利率期限结构模型研究

刻 t 的价格，在此不考虑违约风险。
Y ( t , T ) ——时刻 t 开始持有 T 到期的本金为1的无违约风险零息票债券的到期收
益率，此处为复合利率。
f ( t , T ) ——远期利率，即时刻 t 观察到的 [T , T + dt ] 这段无穷小时间内的利率。 r ( t ) ——短期利率，即 [t , t + dt ] 这段无穷小时间内的利率。
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北京理工大学硕士学位论文
前言
利率期限结构理论作为为债券以及相关利率衍生产品定价的基础理论与工具，对 于利率风险管理起着至关重要的作用。无论在当今理论界还是实业界，对利率期限结 构的研究都相当重视。同时，这也使其成为金融学术研究成果得到实践应用最快的领 域之一。再者，利率期限结构的动态变化对于中央银行制定财政政策、获得政策的效 果反馈、财政当局决定国债发行规模、利率等等重大宏观经济政策都具有指导意义。 在过去的几十年里，随着数学工具在金融领域的运用越来越得心应手，动态利率 期限结构理论也获得了多次重大的突破，由此涌现出了大量的理论研究型论文和实证 材料。动态利率期限结构模型由最初的单因素模型逐渐发展为更加贴近真实市场的多 因素模型。 为了解决稀有事件， 波动率偏态等问题， 以及更好的拟和复杂多变的市场， 先后又出现了跳跃扩散模型，随机波动模型，随机域模型等更加复杂的模型。本文综 合考虑了各种动态利率建模方法，权衡了模型的实用性以及技术复杂性两方面的因 素，提出一种理论上便于分析操作，实际应用中能够集多种利率模型的优点于一身的 新型模型——扩散漂移模型，并将其应用于远期利率过程的分析框架之下为零息票债 券进行定价。 本文的组织结构如下：第一章，对利率期限结构理论做了一个概述，简单阐明各 种建模方法论及其在数学上的等价性，同时简要介绍几个经典模型以及该领域研究的 最新进展；第二章提出扩散漂移模型的基本形式及基本分析框架；第三章中，作为特 例，将扩散漂移模型应用于HJM的分析框架之下并假设了漂移过程的具体形式，在这 种假设下求得了无套利条件下零息票债券价格的解析表达式；第四章对本文的工作做 出了总结，并对未来需要完成的工作以及可能的推广提出了相应的建议。
Keywords: Term structure of interest rates, Diffusive drift model, No-arbitrage condition, Bond pricing
II
目录
前言 ..................................................................... 1 第一章 利率期限结构模型概述............................................... 2 1.1 基本概念和记号 ..................................................... 2 1.2 动态利率建模方法及其等价性 ......................................... 3 1.2.1 偏微分方程（PDE）/ Feyman-Kac公式 ............................ 3 1.2.2 风险中性定价 ................................................. 4 1.2.3 基于远期利率的定价方法 ....................................... 5 1.3 经典模型简介 ....................................................... 5 1.3.1 Vasicek模型 .................................................. 6 1.3.2 Cox-Ingersoll-Ross模型 ....................................... 6 1.3.3 Heath-Jarrow-Morton模型 ...................................... 7 1.4 利率期限结构模型的新发展 ........................................... 8 第二章 一类新型利率动态模型：扩散漂移模型 ................................ 10 2.1 模型提出的背景 .................................................... 10 2.2 单因子扩散漂移模型 ................................................ 11 2.3 多因子扩散漂移模型 ................................................ 13 第三章 扩散漂移模型在HJM框架下的应用..................................... 14 3.1 远期利率过程 ...................................................... 14 3.2 债券价格过程 ...................................................... 15 3.3 无套利条件下的漂移项约束 .......................................... 18 3.4 债券定价方程 ...................................................... 21 第四章 结论.............................................................. 24 致谢 .................................................................... 25 参考文献................................................................. 26
关键字：利率期限结构；扩散漂移模型；无套利条件；债券定价
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Abstract
This paper summarized the theories of term structure of interest rates. The main methods of modeling the term structure models and several classical models were briefly introduced. Furthermore, this paper considered a new type of models for term structure of interest rates-the diffusive drift model. These models supposed that the drift of the interest rate follows a diffusion process. Due to the diffusive shocks to both the interest rate and its drift, the proposed models could provide an alternative approach for generating interest rates curves with more complex and realistic dynamics. As an example, this paper gave an application of the new model under the HJM framework. Finally, this paper got a closed-form formula for zero-coupon bond pricing under no-arbitrage condition.
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1.2 动态利率建模方法及其等价性
以下的讨论将基于定义良好的概率空间 ( Ω, F , Q ) 和相应于布朗运动的滤波 Ft 。
1.2.1 偏微分方程（PDE）/ Feyman-Kac 公式
PDE方法受到了Black and Scholes(1973)[5]的直接启发，推倒思路和Black-Scholes 公式完全相同．但是在利率期限结构理论中，瞬时利率成了随机变量，于是引入了风 险的市场价格这一概念，记为 λt ，这个新变量恰好补充了瞬时利率原来作为常量的作 用。 要获得其具体形式， 建模者需确定基础经济的一般均衡模型， 如Cox et al.(1985)[15]。 如Dai and 而更现代的方法是直接给出 λt 的函数形式以方便模型的求解和数据的拟和， Singleton(2000)[16]，Duarte(2001)[17]， Duffee(2002)[18]和Cheridito et al.(2004)[12]都在仿 射类模型中运用了以上方法。 为了记号上的简便，本文在此考虑单因子的情况，但是只要把记号拓展到向量， 多因子模型的表示也是类似的。那么我们不妨假设因子为 r ，它满足一个漂移扩散过 程，即
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北京理工大学硕士学位论文
第一章 利率期限结构模型概述
1.1 基本概念和记号
利率期限结构问题的研究对象是收益率曲线，因此在很多场合这两个名词及其含 义可以交换使用。直观地来看，收益率曲线表现了同种信用质量但是不同期限的债券 的收益率关系。为了说明收益率的计算以及以下的推导，首先，引进一些记号：
P ( t , T ) ——到期日为 T ，并支付本金为1的中间没有息票支出的零息票债券在时
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