评分标准
立体几何题
传统方法（逻辑方法）一作二证三 求
按照定理要求书写相应条件 求角要指出哪个角是线面角、二面
角等 最后要结
建系： 指明三条直线互相垂直 在题目中画出图，虚线部分还是虚线 求法向量要有过程 最终要总结
概率统计题
设出事件再求概率，用符号表达
选做
极坐标 转换方程要有过程 联立求解都要写上文字说明 最后要总结
不等式 解集要写成集合或区间 不等式证明要写上取等条件 求最值也要写上何时取到最值
文字说明很重要 总结很重要 答案布局很重要—上下写,不要左右
写 字体不美观的要写清楚
工作范文，仅供参考！
如需使用，请下载后根据自己的实际情况，更改后使用！
总结
求分布列先指出随机变量取值,满足 二项分布的要指出来，计算每个取 值的概率，最后用表格呈现（一定 要有边框）
期望必须有式子，再写结果
圆锥曲线题
求曲线方程要有过程 第二问不会写的要多得分（把韦达
定理判别式写全） 注意先讨论特殊情况并标上①② 最后要总结
导数题
先求定义域 求单调区间过程要清楚,最好列表 取值范围最好写成区间或者集合 解释不清楚的可以引入极限（慎用）
高中数学大题书写要求
填空题
结果必须化简—约分、开根号 多写错误不给分，少写不给分 取值范围最好写成集合或区间 解集、定义域必须写成集合或区间 单调区间必须写成区间
直线方程写成一般式或者斜截式 不要写小数或者近似值必须写成分数
或根式 单位要与题目保持一致
17.题解三角形或者数列
数列： 题目中没有的量需要设出来再用 先写上公式再代入具体值 裂项求和先把通式裂项再代入化简 错位相减、倒序相加、累加、累乘
按步骤给分！高考数学评分细则参考,题目不会做也能得分！
按步骤给分！高考数学评分细则参考,题目不会做也能得分！高考临近，无论复习的如何，会做还是不会做，最快帮你提升分数上限，在高考中避免失分的，就是评分细则了。
高考大题秉承按步骤作答、按步骤给分的原则，哪些步骤是有分可拿的？哪些步骤是可以省略的？如果题目不会做，如何通过步骤多得几分？一切尽在评分细则！虽然高考命题组不会发布当年的评分细则，但各大高校的名师每年都会依据阅卷经验，推演出当年的评分细则参考，清优给大家整理出了2020年高考数学的评分细则，不要错过！01高考数学评分细则参考数学阅卷流程02分题型展示题型一三角形解答题高考真题：(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路(三)阅卷老师提醒——明原因三角函数题目属于高考题中的低中档题，但每年考生的得分情况都不理想，如公式记忆不清、解题方法不明、解题方法选择不当等问题屡屡出现，不能保证作答“会而对，对而全，全而美”。
下面就以2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题为例进行分析说明。
1.知识性错误2.策略性错误(四)新题好题演练——成习惯题型二数列解答题(2016全国,文17)(本小题满分12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和。
(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路(三)阅卷老师提醒——明原因(四)新题好题演练——成习惯题型三概率与统计解答题(2017全国2,文19)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较(一)评分标准展示——看细节(二)阅卷老师提醒——明原因1.正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将实际问题转化为数学问题求解。
2017年高考数学评分细则及阅卷启示
高考命题的方向------“五考*三有利”
把社会主义核心价值观和传统文化考出来； 把学生的基础知识、基本技能考出来； 把学生的数学思想方法和平时的积累考出来； 把学生的数学文化和数学素养考出来； 把学生的学习潜能、应用水平和创新能力考出来； 有利于高校选拔人才，有利于中学数学教学改革；有 利于教育公平的推进和素质教育的实施。
2.重落实
基础方法的掌握关键在于落实，引导 学生阅读教材，真正落实教学内容，落实 到每一道典型例题，落实到每一重要的思 想方法，落实到每一套练习题，落实到每 一套习题的得分点上，最后高考要的是分 数，能做到见条件能得分就能得到满意的 分数
落实过程：清晰,切忌拖沓冗长，模糊不清。
看卷老师也有累的时候，累了看试卷难免头晕 眼花，如果不分青红皂白什么都写，阅卷老师会认 为这个学生不会做，这是在骗分，如果两位老师都 这么认为，学生写的多了反而吃亏。因此要写关键 点，不要胡写一气。一个阅卷组十多人都坐在一起， 只要两个人一协商，意见统一，给打同一个分数， 吃亏的是你自己。尤其遇到那种书写模糊不清，方 法怪异的情况。
与专家交流课堂效果的落实
3、现实中的学习金字塔和教学金字塔
学习金字塔和教学金字塔
各种教学方式学生记住率和教师 采用率对比表
专家提供：一些名牌学校的教学实践
现在各种各样的教学模式，如学案导学教学模式----一些名 牌学校洋思中学先学后教，当堂达标、杜郎口中学《三三六” 自主开放课堂的教学全新模式》、昌乐二中“271高效课堂” 模式,，依据就在这里啊。
组长在休息时间张贴恶评率以便个人及 时调整，进一步提高阅卷教师的责任心 和工作态度，避免造成较大失误，相对 来说，评分更加公正、公平和准确。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 考前增分指导二 规范——解答题的7个解题模板及得分说明 模板
得分说明
①取点连线，证明四边形AMNT为平行四边形得4分. ②根据线面平行的判定定理得出结论得2分. ③利用平面几何知识求得各线段的长，得2分， ④求S△BCM得2分， ⑤利用三棱锥体积公式求VN－BCM得2分.
解题模板
第一步 找线线：通过中位线、平行四边形的对边平 行寻找线线平行. 第第三步 利用平面几何知识求线段的长、底面积. 第四步 利用三棱锥体积公式求得结论.
【训练 5】(2015·北京卷)如图，在三棱锥 V－ABC 中，平面 VAB⊥平面 ABC，△VAB 为等边三角 形，AC⊥BC，且 AC＝BC＝ 2，O，M 分别 为 AB，VA 的中点. (1)求证：VB∥平面 MOC； (2)求证：平面 MOC⊥平面 VAB； (3)求三棱锥 V－ABC 的体积.
又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，四边形 AMNT 为平行
四边形，(4 分)
于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， 所以MN∥平面PAB.(6分)
(Ⅱ)解 因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA.(7 分) 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC， AE＝ AB2－BE2＝ 5.(8 分) 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝ 2 5.(10 分) 所以四面体 N－BCM 的体积 VN－BCM＝13×S△BCM×P2A＝435.(12 分)
模板5 立体几何类考题
[真题](2016·全国Ⅲ卷)(满分12分)如图，四棱锥P －ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC， AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段 AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.
长春市普通高中2017届高三质量监测数学(理科)试题参考答案及评分标准
长春市普通高中2021届高三质量监测〔二〕 数学〔理科〕试题参考答案及评分标准一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕1. B2. C3. D4. D5.C6. B7. A8. C9. D 10. A 11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】此题考察集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B 题意可知，{}1,2,4B =，{}1,2AB =. 应选B.2. 【命题意图】此题考察复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由，①②④正确，③错误.应选C. 3. 【命题意图】此题考察函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.应选D.4. 【命题意图】此题考察直线与圆的相关知识.【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y的圆心关于直线=y x对称的坐标为，从而所求圆的方程为22(1)(4-+=x y .应选D.5. 【命题意图】此题主要考察空间几何体的体积.【试题解析】C 由，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 应选C. 6. 【命题意图】此题主要考察利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】B 由，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆=，111(1)236BCD ABC ABC S S S ∆∆∆=--=，有13BCD ABD S S ∆∆=.应选B. 7. 【命题意图】此题考察直到型循环构造程序框图运算.【试题解析】A 有，01234201520161008=-+-++-+=S .应选A. 8. 【命题意图】此题考察三角函数的有关性质.【试题解析】C 由，该函数图象关于点11(,1)12π对称.应选C. 9. 【命题意图】此题主要考察考试对统计图表的识别.【试题解析】D 由图可知D 错误.应选D. 10. 【命题意图】此题主要考察几何概型.【试题解析】A 设3=OA ，那么==AB AP由余弦定理可求得=OP 有30∠=︒AOP ，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.应选A. 11. 【命题意图】此题考察双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，那么||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.应选B.12. 【命题意图】此题是考察导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，那么有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而|31|2-<x ，解得1,<x 且0≠x . 应选A.二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13. 212+e 14. 9115. 1080 16. 2简答与提示：13. 【命题意图】此题考察定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x .14. 【命题意图】此题考察考生有关数列归纳的相关才能.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 15. 【命题意图】此题考察排列组合综合问题.【试题解析】假设甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，假设甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.16. 【命题意图】此题考察四棱锥的外接球问题.【试题解析】如图，由，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为2，F 为BC 边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题总分值12分)【命题意图】此题考察等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列. 〔6分〕 (2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-=n n n n T c c c n ，所以(1)2->n n n T . 〔12分〕18. (本小题总分值12分)【命题意图】本小题主要考察学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考察学生的数据处理才能.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. 〔4分〕 (2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，那么X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==， 31416420(3)C C P X C ==，44420(4)C P X C ==即X(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，那么2(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=. 〔12分〕19. (本小题总分值12分) 【命题意图】此题以三棱锥为载体，考察平面与平面垂直，求二面角问题等. 此题考察学生的空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能.【试题解析】〔1〕证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC ACAD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .〔6分〕（2）由可得=CD 如下图建立空间直角坐标系，由(0,0,0)C ，(0,2,0)B ，A ，(3,0,0)D ，1)2E .有31()2=CE ，(3,0,1)=CA ，(3,0,0)=CD ，设平面ACE 的法向量(,,)=n x y z ，有00,1002⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,=-n ，x设平面CED 的法向量(,,)=m x y z，有00,10022⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩⎩m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =-，二面角--A CE D的余弦值||23cos ||||25n m n m θ⋅===⋅〔12分〕20. (本小题总分值12分)【命题意图】本小题考察直线与抛物线的位置关系及标准方程，考察学生的逻辑思维才能和运算求解才能.【试题解析】(1) 联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x . 〔4分〕(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x ，2880--=y ty m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m +++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . 〔12分〕 21. (本小题总分值12分)【命题意图】本小题主要考察函数与导数的知识，详细涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考察学生解决问题的综合才能.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . 〔4分〕(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数， 所以当=x a 时，()f x 获得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ，令2()()()(2)()22ln -=-=--=--a xh x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a'=-+=-+≥---+所以()h x 在(0,2)a 上单调递增，不妨设12<<x a x ，那么2()()0h x h a >=， 即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数， 故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立， 故122+>x x .〔12分〕22. (本小题总分值10分)【命题意图】本小题主要考察极坐标系与参数方程的相关知识，详细涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考察考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解才能有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. 〔5分〕 〔2〕将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-===-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos 7α=. 〔10分〕23. (本小题总分值10分) 【命题意图】本小题主要考察不等式的相关知识，详细涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考察考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集， 有6≥m .〔5分〕〔2〕由,a b 均为正数，那么要证≥a bb aa b a b ，只需证1--≥a b b aa b，整理得()1-≥a b ab ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a bab，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b ab，可知,a b 均为正数时()1-≥a b ab，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.〔10分〕。
高考数学高中数学大题评分标准
值的概率，最后用表格呈现（一定
要有边框）
• 期望必须有式子，再写结果
• 独立性检验
• 2 的值必须保留三位小数
• 最后的结论一定要按要求写（不能简
写）
• 总之，这个题文字说明和数据计算都
很重要
圆锥曲线题
• 求曲线方程要有过程
• 第二问不会写的要多得分（把韦达
定理判别式写全）
高中数学大题书写要求
填空题
• 结果必须化简—约分、开根号
• 多写错误不给分，少写不给分
• 取值范围最好写成集合或区间
• 解集、定义域必须写成集合或区间
• 单调区间必须写成区间
• 直线方程写成一般式或者斜截式
• 不要写小数或者近似值必须写成分数
或根式
• 单位要与题目保持一致
17.题解三角形或者数列
• 数列：
• 题目中没有的量需要设出来再用
• 先写上公式再代入具体值
• 裂项求和先把通式裂项再代入化简
• 错位相减、倒序相加、累加、累乘
要有过程显示
• 两种结果舍去一种要写上原因
• 解三角形：
• 先写上定理再代入此题的具体值
• 由三角函数值写出具体角要先加上角
的范围
• 含的式子要写上 ∈
立体几何题
• 求最值也要写上何时取到最值
• 文字说明很重要
• 总结很重要
• 答案布局很重要—上下写,不要左右写
• 字体不美观的要写清楚
• 注意先讨论特殊情况并标上①②
• 最后要总结
导数题
• 先求定义域
• 求单调区间过程要清楚,最好列表
• 取值范围最好写成区间或者集合
• 解释不清楚的可以引入极限（慎用）
2017年高考真题——数学(浙江卷)解析
2017年高考真题——数学(浙江卷)解析2 绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学【试卷点评】选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =UA ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】A【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．椭圆22194xy+=的离心率是 A 13B ．5C ．23D ．59【答案】B【解析】 试题分析：945e -==B ．【考点】 椭圆的简单几何性质3【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【答案】A【考点】 三视图【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，4其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式++≥转化为y kx bAx By C≥+），“≤”取下方，“≥”≤+（或y kx b取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．5．若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关B【答案】【考点】二次函数的最值【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在56区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由46511210212(510)SS S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（第7题图）【答案】D【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方，则x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数f'x的正负，得出原函数()f x的单调区间．()8．已知随机变量iξ满足P（iξ=1）=p i，P（iξ=0）=1–p i，，则i=1，2．若0<p1<p2<12A．1()Eξ，1()Dξ>2()Eξ<2()DξEξ<2()Eξ，1()Dξ<2()DξB．1()C．1()Eξ，1()Eξ>2()Dξ>2()DξDξ<2()DξD．1()Eξ>2()Eξ，1()【答案】A78【解析】试题分析：∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<， ∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量iξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确． 9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQCR QC RA ==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P的平面角为α，β，γ，则9（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【考点】 空间角（二面角）【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r ＝，则（第10题图）A．123<<C．312I I I<<I I II I I<<B．132D．213<<I I IC【答案】【考点】平面向量的数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90∠=∠>o，AOB COD由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求得OA OC<，<，OB OD1011进而得到312I I I <<．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
数学高考试题评分细则(超细)
2010年数学高考试题评分细则一、填空题（13~16题）文科：(13)不等式22032x x x -++的解集是 .(14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . (15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =，则C 的离心率为 .理科：(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为 .理科：13．{}|02x x ≤≤或[0,2] ；14．17-；15．5(1,)4或514a <<；16．3313文科：13． {|21,x x -<<- 或 2};x > 或 (2,1)(2,)--⋃+∞； 14．247-；或 337- ；15． 30； 16． 3， 或 3 二、解答题文17．（本小题满分10分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S . 解法1：设数列{}n a 的公差为d . 依题意有12312a a a ++= ① 21322(1)a a a += ② …………2分 即 14a d += ③ 22111220a a d d a +-+= ④解得111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分 因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分解法2：设数列{}n a 的公差为d . 依题意有 12312a a a ++= ① 即14a d += ③ …………………………………2分又 21322(1)a a a += ② 即22111220a a d d a +-+= ④ ……………………4分 解得 111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分 因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分解法3：设数列{}n a 的公差为d 。
【优选】2017年高考数学试题(试卷)详细评析
【优选】2017年高考数学试题（试卷）详细评析2017年高考数学试卷以立德树人、服务高校人才选拔、导向中学教学为命题出发点，加强对理性思维的考查，渗透数学文化，突出创新应用能力考查。
试题关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息。
试卷严格遵循考试大纲的各项规定，结构稳定，难易适度，各种难度的试题比例适当。
试卷有利于科学选拔人才，有利于深化课程改革，有利于促进社会公平，对培养学生的创新精神、实践能力，在数学课程和教学改革中提升学生的核心素养有积极的导向作用。
2017年高考数学试题的特色1加强理性思维考查，突出选拔性根据2017年高考数学考试大纲“削枝强干，加强主体内容，强调理性思维”的指导思想，2017年高考数学把考查逻辑推理能力作为命题的首要任务，运用数学知识作为载体，加强理性思维的考查。
试题采取分步设问、逐渐递进的方式，彰显试题的难易层次，以区分不同能力水平的考生。
通过日常生活语言和情境的呈现，创新题目设计，对考生逻辑推理能力的考查更加真实、有效。
全国I卷第21题第（1）问要求考生求出导函数的零点，进而对参数进行分类讨论，在此基础上，第（2）问要求根据函数有两个零点的条件，确定参数的取值范围。
试题层层深入，为考生答题提供广阔的思考空间。
全国II卷第20题第（1）问以椭圆的标准方程为依托，设计了线段之间的相量关系式等条件，考查求动点轨迹的方法；第（2）问设计了动直线相互垂直的证明问题，重点考查思维的灵活性以及综合应用知识解决问题的能力。
全国III卷第8题考查圆柱和球的相关概念，以此考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力。
北京卷第14题通过图表给出信息，考查了考生的数据处理能力和逻辑推理能力。
上海卷第12题以点与线的位置关系为背景，考查了空间想象能力、逻辑推理能力，突出考查数学的理性思维。
2弘扬优秀传统文化，体现基础性根据2017年高考数学考试大纲提出的“加强数学文化考查”的要求，2017年高考数学通过多种渠道渗透数学文化，如通过数学史展示数学文化的民族性与世界性；通过向考生揭示知识产生的背景、形成的过程，体现数学既是创造的、发现的，也是不断发展的；通过对数学思维方法的总结、提炼，呈现数学的思想性；等等。
【收藏】2017高考数学真题解析与点评汇编
2017高考数学真题解析与点评汇编目录2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I理科） (2)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I文科） (27)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II理科） (47)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II文科） (73)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标III理科） (92)2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标III文科） (116)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理科） (134)2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科） (152)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷理科） (168)2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科） (193)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷理科） (214)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷文科） (232)2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） (254)2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） (272)1 / 296绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I理科）【试卷点评】2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，2 / 2963 / 296比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】4 / 296试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B5 / 2964．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ×=+=+=，联立112724,61548a d a d +=+= 解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +−+=−=，即5328a a d −==，解得4d =，故选C.【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)−∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =−，则满足21()1x f −−≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]−B ．[1,1]−C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】6 / 296试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π67 / 2968 / 296个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+−=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=−=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A9 / 2962222||sin cos ()2p pDE παα==−，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=11．设x 、y 、z 为正数，且235x yz ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D10 / 29612．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k −则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++ =+++++++=−−要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k + 的部分和，即1212221t t k −+=+++=− ， 所以2314t k =−≥，则5t ≥，此时52329k =−=， 对应满足的最小条件为293054402N×=+=，故选A.【考点】等差数列、等比数列的求和.【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，学*科网本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤+≥− −≤，则32z x y =−的最小值为 .【答案】5−15．已知双曲线C：22221x ya b−=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若�MAN=60°，则C的离心率为________.12 / 296【考点】双曲线的简单性质.【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab c.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，�DBC，�ECA，�FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起�DBC，�ECA，�FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当�ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.14 / 296【答案】【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（12分）�ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知�ABC的面积为23sin aA（1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求�ABC的周长.【考点】三角函数及其变换.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或16 / 296周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面PAB �平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ，所以二面角A PB C −−的余弦值为【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转18 / 296化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N µσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（�）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （�）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得0.212≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． 用样本平均数x 作为µ的估计值ˆµ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)µσµσ−+之外的数据，用剩下的数据估计µ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N µσ，则(33)0.997 4P Z µσµσ−<<+=， 160.997 40.959 2=0.09≈．试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)µσµσ−+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)µσµσ−+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=−==−=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =×=.20.（12分）已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.20 / 296（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，，（t，.则121k k +=−，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++−=由题设可知22=16(41)0k m ∆−+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k −+，x 1x 2=224441m k −+.而12121211y y k k x x −−+=+ 121211kx m kx m x x +−+−+1212122(1)()kx x m x x x x +−+=.22 / 296由题设121k k +=−，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++−+=. 即222448(21)(1)04141m kmk m k k −−+⋅+−⋅=++. 解得12m k +=−.当且仅当1m >−时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=−+，即11(2)2m y x ++=−−，所以l 过定点（2，1−）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简. 21.（12分）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+−−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.24 / 296（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ==（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+=−（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 化成普通方程，然后联立求出交点坐标；（2）直线l 的普通方程为440x y a +−−=，设C 上的点(3cos ,sin )θθ，l 的距离为d =对a 进行讨23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】26 / 296试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x −+++−−≤，对x 按1x <−，11x −≤≤，1x >讨论，得出最值的解集；（2）当[1,1]x ∈−时，()2g x =.若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]−，2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I文科）【试卷点评】【命题特点】2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题及解答题方面难度有所降低．在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题．试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如第2、4、9、12、19题．1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型．2.关注通性通法．试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求．3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神．如第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；第9题对函数与方程思想的考查．4.体现了创新性，如第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力．【命题趋势】1.函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如第9题；对函数图像的考查，如第8题；对含参单调性以及零点问题的考查，如21题，比较常规．2.三角函数与解三角形知识：对三角恒等变换的考查，如第15题；对解三角形问题的考查，如第11题．重视对基础知识与运算能力的考查．3.数列知识：对数列通项公式的考查，如17题．整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点．4.立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如文科第6题，理科第7题，试题难度不大，比较常规；第16题，简单几何体的外接球问题，难度一般．立体几何解答题的考查较常规．5.解析几何知识：对圆锥曲线简单性质的考查，如文科第5题，文科第10题；对圆锥曲线综合知识的考查，如第12题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查．28 / 2966.选做题知识：极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系，考查较为稳定；不等式选讲仍然考查关于绝对值不等式的应用，解不等式，求参数范围问题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x −>，则 A ．A B =3|2x x<B ．A B =∅C ．A B 3|2x x<D ．A B=R【答案】A2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 4【答案】B 【解析】试题分析：不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228a a ππ××=，选B ． 【考点】几何概型【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度30 / 296量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．5．已知F 是双曲线C ：1322=−y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．7．设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤−≥≥则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D32 / 2968．函数sin21cos xy x=−的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+−，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x −=−+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x −=−=−−（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ． 【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=−，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x −=−+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 10．如图是为了求出满足321000n n −>的最小偶数n ，可以分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +−=，34 / 296a =2，c，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】试题分析：由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++−=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++−=，即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=+=，所以34A π=． 由正弦定理sin sin a c A C =得23sin 4π=1sin 2C =，得6C π=，故选B ． 【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D．[4,)+∞【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 【答案】7 【解析】试题分析：由题得(1,3)a b m +−，因为()0a b a +⋅= ，所以(1)230m −−+×=，解得7m =【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+36 / 29615．已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α−=__________．【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα= 又22sin cos 1αα+= 所以21cos 5α= 因为(0,)2πα∈所以cos αα= 因为cos()cos cossin sin444πππααα−=+所以cos()4πα−==【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，学&科网求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）。
高中数学复习课件-2017年高考新课标1高考数学试题评析及2018备考建议
（C）
（D）
考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质
（2015 全国卷 1 文 12）设函数
的图像与
的图像关于直线
对
称，且
，则 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
考点：函 数对称；对数的定义与运算
4.程序框图虽然难度不大，却凸现灵活，不再考查程
序的运算结果，而是以结论为导向突出判断条件和赋 值条件的考查。
高频考点：函数性质、导数运算、概率
次高频考点：球、逻辑
由模块占比可知，整套试卷在六大板块的考查比重上趋 于稳定，但是概率模块想拿满分难度较大，跟去年一样 ，依然非常重视对学生阅读理解能力的考查。
从各板块分析可得，各模块占比变化不大，试卷结构与 往年一致。在题目设置上考查对于基础知识、基本技能 的考查，符合考试说明的各项要求，又在一定程度上考 查学生对知识点的综合运用，注重考查学生对实际生活 的具体应用。
直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
（2016 全国卷 1 理 10）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C
的准线于 D、E 两点．已知|AB|= ，|DE|= ，则 C 的焦点到准线的距离为
（2017 全国卷 1 理 8 文 10）右面程序框图是为了求出满足 3n-2n>1000 的最小偶
数 n，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入
A.A>1000 和 n=n+1
B.A>1000 和 n=n+2
2017年高考数学的提分方法总结
2017年高考数学的提分方法总结1、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
2、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
3、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松一“慢”一“快”，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。
应该说，审题要慢，解答要快。
审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。
而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
5、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮温习 考前增分指导二 规范——解答题的7个解题模板及得分说明 模板
(Ⅱ)解 四边形 OAPB 能为平行四边形.(7 分)
因为直线 l 过点m3 ，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的
充要条件是 k＞0，k≠3.由(1)得 OM 的方程为 y＝－9kx.设点 P
的横坐标为 xP，由y＝－9kx， 9x2＋y2＝m2，
得
x2P＝9kk22＋m281，即
xP＝3
±km k2＋9.(9
分)
将点m3 ，m的坐标代入直线 l 的方程得 b＝m（33－k）， 因此 xM＝k3m（（k2k＋－93））.(10 分) 四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相 平分，即 xP＝2xM.于是3 ±kk2m＋9＝2×k3（（kk－2＋3）9）m，
因为直线 l 与 C2 只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得 2k2＝m2－3，因此 O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝mk22－＋33＋3kk22－－33m2 ＝－k2k－2－33≠0， 于是O→A2＋O→B2＋2O→A·O→B≠O→A2＋O→B2－2O→A·O→B， 即|O→A＋O→B|2≠|O→A－O→B|2，故|O→A＋O→B|≠|A→B|. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.
2
3
32＋（1－1）2
＋
2
3
32＋（1＋1）2＝2
3.
于是 a2＝ 3，b22＝a22－c22＝2，故 C1，C2 的方程分别为 x2－y32＝1，y32＋x22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴，因为 l 与 C2 只有一个公共点，所以直线 l 的方程为 x＝ 2或 x＝－ 2. 当 x＝ 2时，易知 A( 2， 3)，B( 2，－ 3)，所以 |O→A＋O→B|＝2 2，|A→B|＝2 3. 此时，|O→A＋O→B|≠|A→B|.
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 第二篇 掌握技巧 快速解答客观题 第1讲
第1讲 选择题的解法技巧题型概述选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力． 解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做． 方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，则cos A 的值为( ) A.63 B.263 C.66D.68(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( ) A ．96 B ．432 C ．480D ．528解析 (1)在△ABC 中，a sin A ＝bsin B ，∴3sin A ＝26sin B ＝26sin 2A ＝262sin A cos A， ∴c os A ＝63. (2)当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)． 答案 (1)A (2)D思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．跟踪演练1 (1)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 10等于( )A.16 B ．－16C ．6D ．－6(2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32B. 32C ．－12D.12答案 (1)D (2)D 解析 (1)由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1⇒a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，a 6＝－3，…，由此可知数列{a n }的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为1，则a 9＝a 1＝2，a 10＝a 2＝－3，所以数列{a n }的前10项之积为1×1×2×(－3)＝－6.(2)每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.故选D.方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2]D ．[0,2](2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．(2)因为a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．跟踪演练2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1D.12(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1答案 (1)A (2)B解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)， 则有11111——.3ABC A B C C AA B A ABC V V V ＝＝故选B.方法三 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法．例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(2)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，若[－12，12]⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1－52，0)B ．(1－32，0)C ．(1－52，0)∪(0，1＋32)D ．(－∞，1－52)解析 (1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.(2)当x ＝0时，有f (a )<f (0)＝0，由[－12，12]⊆A ，当x ＝－12，a ＝－12时，有f (a )＝－12×(1－12×|－12|)＝－38<0，排除B 、D ，当x ＝12，a ＝12时，有f (a )＝12×(1＋12×|12|)＝58>0，排除C ，所以选择A. 答案 (1)D (2)A思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．跟踪演练3 (1)设函数()212log ,0,log (),0,x x f x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(π12，0)对称D ．关于点(5π12，0)对称答案 (1)C (2)B解析 (1)取a ＝2验证满足题意，排除A 、D ，取a ＝－2验证不满足题意，排除B.∴正确选项为C.(2)∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin[2(x －π3)＋φ]＝sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝2π3＋k π，k ∈Z .又|φ|<π2，∴|2π3＋k π|<π2，∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin(2x －π3)，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．方法四 数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ，－x 2－4x x，则此函数的“友好点对”有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对D ．3对解析 根据题意，将函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所对应的解析式为y ＝x 2－4x (x ≥0)，再作出函数y ＝log 2x (x >0)的图象，如图所示．由题意，知函数y ＝x 2－4x (x >0)的图象与函数f (x )＝log 2x (x >0)的图象的交点个数即为“友好点对”的对数．由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对．答案 C思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论．跟踪演练4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立．③当a <0时，只需x <0，x 2－2x ≥ax 成立，即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 方法五 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) B ．e 2 018f (－2 018)<f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0) C ．e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)>e 2 018f (0) D ．e2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)解析 构造函数g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝f xx－x f xx 2＝f x －f xex，因为∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x>0， 所以g ′(x )<0， 故函数g (x )＝f xex在R 上单调递减，所以g (－2 018)>g (0)，g (2 018)<g (0)， 即f －e－2 018>f (0)，fe2 018<f (0)，也就是e 2 018f (－2 018)>f (0)，f (2 018)<e 2 018f (0)．答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究．跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5答案 (1)A (2)B解析 (1)因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f x x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f xx 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f xx＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f xx＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②成立，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立．故正确命题有②④⑤. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 (1)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )(2)已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( ) A.36 B.26 C.23D.22解析 (1)由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.(2)容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除B 、C 、D ，答案选A. 答案 (1)B (2)A思维升华 估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．跟踪演练6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2D ．1(2)(2015·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x＝3的根，所以0<x 2<1，所以2<x 1＋x 2<4.故B 正确．(2)在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABOS 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE， 而12＝S △OEC S 四边形OCDE， 所以p 1<12<p 2.故选D.。
2017届高考数学技巧规范篇：2看细则、用模板、解题再规范
2017届高考数学技巧规范篇：2看细则、用模板、解题再规范[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力. [模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢. 模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f(x)＝cos x•sin(x－π6). (1)当x∈[0，π2]时，求函数f(x)的值域； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝14，a＝3且sin B＝2sin C，求△ABC的面积. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)由题意，得f(x)＝cos x(sin xcos π6－cos xsin π6) ＝32sin xcos x－12cos2x ＝34sin 2x－12•1＋cos 2x2 ＝12(32sin 2x－12cos 2x)－14 ＝12sin(2x－π6)－14. 3分∵x∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，56π]，∴sin(2x－π6)∈[－12，1]，∴f(x)∈[－12，14]，∴f(x)的值域为[－12，14]. 6分 (2)由f(A)＝14，得12sin(2A－π6)－14＝14，即sin(2A－π6)＝1，∴2A－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，即A＝kπ＋π3，k∈Z，又0<A<π，∴A＝π3. 8分∵sin B＝2sin C，∴b＝2c，又a＝3，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 3＝b2＋c2－2bccos A＝4c2＋c2－2•2c•c•12＝3c2，∴c＝1，∴b＝2，∴△ABC的面积S＝12bcsin A ＝12×2×1×32＝32. 12分 [第一步] 化简：利用辅助角公式将三角函数化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式. [第二步] 整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，确定三角函数的单调性、对称性、值域等性质. [第三步] 定条件：根据三角函数值确定三角形中已知的边角. [第四步] 边角互化：根据已知条件选用合理工具实现边角互化.评分细则(1)化简f(x)的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f(x)值时无2x－π6的范围扣1分； (3)求角A时没有用上条件0<A<π的扣1分； (4)利用余弦定理求b、c时公式正确，计算错误给1分. 变式训练1 已知函数f(x)＝3sin2x＋32sin 2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A2)＝3，△ABC的面积为33，求a的最小值. 解(1)f(x)＝32－32cos 2x＋32sin 2x＝3sin(2x－π6)＋32. 令2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ＋π3，kπ＋5π6](k∈Z). (2)∵f(A2)＝3sin(A－π6)＋32＝3，∴sin(A－π6)＝12，∵0＜A＜π，∴A＝π3. 又∵12b csin π3＝33，∴bc＝12. ∵a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥bc＝12，∴a≥23(当且仅当b ＝c＝23时取“＝”). ∴a的最小值是23. 模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，点E，F，H分别为AB，PC，BC的中点.(1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAH⊥平面DEF. 规范解答•评分标准构建答题模板证明(1)取PD的中点M，连接FM，AM. ∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝12CD. ∵正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝12CD，∴AE∥FM且AE＝FM，则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF. 4分∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD. 6分(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PA⊥底面ABCD. ∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA. ∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△ADE，则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则DE⊥AH. 8分∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH. 10分∵DE⊂平面DEF，∴平面PAH⊥平面DEF. 12分 [第一步] 找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. [第二步] 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. [第三步] 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. [第四步] 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则(1)第(1)问证出AE�FM，给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD，同样给分； (2)第(2)问，证明PA⊥底面ABCD时缺少1个条件扣1分；证明DE⊥AH时，只要指明点E，F分别为正方形边AB、BC中点，得DE⊥AH，不扣分；证明DE⊥平面PAH，只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，PA∩AH＝A，缺少其他条件不扣分. 变式训练2 (2015•北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点. (1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱锥V－ABC的体积. (1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB ⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC. (2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB. 又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB. (3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3. 又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C－VAB的体积等于13•OC•S△VAB＝33. 又因为三棱锥V－ABC 的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为33. 模板3 空间角的计算例3 (12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，CD＝EB＝1，AB＝4. (1)求证：DE⊥平面ACD； (2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值. 规范解答•评分标准构建答题模板 (1)证明∵CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC. 又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，又AC∩DC ＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD. 4分 (2)解在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，∴AC＝BC＝22. 如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，则A(22，0，0)，D(0，0，1)，B(0，22，0)，E(0，22，1)，AB→＝(－22，22，0)，BE→＝(0，0，1)，AD→＝(－22，0，1)，DE→＝(0，22，0). 6分设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1•AD→＝－22x1＋z1＝0，n1•DE→＝22y1＝0，令x1＝1，得n1＝(1，0，22). 设平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2•AB→＝－22x2＋22y2＝0，n2•BE→＝z2＝0，令x2＝1，得n2＝(1，1，0). 10分∴cos〈n1，n2〉＝n1•n2|n1|•|n2|＝132＝26，∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为26. 12分 [第一步] 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线. [第二步] 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标. [第三步] 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量. [第四步] 求夹角：计算向量的夹角. [第五步] 得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.评分细则(1)第(1)问中证明CD⊥BC和AC⊥BC各给1分；证明DE∥BC给1分；证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分. (2)第(2)问中，建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分. 变式训练3 如图，四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD.AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，点G是BE的中点. (1)证明：CG∥平面BDF； (2)求二面角E－BF－D的余弦值. (1)证明设AC∩BD＝O，BF的中点为H，连接GH. ∵G是BE的中点，GH∥EF∥AC，GH＝12AC＝OC，∴四边形OCGH是平行四边形. ∴CG∥OH，又∵CG ⊄平面BDF，OH⊂平面BDF，CG∥平面BDF. (2)解设EF的中点为N，AC∩BD＝O，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，ON⊂平面ACEF，∴ON⊥平面ABCD，∴ON⊥AC，ON⊥BD ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴以点O为原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，ON所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. ∵AB＝2，AF＝1，∠BAD＝60°，∴B(1，0，0)，C(0，3，0)，F(0，－3，1)，E(0，3，1)，D(－1，0，0)，DB→＝(2，0，0)，BF→＝(－1，－3，1)，EF→＝(0，－23，0)，设平面BEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BDF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1•EF→＝0，n1•BF→＝0⇒－23y1＝0，－x1－3y1＋z1＝0，令z1＝1，n1＝(1，0，1)，由n2•DB→＝0，n2•BF→＝0⇒2x2＝0，－x2－3y2＋z2＝0⇒n2＝(0，1，3)，设二面角E－BF－D的大小为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|32×2|＝64. ∴二面角E－BF－D的余弦值为64. 模板4 离散型随机变量的分布列例4 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法.目前，国内青蒿人工种植发展迅速.调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5 (x，y，z) (0，1，0) (1，2，1) (2，1，1) (2，2，2) (0，1，1) 种植地编号 A6 A7 A8 A9 A10 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，2) (2，0，1) (2，2，1) (0，2，1) (1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的分布列及其均值. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)由表可知：空气湿度指标为0的有A1；空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10；空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，所以空气湿度的指标z相同的概率P＝C26＋C23C210＝15＋345＝25. 5分 (2)计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3其中长势等级是一级的(ω≥4)有A2、A3、A4、A6、A7、A9，共6个，长势等级不是一级的(ω<4)有A1、A5、A8、A10，共4个. 随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5. P(X＝1)＝C13•C12C16•C14＝14， P(X＝2)＝C13•C11＋C12•C12C16•C14＝724， P(X＝3)＝C13•C11＋C12•C11＋C12•C11C16•C14＝724， P(X＝4)＝C11•C11＋C12•C11C16•C14＝18， P(X＝5)＝C11•C11C16•C14＝124， 10分所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 14 724 724 18 12411分所以E(X)＝1×14＋2×724＋3×724＋4×18＋5×124＝2912. 12分 [第一步] 定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值. [第二步] 定性：明确每个随机变量取值所对应的事件. [第三步] 定型：确定事件的概率模型和计算公式. [第四步] 计算：计算随机变量取每一个值的概率. [第五步] 列表：列出分布列. [第六步] 求解：根据公式求均值.评分细则第(1)问得分点，①列出空气湿度相同的全部情况给2分；②计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分. 第(2)问得分点，①列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；②计算概率时3个式子给1分；分布列正确给1分. 变式训练4 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值. 解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P(A)＝C14•C22C36＝420＝15， P(B)＝(1－23)3＋C13•23(1－23)2＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P(A•B)＝1－P(A)•P(B)＝1－15×727＝128135. (2)由题意知ξ的可能取值是1，2. P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12＋C34C36＝45，则ξ的分布列为ξ 1 2 P 15 45∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95. 模板5 数列的通项与求和例5 (12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j 个数(i，j∈N*)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48. a11 a12 a13 …a1n a21 a22a23 …a2n a31 a32 a33 …a3n …………… an1 an2 an3 …ann (1)求an1和a4n； (2)设bn＝－－＋(－1)n•an1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q，依题意a31＋a61＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1，∴an1＝a11＋(n－1)d ＝1＋(n－1)×1＝n. 3分又∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31•q4＝3q4＝48，又∵q>0，∴q＝2. 又∵a41＝4，∴a4n＝a41qn－1 ＝4×2n－1＝2n＋1. 6分(2)∵bn＝－－＋(－1)n•an1 ＝2n＋＋1－＋1－＋(－1)n•n 7分＝－＋1－＋(－1)n•n ＝12n－1－12n＋1－1＋(－1)n•n，∴Sn＝(1－13)＋(13－17)＋(17－115)＋…＋(12n－1－12n＋1－1)＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)n•n]. 10分当n为偶数时，Sn＝1－12n＋1－1＋n2； 11分当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋bn＝1＋n－12－12n＋1－1－n ＝1－12n＋1－1－n＋12 ＝1－n2－12n＋1－1(n≥3且n为奇数). 经验证，当n＝1时，也满足Sn＝1－n2－12n＋1－1. 综上，数列{bn}的前n项和Sn＝1－12n＋1－1＋n2，n为偶数，1－n2－12n＋1－1，n为奇数.12分 [第一步] 找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系. [第二步] 求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式. [第三步] 定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等). [第四步] 写步骤. [第五步] 再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.评分细则(1)求出d给1分，求an1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分； (2)bn写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分； (3)缺少对bn的变形直接计算Sn，只要结论正确不扣分； (4)当n为奇数时求Sn中间过程缺一步不扣分. 变式训练5 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*，数列{bn}满足bn＝1an•an＋1，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N*，不等式λTn<n＋8•(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围. 解(1)a21＝S1＝a1，∵a1≠0，∴a1＝1. ∵a22＝S3＝a1＋a2＋a3，∴(1＋d)2＝3＋3d，解得d＝－1或2. 当d＝－1时，a2＝0，不满足条件，舍去，∴d＝2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)∵bn＝1anan＋1＝－＋＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝n2n＋1.①当n为偶数时，要使不等式λTn<n＋8•(－1)n恒成立，只需不等式λ＋＋＝2n＋8n＋17恒成立即可. ∵2n＋8n≥8，等号在n＝2时取得，∴λ<25. ②当n为奇数时，要使不等式λTn<n ＋8•(－1)n恒成立，只需不等式λ－＋＝2n－8n －15恒成立即可. ∵2n－8n随n的增大而增大，∴当n＝1时，2n －8n取得最小值－6，∴λ<－21. 综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21). 模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (12分)(2015•山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1、F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q. (��)求|OQ||OP|的值； (��)求△ABQ 面积的最大值. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)由题意知2a＝4，则a＝2，又ca＝32，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1. 2分 (2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1. (��)设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0). 因为x204＋y20＝1，又－λ＋－λ＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. 5分 (��)设A(x1，y1)，B(x2，y2). 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，① 则有x1＋x2＝－8km1＋4k2， x1x2＝4m2－161＋4k2. 所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2. 8分因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积为S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2 ＝＋4－＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2. 9分设m21＋4k2＝t. 将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. ② 由①②可知0＜t≤1. 10分因此S＝－＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23. 11分由(��)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63. 12分[第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程. [第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程Ax2＋By＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系. [第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系. [第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系. [第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.评分细则(1)第(1)问，无a2－c2＝b2关系式，直接得b＝1扣2分；(2)第(2)问，求|OQ||OP|时，写出P、Q的坐标时每个给1分； (3)第(2)问中，无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分； (4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分； (5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分. 变式训练6 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22). (1)求椭圆的方程； (2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围. 解(1)由题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则ca＝32(其中c2＝a2－b2，c>0)，且2a2＋12b2＝1，故a＝2，b＝1. 所以椭圆的方程为x24＋y2＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0. 故可设直线l：y＝kx＋m(k≠0且m≠0)，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由y＝kx＋m，x2＋4y2＝4，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)>0，且x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝－＋4k2，故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. 因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，所以y1x1•y2x2＝k2x1x2＋＋＋m2x1x2＝k2，即－8k2m21＋4k2＋m2＝0. 又m≠0，所以k2＝14，即k＝±12. 由于直线OP、OQ的斜率存在，且Δ>0，得0<m2<2，且m2≠1，设d为点O到直线l的距离，则d＝|2m|5， |PQ|＝＋＋－4x1x2]＝－，所以S＝12|PQ|d＝－＋2－m22＝1(m2≠1)，故△OPQ面积的取值范围为(0，1). 模板7 圆锥曲线中的探索性问题例7 (12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形. (1)求C的方程； (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)由题意知F(p2，0).设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为(p＋2t4，0). 因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋p2＝t－p2，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去). 1分由p＋2t4＝3，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 2分(2)①由(1)知F(1，0).设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0). 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)，故直线AB的斜率kAB＝－y02. 因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－y02x＋b，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8by0＝0，由题意Δ＝64y20＋32by0＝0，得b＝－2y0. 4分设E(xE，yE)，则yE＝－4y0，xE＝4y20. 当y20≠4时，kAE＝yE－y0xE－x0＝－4y0－y04y20－y204＝4y0y20－4，可得直线AE的方程为y－y0＝4y0y20－4(x－x0). 由y20＝4x0，整理可得y＝4y0y20－4(x－1)，直线AE恒过点F(1，0). 当y20＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1，0). 7分②由①知直线AE过焦点F(1，0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE| ＝(x0＋1)＋1x0＋1＝x0＋1x0＋2. 8分设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝x0－1y0. 设B(x1，y1).直线AB的方程为y－y0＝－y02(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－2y0y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8－4x0＝0，所以y0＋y1＝－8y0，可求得y1＝－y0－8y0，x1＝4x0＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为 d＝4x0＋x0＋4＋my0＋8y0－11＋m2＝＋＝4x0＋1x0. 10分则△ABE的面积S＝12×4x0＋1x0x0＋1x0＋2≥16，当且仅当1x0＝x0，即x0＝1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16. 12分 [第一步] 引参数：从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等. [第二步] 列关系：根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程. [第三步] 探定点：若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点. [第四步] 下结论. [第五步] 再反思：在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.评分细则第(1)问得分点①求出t的值，得1分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分. 第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分；②得出直线AE过定点得3分，只考虑当y20≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y20＝4，且得出此时直线AE过定点，只能得1分；③求出|AE|的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分；④正确得出B到直线AE的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分. 变式训练7 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x－5y＋12＝0相切. (1)求椭圆C的方程； (2)设A(－4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝163于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 解(1)由题意得ca＝12，127＋5＝b，a2＝b2＋c2，∴a＝4，b＝23，c ＝2. 故椭圆C的方程为x216＋y212＝1. (2)设直线PQ的方程为x＝my＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x216＋y212＝1，x＝my＋3，得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，∴y1＋y2＝－18m3m2＋4，y1y2＝－213m2＋4，由A，P，M三点共线可知yM163＋4＝y1x1＋4，其中yM 为点M的纵坐标，∴yM＝＋，同理可得yN＝＋，∴k1k2＝yM163－3×yN163－3＝9yMyN49＝＋＋，∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49，∴k1k2＝16y1y2m2y1y2＋＋＋49＝－127，为定值. 模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (12分)(2015•课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围. 规范解答•评分标准构建答题模板解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 若a＞0，则当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0. 所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减. 6分 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－ln a＋a－1. 因此f1a＞2a－2等价于ln a ＋a－1＜0. 9分令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0. 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0. 因此，a的取值范围是(0，1). 12分 [第一步] 求导数：写出函数的定义域，求函数的导数. [第二步] 定符号：通过讨论确定f′(x)的符号. [第三步] 写区间：利用f′(x)的符号写出函数的单调区间. [第四步] 求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则(1)函数求导正确即给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a ＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围给2分. 变式训练8 已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0，1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0. (1)求a的取值范围； (2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值. 解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依题意对任意x∈(0，1)，有f′(x)<0. 当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0，1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0， f(x)符合条件；当a＝0时，对任意x∈(0，1)，有f′(x)＝－xex<0， f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件. 故a的取值范围为0≤a≤1. (2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex.①当a＝0时，g′(x)＝ex>0， g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e. ②当a＝1时，对于任意x∈(0，1)，有g′(x)＝－2xex<0， g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0. ③当0<a<1时，由g′(x)＝0得x＝1－a2a>0. a.若1－a2a≥1，即0＜a≤13时， g(x)在[0，1]上单调递增， g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e. b.若1－a2a<1，即13<a<1时， g(x)在x＝1－a2a处取得最大值g(1－a2a)＝，在x＝0或x＝1处取得最小值，而g(0)＝1＋a， g(1)＝(1－a)e，则当13<a≤e－1e＋1时， g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；当e－1e＋1<a<1时， g(x)在x ＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e. 模板9 导数与函数零点、不等式问题例9 (12分)(2015•课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； (2)若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围. 规范解答•评分标准构建答题模板 (1)证明f′(x)＝m(emx－1)＋2x. 若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0. 若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx －1＜0，f′(x)＞0. 4分所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.6分 (2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x＝0处取得最小值.所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要条件是－－1，－－－1， 8分即em－m≤e－1，e－m＋m≤e－1. ① 设函数g(t)＝et－t－e＋1，则g′(t)＝et－1. 9分当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0. 故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当t∈[－1，1]时，g(t)≤0. 当m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分当m＞1时，由g(t)的单调性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；当m＜－1时，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1. 11分综上，m的取值范围是[－1，1]. 12分 [第一步] 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x). [第二步] 定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调区间. [第三步] 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题. [第四步] 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立. [第五步] 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则(1)求出导数给1分； (2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分； (3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分. 变式训练9 已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R). (1)设b＝2－a，求f(x)的零点的个数； (2)设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小. 解(1)∵b＝2－a，∴f′(x)＝2ax＋(2－a)－1x＝－＋若a≥0，则f(x)在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数，又f(12)＝1－a4＋ln 2，∴当0≤a＜4(1＋ln 2)时，函数f(x)没有零点；当a＝4(1＋ln 2)时，函数f(x)有一个零点；当a>4(1＋ln 2)时，函数f(x)有两个零点. ②若a<0，当－2<a<0时，函数f(x)在(0，12)上递减，在(12，－1a)上递增，在(－1a，＋∞)上递减，又f(12)>0，∴函数f(x)只有一个零点. 当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上递减，f(x)有一个零点. 当a<－2时，f(x)在(0，－1a)上递减，在(－1a，12)上递增，在(12，＋∞)上递减，f(x)只有一个零点. 综上，0≤a＜4(1＋ln 2)时无零点；a<0或a＝4(1＋ln 2)时有一个零点；a>4(1＋ln 2)时有两个零点. (2)由a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，则函数f(x)在x＝1处取得最小值，由f′(x)＝2ax＋b－1x＝0得－b＋b2＋8a4a 是f(x)的唯一的极小值点，故－b＋b2＋8a4a＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋ln x，则g′(x)＝1－4xx，令g′(x)＝0得x＝14.当0<x<14时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>14时，g′(x)<0，g(x)单调递减. 因此g(x)≤g(14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =.故2sin sin 3B C =.18.（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.【解析】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD，故AB ⊥PD，从而AB ⊥平面P AD.又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得22A ，2(0,0,2P ，2,1,0)2B ，2(C . 所以22(,1,)22PC =--，(2,0,0)CB =，22()22PA =-，(0,1,0)AB =. 设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨=可取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,220.x z y -=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m .则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ0.0080.09≈.20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的 斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，）.则121k k +-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）. 21.（12分）已知函数2()e (2)e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.综上，a 的取值范围为(0,1).（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17a .【解析】（1）曲线C 的普通方程为1922=+y x .当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1171x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}x x -+-≤≤.（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥. 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥， 得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.。