江苏省如皋市高考数学一轮复习 向量教学案

向量

一、向量的概念及表示

1.定义（两个关键词：方向和长度）

2.平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任一向量共线． 相等向量：大小相等且方向相同的向量．（向量具有可平移性）

3.两个特殊向量：单位向量与零向量．

【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)向量AB u u u r

与CD 是共线向量，则D C B A 、、、四点在一直线上；

(2)若四边形ABCD 中有AB DC =u u r u u u r

，则四边形ABCD 是平行四边形； (3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB u u r ＝DC uu u r

；

(4)若a b =r r

，则a r ∥b r ；

(5)单位向量都相等；

(6)若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r

∥c r ． 二、 向量的线性运算

1.向量的加法：平行四边形法则（共起点）与三角形法则（首尾相连，起点到终点）； 向量的加法运算律满足交换律和结合律.

2.向量的减法：三角形法则（共起点，连接终点，指向被减向量）

记a OA =，b OB =. 则OC OB OA b a =+=+，

BA OB OA b a ==--.

●b a b a b a +≤±≤-.

【例2】在ABC ∆中，若AC AB AC AB -==,则=∠BAC .

【例3】已知: O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a =u u u r r ,DA b =uuu r r

,

OC c =u u u r r .试证明：b c a OA +-=r r r u u u r

．

3．向量的数乘：

①数乘的结果仍是向量； ②注意a λ的大小和方向受λ的影响. ●中线公式：已知点D 为ABC ∆边BC 的中点，则1()2

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

.

B

O C

A

●已知点O 是ABC ∆的内一点，则点O 是ABC ∆的重心⇔0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

.

4. 向量共线定理：b r ∥a r

）（0≠a ⇔有且仅有一个实数λ，使b a λ=r r .

【例4】设12,e e u r u u r 是平面内的不共线向量,如果122AB ke e =-u u u r u r u u r ,124BC e e =+u u u r u r u u r ，1283CD e ke =-u u u r u r u u r

若,,A B D

三点共线,则k 的值为 ．

【例5】O 为ABC ∆所在平面的任意一点，P 为该平面内一动点且满足(),AB

AC OP OA R AB

AC

λλ=++∈u u r

u u u r

u u r u u r

u u r u u u r ,

则点P 经过ABC ∆的 心.

●若OA 与OB 不共线，点C 满足OB OA OC μλ+=，则C B A 、、三点共线⇔1=+μλ.

三、向量的坐标表示 1.平面向量基本定理：

如果向量12,e e u r u r

是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一

对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+r u r u r

. ●平面内的基底不是唯一的，有无数组.

【例6】在边长为1的正三角形ABC ∆中，点E D ，在边AC 上，AC AD 3

1

=，E 是AC 的中点，则

=•BE BD .

2. 平面向量的坐标表示及坐标运算

在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a j y i x +=.我们把有序实数对()y x ，称为向量a 的（直角）坐标，记作a =()y x ，. ●设()11y x a ，=，()22y x b ，=和实数λ，

则=+b a ，=b a - ，=a λ .

已知坐标原点O ，()11y x A ，，()22y x B ，,则=-=OA OB AB . 3.向量平行的坐标表示：

设()11y x a ，=，()22y x b ，=，则⇔b a // .

【例7】已知)0,1(=a ρ

，)1,2(=b ρ，当实数k 为何值时，向量b a k ρρ-与b a ρρ3+ 平行？并确定此时它们

是同向还是反向.

M

O N B

A

D C

四、向量的数量积

1．定义：①cos a b a b θ⋅=r r r r

（定义式：θ强调共起点，,a b r r 为非零向量）.

1212x x y y =+（坐标式）

②0r

与任一向量的数量积为0. 2．模：22

22a a x y ==+r r . 3．夹角：1212

2222

1122

cos x x y y a b a b

x y x y θ+⋅==++r r r r （,a b r r

为非零向量）.

4．()

121200,00a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=≠≠⇔+=r r r r r r r r

.

【例8】①ABC BC AB ABC ∆>⋅∆则中，若在,0为__________三角形(锐角或钝角).

②在边长为1的等边ABC ∆中，设=⋅+⋅+⋅===a c c b b a c AB b CA a BC 则,,,____.

【例9】直角三角形ABC 中，),1(),3,2(k AC AB ==，求实数k 的值.

【例10】已知向量()m a ,1=，()1,2-=b ，若b a b a -=+，求实数m 的值.

【例11】若()()2,,1,3a x b ==r r

的夹角为锐角，则x 的取值范围是 .

●注意00cos 102

a b πθθ<<⇔<<⇔⋅>r r

且a 与b 的共线的去除.

【例12】已知a ，b 均为单位向量，若52=+b a ，则向量a r

与b r 的夹角为____.

【例13】如图，AB 是半圆O 的直径，D C 、是弧AB 三等分点，N M ，是线段AB 的三等分点，若6=OA ，则NC MD •的值是 ．

●向量的数量积一般有三种方法：定义法、坐标法、基底法.尤其当题中出现直角三角形、正三角形、正方形、矩形、菱形等几何图形时可以优先考虑建系. 五、向量法的综合运用

在平行四边形ABCD 中，=，=b a 平行四边形ABCD 是菱形；