初中数学专题讲义-四边形2

初中数学专题讲义 -四边形 (二)

一、课标下复习指南

1．梯形及等腰梯形

(1)梯形

的定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底)，不平行的两边叫做梯形的腰，两底间的距离叫

做梯形的高．

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

(2)等腰梯形的性质

①同一底上的两个角相等；

②两条对角线相等．

(3)等腰梯形的判定

①依据等腰梯形的定义判定；②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．

2．解梯形问题常用的辅助线

(1)如图 12－1，作梯形的高．

图 12 － 1

(2)如图 12－2，过梯形的一个顶点作一腰的平行线．

图 12 － 2

(3)如图 12－3，过梯形的一腰的中点作另一个腰的平行线，并与上底的延长线相交．

图 12 － 3

(4)如图 12－4，过梯形上底的一个端点作对角线的平行线，与梯形的下底的延长线相交．

图 12 － 4

(5)如图 12－5，自梯形上底的一个端点，过梯形一腰的中点作射线，与下底

的延长线相交．

(6) 如图 12－6，连接梯形的对角线．

图 12 － 6

(7) 如图 12－7，延长梯形的两腰，相交于一点．

3．简单平面图形的面积

(1) 三角形的面积公式

三角形的面积等于它的底与高的乘积的一半．

等底等高的两个三角形面积相等； 等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比； 的两个三角形的面积比等于相应高的比．

(2) 平行四边形的面积等于一边与这边上的高的乘积．

(3) 矩形的面积等于两条邻边的乘积．

(4) 菱形的面积等于一边与这边上的高的乘积，也等于两条对角线乘积的一半．

(5) 正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半．

(6) 梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半．

(7) 多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和．

4．几何作图

(1) 依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形．

(2) 求作与已知四边形面积相等的三角形．

(3) 求作与已知四边形关于某一点 (或某一直线 )对称的四边形．二、例题分析 例 1 已知：如图 12－8，在梯形 ABCD 中，∠ DCB ＝ 90°， AB ∥ DC ，AB ＝ 24，将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D 重合， BE 为折痕，试求 AD 的长．

图 12 － 8

分析 如图 12－9，若作 DH ⊥AB 于点 H ，则DH ＝CB ＝24，欲求 AD

的长，只需等底 BC ＝

求 AH

的长，而 AH＝AB－BH＝AB－ CD．

解如图 12－9，作 DH⊥AB 于点 H．

在梯形 ABCD 中，

∵AB∥DC，∠ DCB ＝ 90°，

∴四边形 DHBC 是矩形．

∴DH＝ BC＝24，BH＝DC．

∵点 A 与点 D 关于直线 BE 成轴对称，

∴ DB＝AB ＝25．

在 Rt△ DBC 中，

∵∠ C＝∠ 90°， BC＝24，BD＝25，

22

DC BD2 BC 2 7.

∴AH＝AB－BH＝ AB－CD＝25－7＝18．

AD AH 2 DH 2182 24 2 30.

说明 (1)如图 12－ 9，作梯形 ABCD 的高 DH 是将有关直角梯形的计算问题转化为解直角三角形的基本辅助线．而利用已知中的折叠条件，知A， D 两点关于直线 BE 成轴对称，

得 BD＝ AB＝ 25，又使 Rt△ DBC 可解，使问题得以解决．

(2)在计算线段 AD 的长时，可利用幂的运算法则及二次根式的性质简化运算，即

AD AH 2 DH 2182 24 2

62(32 42 ) 6232 42 30.

(3)如果例 1还要求折痕 BE 的长，请想一想该如何解决 ?

例 2 如图 12 － 10，已知梯形 ABCD 中， AD∥BC，AD＝2，BC＝4，对角线 AC ＝5， BD＝3．试求此梯形的面积．

图 12－ 10

解作AE∥DB，交 CB的延长线于 E，作 AF⊥BE于 F．易知 ADBE 为平行四边形．∴AE＝DB＝3，EB＝AD＝2， CE＝6．

设 EF＝ x，有 AE2－EF2＝ AC2－ CF2．

5

即 32－x2＝52－ (6－x)2．解得x

2 5 2 2 AF 32(35) 2 23

14,

1 S梯AF

(AD BC) 2

14.

说明在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法．

例 3 如图 12 － 11，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AB＝DC， AD＝2，BC ＝ 4，延长 BC 到 E，使 CE＝ AD．

(1)求证：△ BAD ≌△ DCE ；

(2)如果 AC⊥BD ，求等腰梯形 ABCD 的高 DF 的长．解 (1)证明：∵ AD∥

BC，

∴∠ CDA ＝∠ DCE ．

又∵四边形 ABCD 是等腰梯形，

∴∠ BAD ＝∠ CDA ，

∴∠ BAD ＝∠ DCE ．

∵AB＝DC，AD＝CE，

∴△ BAD ≌△ DCE ．

(2)∵AD＝CE，AD∥BC，

∴四边形 ACED 是平行四边形．

∴AC∥DE．

∵AC⊥BD，∴ DE⊥BD．

由(1)可知，△ BAD ≌△ DCE ，∴ BD＝DE．

∴△ BDE 是等腰直角三角形，∠ E＝45°．

1

DF BE.

2

∵四边形 ABCD 是等腰梯形，而 AD＝2，BC ＝4，

11

DF (BC CE) (BC AD) 3. 22

例 4 如图 12 － 12，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，CA平分∠ BCD．DE∥AC，交BC的延长线于点 E，∠ B＝2∠E．

图 12－ 12 (1)求证： AB＝ DC ；

(2)若 tanB＝ 2，AB 5，求 BC 边的长．

解 (1)证明：∵ DE∥ AC，∴∠ BCA ＝∠ E．∵CA平分∠ BCD ，∴∠ BCD＝2∠BCA．

∴∠ BCD＝2∠E．