第五章杆件和结构内力计算

弦杆 下弦杆
上弦杆
斜杆 竖杆
腹杆 桁高
d 节间 跨度
• 经抽象简化后，杆轴交于一点，且 “只 受结点荷载作用的直杆、铰结体系” 的 工程结构. • 特性： 只有轴力 ，而没有弯矩和剪力。 轴力又称为主内力（ primary internal forces）。
• 实际结构中由于结点并非是理想铰，同时还将 产生弯矩、剪力，但这两种内力相对于轴力的 影响是很小的，故称为次内力（secondary internal forces）。
3 按几何组成分类 简单桁架 （simple truss）
由基础或一个基本铰结三角形开始， 依此增加二元体所组成的桁架
联合桁架 （combined truss）
由简单桁架按几何不 变体系组成法则所组 成的桁架
复杂桁架 （complicated truss）
复杂桁架不仅分析计算麻烦， 而且施工也不大方便。工程 上较少使用。
截 面 法
根据空间任意力系的六个平衡方程
X 0 M
步骤：
x
Y 0 M
y
Z 0 M
z
0
0
0Biblioteka Baidu
求出内力分量
1、显示内力：取其一为研究对象， 画受力图 2、确定内力：静力平衡方程
注意：
用截面法求内力和取分离体求约束反力的方法本质 相同。这里取出的研究对象不是一个物体系统或一个完 整的物体，而是物体的一部分。
3 投影三角形关系
X NAD 3YNAD 33 kN

X 0 FNAC 33 kN
N X Y l lx ly
0
-33 34.8 19 -8
-33
19
0
-33 34.8 19 -8
-33 -5.4 37.5 19
-8 kN
YDE CD 0.75 X DE CE 0.5
2、力矩法
VA=4.52KN N2x VB=1.48KN
N2
N3 N1
N2y N3y N3x
M
c
0, N1 5.87KN (拉)
M
1.48KN
d
0, N2 4.70KN (压)
以三个未知力中 的两个内力作用 线的交点为矩心， 写出力矩平衡方 程，直接求出另 一个未知内力 （注意力的分解： 合力矩定理）
3.2
结点法（nodal analysis method）
以只有一个结点的隔离体为研究对象，用 汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 例1. 求以下桁架各杆的内力
0
-33
34.8 19
Y
YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5
19
0 YNAD 11 kN
1一般从 未知力不 超过两个 的结点开 始依次计 算 2 轴力的方向：拉为正 未知杆的内力：假定为正方向 已知杆轴力：实际方向
4 按受力特点分类：
梁式桁架
拱式桁架 竖向荷载下将 产生水平反力
三、桁架的计算方法
隔离体只含一个结点。适用 于简单桁架全部杆件内力的 求解
结点法 截面法
隔离体含两个及以上的结点。 适用于联合桁架，桁架少数 指定杆件的内力计算
截取桁架中的一部分作为隔 离体，由隔离体所受力系的 平衡，建立平衡方程，求解 未知杆的轴力
2.梁的支座 滑动铰支座
固定铰支座
固定端
FRx
MR
FR
FRy
FRx
FRy
3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁
0
-33 34.8 19 -8
-33
-33 -8
-33 34.8 19
-5.4 -5.4 37.5
零杆 零内力杆简称零杆（zero bar）
a）不共线的两杆结点，无荷载作用两杆内力均为0；
b）三杆结点上无荷载作用，且两杆在一条直线上， 则S3=0，S1= S2（大小相等，同为拉，同为压）。
c）三杆相交的结点，二杆共线，另一杆有共线的外 力 P 作用，则单杆的内力为 P ，其余两共线直杆内力 相等； d）四杆结点无荷载作用，且四杆两两成直线，则同 一直线上两杆轴力大小相等，性质相同， S 1 = S 2 ， S3 = S4 。 e) K结点
P
A
①对称结构在对称荷载作用 下，对称轴上的K 性结点无 外力作用，两斜杆轴力为零。 ②由T形结点受力特点，又 可找到四根零杆。 ③内接三角形的三顶点不受 力时，内接三角形不受力。 又找到六根零杆。
P
0 0 0
0
0 0
P
0 0
0
0 0
0
P
截面法
1、适当选取截面 截面(平面、曲面或 闭合截面)必须将桁 架分成两部分；截开 未知杆的数目一般情 况下不能多于三个， 不互相平行，也不交 于一点。
实际桁架 结点 介于铰于刚结之间 理想桁架（计算简图） 所有结点为理想铰，光滑、 无摩擦
轴线 不能绝对平、直；各杆也不一定完 绝对平直、一平面内、通 全相交于一点。有个结合区 过铰的中心（理想轴）
荷载 非结点荷载：自重、荷载、支反力
材料 弹塑性材料
结点荷载
线弹性材料，小变形
实际桁架 理想桁架
根据以上假设，理想 桁架中各杆均为二力 杆（轴力杆、链杆）
轴力 的方向以使杆件拉伸为正（拉力）
F F
轴力 的方向以使杆件压缩为负（压力）
F
F
内力的正负号规则
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须 具有相同的正负号。
FN
拉力为正
FN
FN
压力为负
FN
例题1 一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。
20KN 20KN 1 40KN 2
1 20KN 20KN
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
对称扳手拧紧镙帽
自 行 车 中 轴 受 扭
桥 体 发 生 扭 转 变 形
弯曲变形
受力特点：是由垂直于杆件轴线的力或作用在杆 件的纵向平面内的力偶引起的
变形特点：杆轴由直变弯，杆件的轴线变成曲线。
计算简图
计算简图
阳台梁是受弯构件 阳 台
内力及其截面法
试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力
ED杆内力如何求?
例2：求1、2、3杆的内力。
X 0, N 0 M 0, N 2P 3 (压)
3 0 2
Y 0, N X 0, N
CFy 1
N2
N CFx 4 P(压力) 9
小结：
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法 采取最简捷的途径计算桁架 内力
2
FN 1 0
20KN 20KN 40KN
FN 2 40kN
例题2
求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力
FN1=F
FN2=F
三、轴力图：轴力与截面位置关系的图线
例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力
解：
N 1 10 kN N 2 5 kN N 3 20 kN
轴力图
∑MI=0: VA.2a-P/2.2aP.a-NHC.h/2=0 NHC=12Pa/h
4、适用性 简单桁架中指定杆件的内力；联合桁架 5、求解步骤 （1）一般先求支座反力（悬臂式可以不求支反力）；
（2）用一假想截面把所求内力的杆切断，把桁架分成两部分，截取截 面所有的未知内力的数目一般不超过三个（例外情况除外），它们的 作用线不能交于一点，也不互相平行。
计算简图
计算简图
阳台梁是受弯构件 阳 台
3.4平面弯曲内力
受弯构件
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
常见弯曲构件截面
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
梁的荷载及计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内。
1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
杆 件
定义：长度远大于其他两个方向尺寸的变形体。 例：梁、柱
直杆： 等截面直杆、变截面直杆 等截面折杆、变截面折杆* 等截面曲杆、变截面曲杆*
杆件：
折杆： 曲杆：
轴力及其求法——截面法
轴向拉压杆的内力称为轴力,其作用线与杆的 轴线重合,用符号 ＦＮ 表示。
1.显示内力
FN
2.确定内力
FN
F
F
FN F
FN=0
判断零杆
FP FP FP/ 2
FP/2
零杆：指杆件轴力为零的杆件，虽 不受轴力，但不能理解成多余的杆 件
对称性的利用 对称结构受对称荷载作用, 内力和反 力均为对称:
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和 反力均为反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
一、内力的概念
1、外力：其它物体对构件作用的力。例如支座反力，荷载等。
2、内力：固有内力--分子内力，它是由构成物体的材料的
物理性质所决定的。 附加内力—由于外力作用而引起的受力构件内部各质 点间相互作用力的改变量。
建筑力学研究----附加内力 （简称内力）
随外力产生或消失 随外力改变而改变 但有一定限度
第三章
静定结构内力计算
变形的概念
• 在外力作用下，形状和尺寸的变化。 例：钢筋混凝土构件，受力发生弯曲变形
1、变形体
分类： 1、弹性变形 可恢复原状
2、塑性变形（残余变形） 不可恢复
2、基本假设
1、均匀连续假设 2、各向同性假设 3、弹性假设 所研究的材料为： 均匀连续、各向同性的弹性体，且变形小
必须指出：用截面法之前 ⑴ 一般不允许用力的可传性原理。 ⑵ 不允许用合力来代替力系的作用。 ⑶ 不允许把力偶在物体上移动。
§3-2 轴向拉伸与压缩时的内力
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作
用线与杆轴线重合
变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横
截面沿轴线平行移动
轴 力 的 正 负 号 规 定
（3）取其一部分为自由体，根据平衡条件，计算所求杆的内力。在写 平衡方程时，应尽可能使每个方程只包含一个未知力，采用力矩平衡方 程、投影平衡方程（尽量采用内力分量形式可使问题简化）。
3.4 截面法和结点法的联合应用
凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件 内力时，统称为联合法 （combined method）。
杆
•
•
件
变
形
的
形
式
1、基本变形
轴向拉伸与压缩 剪切变形
•
•
扭转变形
2、组合变形
弯曲变形
•
同时发生两种或两种以上的变形形式
轴向拉伸或压缩变形
受力特点：作用线与杆轴重合的外力引起的。
拉 伸
压 缩
变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短，
主要变形是长度的改变
屋 架 结 构 中 的 拉 压 杆
塔 式 结 构 中 的 拉 压 杆
A
B
O
A m


m
O
B
扭矩和扭矩图
Mn= Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
扭矩图
表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。


例
试绘制图示圆轴的扭矩图
弯曲变形
受力特点：是由垂直于杆件轴线的力或作用在杆 件的纵向平面内的力偶引起的
变形特点：杆轴由直变弯，杆件的轴线变成曲线。
二、桁架结构的分类：
1 根据维数分类 （1） 平面（二维）桁架（plane truss） 所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在 同一平面内
（2） 空间（三维）桁架（space truss）
——组成桁架的杆件不都在同一平面内
2 按外型分类 （1）平行弦 桁架 （2）三角形 桁架 （3）抛物线桁 架 （4）梯形桁架
截面法计算桁架的内力 例 计算图示桁架1、2、3杆的内力。
例3 计算图示桁架CD杆、HC杆的内力。 解：(1) ∑Y=0: VA=VB=4P (2) 求CD杆的内力 作Ⅰ-Ⅰ截面，取左半 ∑ME=0: VA.l/2-NCD.h-P/2.l/2P.3a-P.2a-P.a=0 NCD=8Pa/h
(3) 求HC杆的内力 作Ⅱ-Ⅱ截面，取左半跨 为隔离体，共有四个未知力， 但除所求HC杆外，其余三杆同
扭转
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相 反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作 用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。 扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。
桥 梁 结 构 中 的 拉 杆
剪 切 变形
受力特点：由垂直于杆轴方向的一对大小相等、 方向相反、作用线很近的外力引起的。
变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形 主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动。
螺 栓
连 接 键
销钉
螺 栓
扭 转 变 形
受力特点：由垂直于杆轴线平面内的力偶作用引起的
N 1 10 kN N 2 5 kN N 3 20 kN
例题：求下列各杆件的轴力图
9KN 4KN 3KN 2KN
F 2F
4KN
5KN
2KN
桁架内力分析
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
桁架：增加跨度、减轻自重
3.1 桁架的特点和组成分类
一、桁架定义及其特点