高中数学常用公式及结论汇总

(3)零点式 f ( 7.解连不等式
x) N
= <
a(x f (x
− x1)( )<M
x常−有x2以)(a下≠转0化) .形式
N < f (x) < M ⇔ [ f (x) − M ][ f (x) − N ] < 0
⇔ | f (x) − M + N |< M − N ⇔ f (x) − N > 0
9.闭区间上的,或二次函数的最且值 ,或 且 . f (k1) f (k2) < 0
f (k1) = 0
k1
<
−
b 2a
<
k1
+ 2
k2
f (k2 ) = 0
k1
+ k2 2
<
−b 2a
<
k2
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 在闭区间[p,q]上的最值只能在 x = − b 处及区间的两端点处取得，
f
(m)
<
0
或
p2 − 4q ≥
−
p 2
<
m
0
.
(1)在给定区间(−∞,+∞) 的子区间 L （形如[α,β]，(− ∞,β]，[α,+∞)不同）上含参数的二次不等式
f
(
x,(t2))≥在0给(t定为区参间数()−恒∞成,+立∞)的的充子要区条间件上是含f参(x数,t的)mi二n ≥次0不(x等∉式L)
高中数学常用公式及结论汇总
21x..元德∈素摩A与根⇔集公x合式∉的CU关A系, x ∈CU A ⇔ x ∉ A . 3.包含关系 . CU (A I B) = CU A U CU B;CU ( A U B) = CU A I CU B
A I B = A ⇔ A U B = B ⇔ A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A
4.容斥原理 ⇔ A I CU B = Φ ⇔ CU A U B = R
card ( A U B) = cardA + cardB − card ( A I B)
card ( A U B U C) = cardA + cardB + cardC − card ( A I B)
. − card ( A I B) − card (B I C) − card (C I A) + card ( A I B I C)
5．集合{a1,a2,L,an}的子集个数共有 2n 个；真子集有2n –1 个；非空子集有2n –1 个；非空的真子
集有62.n二–次2函个数. 的解析式的三种形式
(1)一般式 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ;
(2)顶点式 f (x) = a(x − h)2 + k(a ≠ 0) ;
ｐ且真假假假ｑ 原结论
反设词
是都大是于 小于 对成所立有 x，
不不不是都大是于 不小于 存不在成某立 x，
至至至至少多少多有有有有一一nn 个个个个 p或q
一至个少也有没两有个
至至多少有有（（
n n
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−+11））个个
且 ¬p ¬q
对不任成何立 x ， 存成在立某 x ， p 且q
或 ¬p ¬q
2 / 26
在 (2)设函数 在某个区间内可导，如果 (x1 − x2)[ f (x1) − f (x2)] < 0 ⇔
f (x1) − f (x2 ) < 0 x1 − x2
2
2
M − f (x)
. ⇔ 1 > 1
f (x) − N M − N
不
8.方程 f (x) 是充分条件
=0
.特
在 别
地(k1
,,k方2 )程上有ax且2 只+ b有x一+个c =实0根(a,与≠
有 且 只 f (k1) f (k2
0)
)<
有
0 不等价,前者是后者的一个必要而 一 个 实 根 在 (k1,k2 ) 内 , 等 价 于
(2) 当
a<0
时，若 x = − b ∈[p,q] ，则 2a
f (x)min
， 若 = min{ f ( p), f (q)}
x = − b ∉[p,q] ， 则 2a
f (x1)m0a.x一=元m二ax次{方f (程p)的, f实(q根)}分，布f (x)min = min{ f ( p), f (q)} .
注16：.函如数果的甲单是调乙性的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
(1)设 那么 x1 ⋅ x2 ∈[a,b], x1 ≠ x2
在 上是增函数； (x1 − x2 )[ f (x1) − f (x2)] > 0 ⇔
f (x1) − f (x2 ) > 0 ⇔ f (x) x1 − x2
[a,b]
（2）方程
f
(x)
=
0 在区间(m,n)内有根的充要条件为
f
(m)
f
(n)
<
或
f
(n)
>
0
0 p2 − 4q ≥
0
或 或 f (m) = 0 af (n) > 0
m
<
−
p 2
<
n
；
f
(n)
=
0
af (m) > 0
（3）方程 f (x) = 0 在区间(−∞,n) 内有根的充要条件为 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
.
f(
x,
t
)
≥
0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
. f (x,t)man ≤ 0(x ∉ L)
(3)
f
(x)
=
ax4
+
bx2
+
c
>
0
恒成立的充要条件是
a b
≥ ≥
0 0
或
a
<
0
.
c > 0 b2 − 4ac < 0
131.2常.见真值结原ｐ真真假假论表结的论ｑ真假真假否定非假假真真形ｐ式反设ｐ词或真真真假ｑ
14.四种命题的相互关系
若原ｐ命则题ｑ 互否
若否非命ｐ题则非ｑ
互 否
互逆
为 逆
互逆
为互 逆否
若逆ｑ命则题ｐ 互否
若逆非否ｑ命则题非ｐ
（1）15充.充分要条条件件：若 p ⇒ q ，则 p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q ⇒ p ，则 p 是q 必要条件. （3）充要条件：若 p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则 p 是q 充要条件.
具体如下：
2a
(1)当 a>0 时，若 ，则 ； x = − b ∈[p,q] 2a
f
( x)min
=
f
(−
b ), 2a
f
( x)max
=max
{f
( p),
f
(q)}
， ， . x = − b ∉[p,q] 2a
f (x)max =max { f ( p), f (q)}
f (x)min =min { f ( p), f (q)}
1 / 26
依据：若 f (m) f (n) < 0 ，则方程 f (x) = 0 在区间(m,n) 内至少有一个实根 .
设 ，则 f (x) = x2 + px + q
（1）方程
f
(x)
=
0
在区间
(m,+∞)
内有根的充要条件为
f
(m)
=
0
或
p
−
2 − 4q ≥ p >m 2
0
；
f (m) > 0