高阶导数与高阶偏导数

f (n)( x),
y(n),
dny dx n
或
d
n f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
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例1 已知函数 y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30 求 y(90)和 y(91) .
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
n
C u v k (nk ) (k ) n
莱布尼兹公式
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斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 因为 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
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因此
u x x x2 y2 ,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u (x2 y2) y 2 y y2 ( x2 y2 )2
解 由于函数
y ( x3 7 x 8)20(3x 7)30
展开后的最高次幂项为
所以
330 x32030 330 x90
y(90) 330 90!, y(91) 0.
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一、高阶偏导数的定义
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
a
2e ax
cos
by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, xy
2u abeax sin by. yx
问题： 混合偏导数都相等吗？
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x3 y
例4
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的二阶混合偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
0;
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
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2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则 (1) (u v)(n) u(n) v (n)
f y (0,0)
1.
显然
fxy (0,0)
f
yx
(0,
0).湘潭大学数学与计算科
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问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 5 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
f (x,0) f (0,0)
0
fx
(0,0)
lim
x0
x
lim 0, x0 x
f y (0,0)
lim
y0
f (0,y) y
f (0,0)
0 lim y0 y
0,
f xy (0,0)
lim
y0
f x (0, y) y
f x (0,0)
0,
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,0) x
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
2z xy
f
xy
(
x,
y),
x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例 2 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
x2 y2 ( x2 y2 )2 .
所以
2u 2u y2 x2
x2 y2
x2 y2 ( x2 湘y潭2大)学2 数学(与x计2算科 y2 )2 0. 12
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二、求高阶导数与高阶偏导数
1.直接法: 根据定义逐步求高阶(偏)导数.
例6 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解 当( x, y) (0,0)时,
fx(x, y)
3x2 y( x2 y2) 2x x3 y ( x2 y2 )2
3x2 y x2 y2
(
x
2x4 y 2 y2
)2
,
f y ( x,
y)
x3 x2 y2
2x3 y2
(x2
, 2 2 y ) 湘潭大学数学与计算科
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当( x, y) (0,0)时, 按定义可知：
k0
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例7 设 y x2e2x , 求y(20) .
解 设u e2x ,v x2,则由莱布尼兹公式知
1.3 高阶导数与高阶偏导数
一、高阶偏导数的定义
二、求高阶导数与高阶偏导数
三、高阶微分 四、小结
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回顾：高阶导数的定义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象 间的关系：
原 函
数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏
导二
导函
函阶 数混数图合图 Nhomakorabea形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
解 u aeax cos by, x
u beax sin by; y
2u x 2
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x dx 2
)
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z
2z
xy 6x2 y 9 y2 1, yx 6x2 y 9 y2 1.
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