第二节 简单几何体的表面积和体积

第二节简单几何体的表面积和体积

[选题明细表]

知识点、方法题号

几何体的侧面积与表面积10

几何体的体积1,2,3,5,6 与球有关的面积、体积问题7,8,12

综合问题4,9,11,13,14,15

一、选择题

1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( B )

(A)(B)(C)1 (D)

解析:由三视图知,几何体右边是三棱锥,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V1=××1×1×1=;左边为直三棱柱,其底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1,其体积为V2=×1×1×1=.

所以该几何体的体积为V=V1+V2=+=.

故选B.

2.若某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( B )

(A)2 (B) (C)3 (D)3

解析:由题中三视图得直观图如图,

即四棱锥高为,底面为梯形,其面积为=3,

所以四棱锥体积为××3=.

故选B.

3.(2018·浙江嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位:m),则该几何体的体积是( A )

(A) m3(B) m3(C)2 m3(D)4 m3

解析:由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为 2 m,底面的高,即为三视图的宽 1 m,故底面面积S=×2×1=1(m2),棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=Sh= ×1×2=(m3),故选A.

4.(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( B )

(A)2(B)2(C)3 (D)2

解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如

图①所示.

圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,

所以|MN|===2.故选B.

5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记录求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了圆锥底面周长L 与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取值为( B )

(A) (B) (C) (D)

解析:圆锥的体积公式V=πR2h,

又L=2πR,故R=,

所以V=π()2h=L2h,

由题设≈,

所以π≈,故选B.

6.(2019·绍兴模拟)一个几何体的三视图及尺寸如图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则该几何体的体积为( A )

(A) (B) (C)4π (D)8π

解析:根据几何体的三视图,得该几何体是平放的半圆锥体,且半圆锥体的底面半径为2,高为4,所以该半圆锥体的体积为V=××π×22×4=π.所以A选项是正确的.

7.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是( C )

(A)π(B)2π

(C)π (D)3π

解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.

设正三角形ABC的高为3a,

则4a2+1=4,解得a=,

此时OE2=12+=,截面圆半径r2=22-=,

故截面面积的最小值为.故选C.

8.(2019·暨阳联考)在阿基米德的墓碑上刻着一幅“圆柱容球”的几何图形,它的三视图如图所示,记球的体积为V1,圆柱的体积为V2,球的表面积为S1,圆柱的全面积为S2,则下列结论正确的是( B )

(A)V1=V2,S1=S2(B)V=V2,S1=S2

(C)V1=V2,S1=S2(D)V1=V2,S1=S2

解析:根据三视图,画出几何体的直观图如图所示,设球的半径为R,则圆柱体的底面半径为R,高为2R,所以球的体积为V1=R3,圆柱的体积为V2=πR2·2R=2πR3,

球的表面积为S1=4πR2,

圆柱的全面积为S2=2πR·2R+2πR2=6πR2,

所以V1=V2,S1=S2.

故选B.

二、填空题

9.有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.

解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.

AC==5π(cm),

故铁丝的最短长度为5π cm.

答案:5π

10.(2019·金华十校模拟)某几何体的三视图如图所示,正视图为腰长为1的等腰直角三角形,侧视图、俯视图均为边长为1的正方形,则该几何体的表面积是 ,体积是.

解析:由三视图在棱长为1的正方体内画出该几何体为多面体ABCHE,其可以看作是由棱长为1的正方体截去一个直三棱柱BEF-CHG和三棱锥H-ACD后剩余的部分,则其体积为1-×1×1×1-××1×1×1=,表面积为3××1×1+1×+×()2=++.

答案:++

11.(2019·湖州三校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为cm3,表面积为 cm2.

解析:根据题意,图中几何体是从棱长为2 cm的正方体中去掉一个高为2 cm、底面是正方形且边长为2 cm的正四棱锥后的几何体,该几何体体积为2×2×2-×2×(2×2)=(cm3)

因去掉的正四棱锥的侧面底边上的高为=(cm),

则该几何体表面积为5×(2×2)+4×(×2×)=(20+4)(cm2).

答案:(20+4)

12.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是边长为6的等边三角形.若AB=4,则四面体ABCD的外接球的表面积为.