《工程电磁场》何小祥第二章

V 0 V dV
C/m 3
q (r) dV V
二、电荷面密度
S
(r)
lim
S 0
q S
dq dS
C / m2
q S S (r)dS
三、电荷线密度
C / m l
(r)
lim
l0
q l
dq dl
q l l (r)dl
四、点电荷
(r) q (r r)
(r
r
)
0, ,
r r r r
(ri' )V ’iRi
40 Ri3
V‘
(r' )R 40 R3
dV
’
(ri' )Vi’
小体积元中的电荷产生的电场
体电荷密度
1 E(r)
40
V
r r r r 3
(r)dV
面电荷密度 E(r) 1
4 0
S
r r r r' 3
s (r)dS
线电荷密度
E(r) 1
4 0
l
r r r r 3
l (r)dl
点电荷密度
E(r2 )
q
4 0 R3
R
q
40
r2 r1 r2 r1 3
2.1.3 电介质的极化
O2 H
H
O2 H H
O2 H H
H H O2
O2 H H
O2 H H
H O2 H
H H O2
O2
O2
H H H H
Байду номын сангаасO2 H H
O2 H H
O2 H H
O2 H H
O2 H H
E
O2 H H
D
=
0
P
0
k r2
电荷密度和电场具有一定的对称性时，电位移在所选择的闭合 面上大小恒定，方向要么一致要么垂直，则积分过程非常简单， 从而可以对某一些特定的具有对称性的场分布问题进行求解
一、静电场的旋度
E(r) 1
4 0
V
(r
)
1 R
dV
证明，区域包含电介 质的情况下，静电场 的旋度同样等于零。
E
(r
)
1
4
0
V
(r)
1 R
dV
E(r) 1 (r) 1 dV
40 V
R
自由空间的静电 场是无旋场
E = 0
二、自由空间内静电场的散度
静电场是一个有散场， 静电荷是静电场的通
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第二章 静态电磁场
2.1 静电场
2.1.1 电荷及电荷密度
e 1.6021019 C
任何带电体的电荷量都只能是一个基本电荷量的整数倍，也就 是说，严格讲带电体上的电荷是以离散的方式分布的。
认为电荷是以一定形式连续分布在带电体上，并用电荷密 度来描述这种分布。
一、电荷体密度
(r) lim q dq
距离场分析不适用。
三、 多电荷的电场强度
电场强度与点电荷量的正比关系，可利用叠加原理
E(r) 1
4 0
N i 1
r
qi ri3
(r
ri)
电偶极子 电偶极矩矢量 p = qd
四、分布电荷激励的静电场
如果电荷是连续分布，密度
为 (r) 。它在空间任意一点产
生的电场为：
E(r) lim V 0 i1
er
k r
，式中的 k 为
常数。(1)计算极化电荷体密度和面密度；(2)计算电介质球内自由电荷体密度；(3)根据高斯定
律求介质球内外的电场强度。
P
P
1 r2
d dr
(r2 pr )
1 r2
d dr
(r 2
k) r
k r2
SP
P en
er
k r
er
ra
k a
D
( 0 E
P)
0
E
P
0
D
P
0 D P
0Ε(r) P(r)
D(r)
+-
+
V
++
+-
+
+-
+-
+-
+-
+-
E
+-
+
V
++
+-
+
+-
+-
+-
+-
+-
D
+-
+
V
++
+-
+
+-
+-
+-
+-
+-
P
四、基本方程的积分形式
S E d S Ñl E dl
E = 0
Ñl E dl 0
ÑS AdS V AdV
D(r)
各向异性电介质，在这类电介质中， D 和 E 的方向不同，介电常数 是一个张量，表示为 。
这时， D 和 E 的关系可写为如下形式
D
E
,
Dx
Dy
xx yx
xy yy
xz yz
Ex Ey
Dz zx zy zz Ez
例题
2-1
半径为 a 、介电常数为
的球形电介质内的极化强度为 P
微分形式
ÑS D dS V dV
积分形式
五、静电场的本构关系与介电常数 D(r) = 0E(r) + e0E(r) = (1+ e )0E(r)
=r0E(r) = E(r)
r0 = 称为电介质的介电常数 F/ m
r 1+ e 称为电介质的相对介电常数
(1) 均匀电介质是指其介电常数 处处相等，不是空间坐标的函数；非均匀电介质则指 是空间坐标 的函数；
V'
(r
r) dV
'
0, 不包含r r
1,
包含 r r
z
q1 R
q2
r1
r2
y
2.1.2 库仑定律与电场强度
一、库仑定律
x
F12
eR
q1q2
4 0 R 2
q1q2
4 0 R3
R
二、点电荷的电场强度
0
1 36π
109 F
/
m
8.851012 F
/
m
试验电荷 q2 q1
E lim F q q2 0 2
(2) 线性电介质是指 与 E 的大小无关；反之，则是非线性电介质； (3) 色散电介质是指电介质特性是时间或空间导数的函数，否则是非色散电介质； (4) 稳定介质指介质特性不是时间的函数； (5) 各向同性电介质，是指 与 E 的方向无关， 是标量， D 和 E 的方向相同。另有一类电介质称为
E E0 E
pi
电极化强度 P = lim i V 0 V
极化体电荷密度 P P
极化面电荷密度 SP P en
P(r) = e0E(r)
Ñ E(r) 1
4 0
V
r r r r' 3
P (r) dV
1
4 0
S'
r r r r' 3
SP (r)dS '
2.1.4静电场基本方程
E(r) 1
4 0
V
(r )
1 R
dV
量源
E=
0
1
E(r)
4 0
V
'
(r ) 2
1 R
dV
2
1 R
4
r
r
0,
E(r)
1
0
(r ),
rV rV
E(r) 1 (r) r r dV
V' 0
三、电位移矢量和电介质中的高斯定律
Ε(r) P 0
0Ε(r) P D(r) 0 E(r) P(r)
E(r2 )
q
4 0 R3
R
q
40
r2 r1 r2 r1 3
1）电场强度大小表示单位正电荷在该点所受的电场力，电场强度的方向与单位正电荷的受力 方向一致；
2）电场强度是空间坐标的函数，所以是一种场； 3）E 是矢量，所以静电场是矢量场，既有大小，又有方向； 4）E 大小与电荷量 q 成正比，因而电场关于源满足叠加原理； 5）产生电场的源是电荷，是一个标量函数； 6）由于点电荷模型要求带电体尺寸远小于观察点到源点的距离，所以上述公式对点电荷的近