随机变量及其概率分布
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。
其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。
下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。
一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。
常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。
随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。
随机变量可以是离散型和连续型两种。
如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。
概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。
概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。
累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。
二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。
例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。
离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。
2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。
3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。
4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。
5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。
2.1随机变量及其概率分布
例1
袋中有3只红球， 只白球 从中任意取出3只球 只白球， 只球， 袋中有 只红球，2只白球，从中任意取出 只球， 只红球 写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红 写出所有的基本事件，并观察取出的 只球中的红 球的个数． 球的个数． 我们将3只红球分别记作 只红球分别记作1， ， 号 我们将 只红球分别记作 ，2，3号，2只白球分别 只白球分别 记作4，5号，则该试验的所有基本事件为： 记作 ， 号 则该试验的所有基本事件为： ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，2，3）（ ，2，4）（ ，2，5） ， ， ）（ ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ ）（2， ， ）（ ）（2， ， ） （2，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ （3，4，5） ， ， ）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子， 、同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察朝上一面出现的点数。求两颗骰 观察朝上一面出现的点数。 的概率分布， 子中出现的最大点数 X 的概率分布， 并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡， 例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其 、 个正品， 个次品.需要从中 中 8 个正品，2 个次品 需要从中 取出 2 个正品，每次取出 1 个， 个正品， 取出后不放回， 取出后不放回，直到取出 2 个正 品为止.设 为取出的次数， 品为止 设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量 的概率分布表。它和①都叫做随 机变量X的概率分布。 机变量 的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
首页 返回 退出
§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
首页 返回 退出
定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
首页 返回 退出
这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
首页 返回 退出
常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率分布与随机变量的分布函数计算
概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。
概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。
在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。
一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
这取决于随机变量是离散型还是连续型。
1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。
概率质量函数给出了每个可能取值的概率。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。
其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。
2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。
概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。
假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。
二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。
对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。
1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。
CDF可以通过累加概率质量函数来计算。
对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。
概率论与数理统计随机变量及其分布
问题三 随机变量的一些例子
在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示 每天进入教室的人数X 某个时间段吃饭排队的人数X 电灯泡使用的寿命T 而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否合格，此时样本空间
S=｛合格品，不合格品｝，若用1对应合格品，-1对应不合格品，这 样就都有唯一确定的实数与之对应。
P { 而a 且 Xx i所 成b } 的 任P 何{ a 事 x i 件 b { 的X 概 率x 都i} 能} 够a 求 x i出 b 来p i，
2.2 离散型随机变量及其概率
分P {X 布 I} P {Xxi} p i
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布 两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能
1.随机变量的引入
从上面的例子可以看出随机试验的结果都可用一个实数 来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，它是样本
点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。
2 随机变量的定义
随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S 上的实值函数X=X( )为随机变量。
随机变量的表示： 常用大写字母X,Y,Z或希腊字母
时，
b(k,n, pn)=
lim
讲课本n 例6，例7
l i m k
n
Cnkpnk(1pn)nk
e k!
2.3 随机变量的分布函数
随 机 变( 量 的 分布x函数)
定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=P{X≤x} 为X的分布函数。有时记作X~F（x） 这个概率具有什么特点呢? 具有累积性 这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。 注：①X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式可以用二项分布来描述。
二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。
3，二项分布的概率分布：设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概率为P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)!4，二项分布的性质：1）二项分布是离散型概率分布；2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
1.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作X~B(n,p)。
其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。
2.离散型随机变量的均值：如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.均值的性质：如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。
4.常用分布的均值：1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。
2) 二项分布：E(X)=np。
3) 超几何分布：E(X)=nM/N。
5.离散型随机变量的方差：离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的标准差。
方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。
6.方差的性质：1) 常数的方差为0.2) 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身。
3) 随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积。
7.常用分布的方差：二项分布的方差为D(X)=np(1-p)。
概率论与数理统计第二章随机变量及其分布
设随机变量X服从参数为 分布,即 例2.3.1.设随机变量 服从参数为 的0-1分布 即: 设随机变量 服从参数为0.3的 分布 X P 0 1 ,求X的分布函数 求 的分布函数 的分布函数.
i
0.3 0.7
解:(1) 当x<0时,F(x)=P{X≤x}= 时
∑P{X = x }=0 (2)当0≤x<1时,F(x)=P{X≤x}= ∑P{X = x } =P{x=0}=0.3 当 时 (3)当1≤x时,F(x)=P{X≤x}= ∑P{X = x } 当 时
xi ≤x xi ≤x i xi ≤x i
=P{X=0}+P{X=1}=1 F(x) 分布函数图形如下 1 0.3 0 1 x
3.离散型随机变量 的分布函数的性质 离散型随机变量X的分布函数的性质 离散型随机变量 (1)分布函数是分段函数 分段区间是由 的取值点划分成的 分布函数是分段函数,分段区间是由 分布函数是分段函数 分段区间是由X的取值点划分成的 左闭右开区间; 左闭右开区间 (2)函数值从 到1逐段递增 图形上表现为阶梯形跳跃递增 函数值从0到 逐段递增 图形上表现为阶梯形跳跃递增; 逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增 函数值从 (3)函数值跳跃高度是 取值区间中新增加点的对应概率值 函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值 函数值跳跃高度是 取值区间中新增加点的对应概率值; F(x) (4)分布函数是右连续的 分布函数是右连续的; 分布函数是右连续的 1 (5) P{X=xi}=F(xi)-F(xi-0) 0.3
记为 X~B(n,p)
m P X = m) = Cn pm(1− p)n−m (
m=0,1,2,...,n
随机变量X所服从的分布称为二项分布,n为实验次数 注:(1)随机变量 所服从的分布称为二项分布 为实验次数 随机变量 所服从的分布称为二项分布 为实验次数; (2)该实验模型称为 次独立重复实验模型或 重Bernoulli实验模型 该实验模型称为n次独立重复实验模型或 实验模型; 该实验模型称为 次独立重复实验模型或n重 实验模型 (3)若A和Ac是n重Bernoulli实验的两个对立结果 成功”可以指二 若 和 实验的两个对立结果,“成功 重 实验的两个对立结果 成功” 者中任意一个,p是 成功”的概率 者中任意一个 是“成功”的概率. 例如:一批产品的合格率为 有放回地抽取 有放回地抽取4次 每次一件 每次一件, 例如 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 次,每次一件 取得合格 一批产品的合格率为 品件数X,以及取得不合格品件数 服从分布为二项分布 品件数 以及取得不合格品件数Y服从分布为二项分布 以及取得不合格品件数 服从分布为二项分布, X对应的实验次数为 对应的实验次数为n=4, “成功”即取得合格品的概率为 成功” 对应的实验次数为 成功 即取得合格品的概率为p=0.8,
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布简介随机变量是概率论和统计学中非常重要的概念之一。
它用于描述随机试验中的不确定性量。
在本文档中，我们将介绍随机变量的概念以及常见的概率分布。
随机变量随机变量是随机试验中的某种观察结果，它可以取不同的值，并且每个值都有一定的概率。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量离散型随机变量的取值是离散的，它通常用来描述一些可以数清的个体情况，比如扔一次硬币正面朝上的次数。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
连续型随机变量连续型随机变量的取值是连续的，它通常用来描述一些可以测量的连续变量，比如某时间范围内的降水量。
常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。
概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
对于离散型随机变量，概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）表示；对于连续型随机变量，概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示。
二项分布二项分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。
它描述了在一系列独立的、相同概率的试验中成功的次数。
二项分布的概率质量函数由试验次数、成功次数和成功概率决定。
正态分布正态分布是一种描述连续型随机变量的概率分布。
它是一种钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数由均值和标准差决定。
结论随机变量及其概率分布是概率论和统计学中重要的概念。
通过了解随机变量和不同的概率分布，我们可以更好地理解随机事件发生的概率，并应用于实际问题的分析和决策中。
引用本文档所含内容均为作者独立创作，未引用他人内容。
概率分布与随机变量的方差
概率分布与随机变量的方差概率分布和随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，而方差是随机变量的一个重要度量参数。
本文将详细介绍概率分布、随机变量以及方差的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、概率分布概率分布是指随机变量所有可能取值及其对应的概率。
常见的概率分布有离散分布和连续分布两种。
离散分布是指随机变量只能取值于由有限个或无限个计数的数值，例如二项分布、泊松分布等；而连续分布则是指随机变量可以取任意实数值，例如正态分布、指数分布等。
二、随机变量随机变量是指随机试验结果的数值描述，它可以是离散型随机变量，也可以是连续型随机变量。
离散型随机变量的取值由一列可以数数的数值表示，而连续型随机变量的取值则由一定范围内的任意数值表示。
随机变量的方差是度量随机变量取值的分散程度的一个指标。
方差越大，表示随机变量取值的波动性越大，方差越小，则表示随机变量的取值趋于稳定。
三、方差的计算方法对于离散型随机变量X，其期望（均值）可以表示为E(X)，方差可以表示为Var(X)。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，E(X)是随机变量X的期望，(X - E(X))^2表示随机变量取值与其期望之差的平方。
对于连续型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx其中，E(X)是随机变量X的期望，(x - E(X))^2表示随机变量取值与期望之差的平方，f(x)表示X的概率密度函数。
四、方差的应用方差在实际问题中有广泛的应用。
首先，方差可以衡量一组数据的离散程度，可以帮助我们了解数据的分布情况，从而进行合理的决策。
其次，方差也是许多统计推断的基础，例如假设检验和置信区间的计算。
此外，在金融领域，方差也被广泛应用于风险评估和投资组合优化等问题上。
总结：本文详细介绍了概率分布和随机变量的概念，以及方差的计算方法和应用。
通过了解这些概念和计算方法，我们可以更好地理解概率分布和随机变量的性质，并在实际问题中应用方差进行分析和决策。
第二章 随机变量及其函数的概率分布
第二章 随机变量及其函数的概率分布§2.1 随机变量与分布函数§2.2 离散型随机变量及其概率分布一、 填空题1. 某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,)2.0()8.0(33=-k C k k k ；2. 设随机变量X 服从泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则==)4(X P 0.0902 ；3. 设X 服从参数为p 的两点分布，则X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1 ,110 ,10,0)(x x p x x F ；4. 已知随机变量X 的概率分布：P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布函数)(x F =0 10.2 120.5 231 3x x x x <⎧⎪≤<⎪⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，；5. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=3,131 ,8.011 ,4.01, 0)x x x x x F （, 则X 的概率分布为(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2P X P X P X =-=====。
二、选择题设离散型随机变量X 的分布律为λ>=λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为（B ） (A) λ>0的任意实数; (B) ；11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 11-=b λ. 三、 计算下列各题1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。
解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(51041===-k C C k X P k所以X 的分布列为2. 一批元件的正品率为4，次品率为4，现对这批元件进行有放回的测试，设第X 次首次测到正品，试求X 的分布列。
第四章 随机变量及其概率分布
HaiNan University
6
第二章 随机变量及其概念分布
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e
)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
HaiNan University
7
第二章 随机变量及其概念分布
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
HaiNan University
22
第二章 随机变量及其概念分布
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
HaiNan University
8
第二章 随机变量及其概念分布
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1) 0
e2 (正面朝上)
1 X (e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
HaiNan University
随机变量及其概率分布
考试内容
随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求
1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。
理解各种分布的背景和主要特征；
注意随机变量和随机事件的转化〔等价性〕。
7、函数分布
离散型：已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．23：已知随机变量 的分布列为
，
其中 。求 的分布列。
解：
连续型：先利用X的概率密度 写出Y的分布函数， ，再利用变上下限积分的求导公式求出 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
标准化公式及其应用：〔正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布〕
一、主要内容讲解
1、分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为随机变量X的分布函数。
性质：
➢0≤F(x)≤1且F(-∞)=0，F(+∞)=1； ➢F(x)是x的单调不减函数： ➢F(x)最多有可列个间断点，且在间断点x0处 右连续。
返回
上页
下页
退出
例 设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctan x ➢求A、B； ➢计算概率P(X>1)。
返回
上页
下页
退出
定义 设随机试验的样本空间为Ω，若对任意 ω∈Ω，变量X有唯一的值X(ω)与之对应，则称X 为随机变量。
注意： ➢随机变量的目的：描述随机事件； ➢随机变量的确定：人为定义； ➢随机变量的方式：等式或不等式； ➢随机变量的研究：其属于各种集合的概率。
返回
上页
下页
退出
►3.1.2 随机变量的分布函数
X ➢图示法： P
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
… …
pn
pn pp12
O x1
x2 xn xn 返回
上页
下页
退出
已知X的分布列为P(X=xn)=pn，n=1,2,…
则概率 P(X I) pk xk I
例 把编号为1、2、3的3个球随机地放到编 号分别为1、2、3、4的4个盒子中，令X表示 落到1号盒子中的球的个数，求
➢10台仪器全部能出厂的概率； ➢ 10台中恰有2台不能出厂的概率； ➢ 10台中最多有1台不能出厂的概率。
返回
上页
下页
பைடு நூலகம்退出
例 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障 工作的概率)为0.9，每台出现故障时需要由一 个人进行调整。问为保证在95%的情况下当设 备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安 排几个人值班？
返回
上页
下页
退出
➢若离散型随机变量X 的分布函数为F(x)，则 其概率分布为P(X=xn)=F(xn)-F(xn-1)，n=1,2,…
例 离散型随机变量X 的分布函数为
0 x 1
F (x) 00..63
1 x 0 0 x 1
0.8 1 x 3 1 x 3
试求X的概率分布，并计算P(X>1)，P(X<2)。
定义 设离散型随机变量X 的一切可能取值 为x1,x2,…,xn,…，则称P(X=xn)=pn为X 的概率函 数或概率分布，简称分布或分布列。
离散型随机变量概率分布的性质：
➢pn≥0； ➢p1+p2+…+pn+…=1。
返回
上页
下页
退出
例 随机X的概率分布为 P(X=k)=3·bk，k=1,2,… 求b。 分布列的表示有三种方法： ➢公式法：P(X=xn)=pn，n=1,2,… ➢列表法：
返回
上页
下页
退出
§3.2 离散型随机变量
►3.2.1 离散型随机变量及其分布率 定义 若随机变量X只可能取有限个或可列
个值，则称X为离散型随机变量。
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面： ➢随机变量的所有可能取值； ➢随机变量取这些可能值的概率。
返回
上页
下页
退出
例 袋中有13个白球和17个红球，从中任取10 个球，记X= “取出的白球的个数”，求P(X=i)。
➢X的分布列； ➢P(X<2)。
返回
上页
下页
退出
定理 概率分布与分布函数的关系：
➢若离散型随机变量X的概率分布为 P(X=xn)=pn，n=1,2,…
则其分布函数为 F(x) pn xn x
例 盒子中有4个黑球，6个白球，从中不放 回抽取，令X是首次取到白球时抽取的球的个 数，求：
➢X的分布律； ➢X的分布函数。
退出
定理 若X~b(n,p)，则 ➢当(n+1)p为整数时，X的最可能值为 (n+1)p-1和(n+1)p； ➢当(n+1)p不为整数时，X的最可能值为 [(n+1)p]。
返回
上页
下页
退出
例 假设一厂家一条自动生产线上生产的每 台仪器，以概率0.8可以直接出厂，以概率0.2需 进一步调试。经调试后，以概率0.75可以出厂， 以概率0.25定为不合格品而不能出厂。现该厂新 生产了10台仪器(假设各台仪器的生产过程相互 独立)。计算：
第3章 随机变量及其概率分布
§3.1 随机变量及其分布函数 §3.2 离散型随机变量 §3.3 连续型随机变量 §3.4 随机变量函数的分布
§3.1 随机变量及其分布函数
►3.1.1 随机变量的概念
随机事件的数量化问题： ➢有些随机试验的结果直接表现为数量，例 如电脑寿命、汽车速度、考试成绩、一批产品 中出现的次品数、一段公路上发生的交通事故 数等等； ➢有些随机试验的结果是非数量的，例如考 试及格与否、足球比赛的胜负、投篮手的投中 与否、试验的成功与失败等等。
返回
上页
下页
退出
►3.2.2 重要的离散型随机变量 1、两点分布(0-1分布) ➢ 应用场合：试验只有两个结果(这样的试
验称为Bernoulli试验)。一般把一个结果称为 “成
功”，用“X=1”表示；另一个结果称为“失 败” ，
用“X=0”表示。 ➢概率分布：P(X=1)=p，P(X=0)=q(=1-p)
返回
上页
下页
退出
当随机变量X的分布函数F(x)已知时，由X 刻画的事件的概率可由分布函数来求：
➢ P(X<a)=F(a-)； ➢ P(X>a)=1-F(a)； ➢ P(X≥a)=1-F(a-)； ➢ P(X=a)=F(a)-F(a-)； ➢ P(a<X<b)=F(b-)-F(a)； ➢ P(a≤X<b)=F(b--0)-F(a-)； ➢ P(a<X≤b)=F(b)-F(a)； ➢ P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-)。
返回
上页
下页
退出
2、二项分布 ➢应用场合：n重Bernoulli试验。每次试验中 事件A发生(“成功”)的概率为p(0<p<1)， X表示 n次试验中“成功” 的次数。 ➢概率分布：P(X=m)=Cnmpm(1-p)n-m ➢记号：X~b(n,p)
例 若每次射击中靶的概率为0.7，求射击5 炮，命中3炮的概率，至多命中3炮的概率，最 可能命中几炮。
返回
上页
下页
退出
➢最可能出现次数： 在二项分布中，若P(X=k)概率最大，则称k 为X的最可能值或Bernoulli试验的最可能出现次 数。
X0
1
2
3
4
5
P 0.00243 0.02835 0.1323 0.3087 0.36105 0.16807
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
返回
上页
下页