第一章 计数原理导学案

第一章 计数原理导学案

第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）

问题1 用前6个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少

种不同的号码？

问题2 用前6个大写的英文字母和一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少

种不同的号码？

问题3 上述两类计数问题中的“一件事情”分别是什么？根据你的思考，完成分类加法计数原理与分步乘法计数原理.

归纳

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有

m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的方法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝

种不同的方法.

解题步骤

1、明确“完成一件事”；

2、确定如何完成这件事（分类、分步）；

3、应用计数原理（分类加法、分步乘法）；

4、求解。

学以致用

1、在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

变式：在上题中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有1046=+种.这种算法对吗？

【小结：分类要做到“不重不漏”】

2、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？

练1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电

视机，有 种不同的选法.

练2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.

练3.乘积()()n n b b b a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++2121展开后，共有 项.

练4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.

练5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个

四位数号码.

练6. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.

⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

练7. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地

有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少

条不同的路线？

练8. 如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可有多少条不同的线路？

第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2）

复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？

复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数

学兴趣小组.

⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？

探究任务一：两个原理的应用

问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A ～G 或U ～Z , 后两个要求用数字1～

9.问最多可以给多少个程序命名？

变式：积()()()4321321321c c c c b b b a a a +++++++展开后共有多少项？

【小结：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.】

例1 核糖核酸（RNA ）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位

置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是

A ,C ,G ,U 表示.在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置

的碱基无关.假设有一类RNA 分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？

变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.

因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需

要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单

位，每个字节由8个二进制位构成.问：

要用多少个字节表示？

例2 计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.

程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提

供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组

成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个

程序模块有多少条执行路径？

变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量

迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一

种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重

复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母

必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这

种办法共能给多少辆汽车上牌照？

练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种

不同的进出商场的方式？

练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）

练3. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.

练4. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0

到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.

练5. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同

的分数，可以构成 个不同的真分数.

练6. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合

｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.

练7. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的

报名种数是 .

练8. 设x,y *∈N ，4x y +≤，则在直角坐标系中满足条件的点()M x,y 共有 个；

练9.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y 轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内

取值的不同直线共有 条.

练10. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .

练11.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.

练12. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.

练13. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不

同的选择种数为 .