2019-2020学年浙江省中考数学(浙教版)专题复习八： 图形折叠问题训练(含答案)

∴∠DOF＝60°.
同理可得∠EOG＝60°，
∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，
∴△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，
∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，
∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项 A 正确；
DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在线 段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上．若 AB＝AD＋2，EH＝1，则 AD＝________．
【分析】设 AD＝x，则 AB＝x＋2，利用折叠的性质得 DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断 四边形 AEFD 为正方形，所以 AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得 DH＝DC＝x＋2，则 AH＝AE－HE＝x－ 1，然后根据勾股定理得到 x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，再解方程求出 x 即可． 【自主解答】
计算出 CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到 DN＝BM，然后根据折叠的性质得 BM＝B′M＝1，从而有
DN＝1，于是计算 CD－DN 即可．
【自主解答】
折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折 叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析． 2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处(不与 B，D 重合)，折痕为 EF，若 DG＝2，BG＝6，则 BE 的长为__________．
∠MBO＝∠NDO， OB＝OD， ∠BOM＝∠DON，
∴△OBM≌△ODN，∴DN＝BM. ∵过点 O 折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕， ∴BM＝B′M＝1，∴DN＝1， ∴CN＝CD－DN＝5－1＝4.故选 D.
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变式训练
2．2.8
2 3.7
类型四
【例 4】 设 AD＝x，则 AB＝x＋2. ∵把△ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处， ∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°， ∴四边形 AEFD 为正方形， ∴AE＝AD＝x. ∵把△CDG 翻折，点 C 落在线段 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上， ∴DH＝DC＝x＋2. ∵HE＝1， ∴AH＝AE－HE＝x－1. 在 Rt△ADH 中，∵AD2＋AH2＝DH2， ∴x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，
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解决问题 (1)在图 1 中，若 EF 与 MN 交于点 Q，连结 CQ.求证：四边形 EQCM 是菱形； (2)请在图 1 中证明 AP∶PB＝2∶1. 发现感悟 若 E 为正方形纸片 ABCD 的边 AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程，请你思考并解决 如下问题： (3)如图 2.若DAEE＝2.则ABPP＝________； (4)如图 3，若ADEE＝3，则ABPP＝________； (5)根据问题(2)，(3)，(4)给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求 证明．
【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题； (2)设 AM＝y，则 BE＝EM＝x，MD＝1－y，在 Rt△AEM 中，由勾股定理得出 x，y 的关系式，可证 Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP 的周长； (3)作 FH⊥AB 于 H.则四边形 BCFH 是矩形．连结 BM 交 EF 于 O，交 FH 于 K.根据梯形的面积公式构建二 次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可．
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三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是 轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段． 类型二 折叠平行四边形
(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC C，
∴点 O 到 AB，AC 的距离相等．
由折叠得 DO 平分∠BDB′，
∴点 O 到 AB，DB′的距离相等，
∴点 O 到 DB′，AC 的距离相等，
∴FO 平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝12(∠FAD＋∠ADF)．
由折叠得∠BDE＝∠ODF＝12(∠DAF＋∠AFD)，
∴∠OFD＋∠ODF＝21(∠FAD＋∠ADF＋∠DAF＋∠AFD)＝120°，
A．△ADF≌△CGE B．△B′FG 的周长是一个定值 C．四边形 FOEC 的面积是一个定值 D．四边形 OGB′F 的面积是一个定值 【分析】A．根据等边三角形 ABC 的外心的性质可知 AO 平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得 FO 平 分 ∠DFG ， 由 外 角 的 性 质 可 证 明 ∠DOF ＝ 60°， 同 理 可 得 ∠EOG ＝ 60°， ∠FOG ＝ 60°＝ ∠DOF ＝ ∠EOG，再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE； B．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得 DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论； C．根据 S 四边形 FOEC＝S△OCF＋S△OCE 判断即可； D．将 S 四边形 OGB′F＝S△OAC－S△OFG，根据 S△OFG＝12·FG·OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形 OGB′F 的面积也变化，可作判断． 【自主解答】
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此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其 他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．
4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，CB＝2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． ①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； ②当 E 为线段 AB 中点时，AF＝59； ③当 A，F，C 三点共线时，AE＝13－32 13； ④当 A，F，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.
3
3．如图，在菱形 ABCD 中，tan A＝ 43，M，N 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 EF 经过顶点 D，当 EF⊥AD 时， CBNN的值为____．
类型四 折叠矩形 (2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在
【分析】要计算周长首先需要证明 E，C，D 共线，DE 可求，问题得解． 【自主解答】
关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形， 它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件． 1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将▱ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F.若∠ABD ＝48°，∠CFD＝40°，则∠E 为( )
类型五 折叠正方形 (2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别在边 AB，CD 上，将正
方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上(点 M 不与点 A，D 重合)，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，设 BE＝x. (1)当 AM＝31时，求 x 的值； (2)随着点 M 在边 AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求 出该定值； (3)设四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值．
正确．故选 D.
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类型二 【例 2】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝2. 由折叠知∠DAC＝∠EAC. ∵∠DAC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠EAC， ∴OA＝OC. ∵AE 过 BC 的中点 O， ∴AO＝21BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ACD＝90°. 由折叠知∠ACE＝90°， ∴E，C，D 共线，则 DE＝4， ∴△ADE 的周长为 3＋3＋4＝10. 故答案为 10. 变式训练 1．B 类型三 【例 3】 如图，连结 AC，BD. ∵点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点， ∴CD＝ 32＋42＝5. ∵AB∥CD，∴∠MBO＝∠NDO. 在△OBM 和△ODN 中，
A．102° B．112° C．122° D．92°
2
类型三 折叠菱形 (2018·山东烟台中考)对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点 O
折叠菱形，使 B，B′两点重合，MN 是折痕．若 B′M＝1，则 CN 的长为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
【分析】连结 AC，BD，利用菱形的性质得 OC＝12AC＝3，OD＝12BD＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理
类型六 折叠圆
︵
︵
(2018·湖北武汉中考)如图，在⊙O 中，点 C 在优弧AB上，将BC沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点
D.若⊙O 的半径为 5，AB＝4，则 BC 的长是( )
A．2 3
B．3 2
53 C. 2
65 D. 2
【分析】连结 OD，AC，DC，OB，OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，利用垂径定理、勾股定理、折
D．S 四边形 OGB′F＝S△OFG＋S△B′GF＝S△OFD＋S△ADF ＝S 四边形 OFAD＝S△OAD＋S△OAF ＝S△OCG＋S△OAF＝S△OAC－S△OFG. 如图，过 O 作 OH⊥AC 于 H，
∴S△OFG＝12·FG·OH，
由于 OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形 OGB′F 的面积也变化，故选项 D 不一定
专题八 图形折叠问题
类型一 折叠三角形 (2019 浙江台州中考)如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直
线分别交 AB，BC 于点 D，E.将△BDE 沿直线 DE 折叠，得到△B′DE，若 B′D，B′E 分别交 AC 于点 F，G， 连结 OF，OG，则下列判断错误的是( )
B．∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF＝GF＝GE，
∴△ADF≌△B′GF≌△CGE，∴B′G＝AD，
∴△B′FG 的周长＝FG＋B′F＋B′G＝FG＋AF＋CG＝AC(定值)，故选项 B 正确；
C．S 四边形 FOEC＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF＝S△AOC＝31(定值)，故选项 C 正确；
叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解．
【自主解答】
6．如图，将半径为 4 cm 的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为( )
A．2 3 cm
B．4 3 cm
C. 3 cm
D. 2 cm
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类型一
参考答案
【例 1】 A．如图，连接 OA，OC.
∵点 O 是等边三角形 ABC 的外心，
5
【自主解答】
正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点， 所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点．
5．综合与实践 问题背景 折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就 不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折 法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳 贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图 1)： 操作 1：将正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合．再将正方形 ABCD 展开，得到折 痕 EF； 操作 2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点 C 与点 E 重合，边 BC 翻折至 B′E 的位置，得到折痕 MN，B′E 与 AB 交于点 P.则 P 即为 AB 的三等分点，即 AP∶PB＝2∶1.