求一类非线性偏微分方程解析解的一种简洁方法_谢元喜
一类非线性偏微分方程的解
（） ４
则 方 程 （）变 为 ３
ａＨ 一 ： ３ｔ
一
ａＨ ２ ＋ 上 ｄ（ ＋
． 。
）
（） ５
在下列条件 下 ：
Ｈ （ ， ）＝ ｆ （ ） ｒ０ ０ ｒ
０
（） ６ （） ７
收 稿 日期 ：０ ２ ３—０ ２ ０ —０ ７
作者 简介 ： 姜根明 （９ ３ ） 男 ， １ ６ 一 ， 陕西渭南人 ， 长安大学基础部讲 师 ， 主要从事偏微 分方程 的研究 。
一
类 非 线性 偏 微 分 方 程 的 解
姜根 明 ， 王拉省２常安 定 ，
７ ０ ５ ；． １ ０ ４ ２ 西北工程科技 学院数理 系 ， 陕西西安 ７０４ ） １ ０ ８
（． １ 长安大学基础部 ， 陕西西安
摘
要 ： 中通 过 分 析 一 类 函数 族 的 正 交 性 ， 用 分 离 变 量 法 得 到 了 一类 非 线 性 偏 微 分 方 程 的解 析 解 文 采
为 常数 ， 因而 常说 的 Ｔ为 常数 ， 实际上便是 把计 算时段 内的潜水含水 层的厚度（ 时 ， 此 将水位与厚 度看成一个概 念） 取平均值 ， 并在计算 时段内将其看成 常数。 设
Ｔ ＫＨｐ ，、 １
称为水位传导 系数 ， ［ 一］Ｈ 为含水层平均厚度 ， 量纲 Ｌ Ｔ ； 尸 量纲［ ］此时方程 （） Ｌ； １ 变为
６６
维普资讯
Ｈ（ｏｔ ｒ ，）＝ ｈ ０
该 模 型 的解 为 ［ ： ２ ］
（） ８
Ｈ（ ，）＝ ｈ ｒ ｒｆ ｏ＋ ７ ２
２
２ ，０ ｌ ，）一 （ ） （ ８ ≯ Ｆ ０ ｆ ［（ ０ ｈＦ ，出 ｌ ｆｘ ） ｏ ｌ ｏＲ 一 ］ （ ） ． （ ０ 一． （ ） ， ） ， ３ ｝
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解近年来，随着探究和解决复杂科学问题的不断深入，非线性偏微分方程的研究受到了越来越多的关注。
非线性偏微分方程是一类非常重要的数学问题，通常用于研究动力学系统和物理系统的行为特性。
这些方程在某些情况下可能没有精确解，但仍可以有很多有趣的特殊解，如非古典对称及相似解。
非古典对称及相似解是指非线性偏微分方程的解中有一些不精确的特殊解，其特点在于其存在对称性及一定的类似性，即解的形式尽可能简单、容易求解，而不用进行复杂的运算。
这些对称解和相似解可以应用于许多不同的非线性偏微分方程，尤其是一些特殊形式的非线性偏微分方程，例如具有分数阶微分算子的偏微分方程、具有分数阶断点微分算子的偏微分方程及含有椭圆形离散算子的偏微分方程。
关于非古典对称及相似解的理论研究，目前基本上主要集中在三个方面：第一，对称解的存在性和唯一性问题；第二，对称解的分析性和解析性问题；第三，对称解的数值求解问题。
首先，在存在性和唯一性方面，采用一定的条件，证明如何确定一个非线性偏微分方程中存在对称解及其唯一性；然后，在分析性和解析性方面，采用边值问题的技术和其他技术，证明在某些情况下，非线性偏微分方程的对称解是有解析表示的；最后，在数值求解方面，采用两种常用的数值方法，即格林方法和步进法，提出数值计算非线性偏微分方程的对称及相似解。
除了这些方法外，还有许多其他可以求解非线性偏微分方程的对称及相似解的方法，例如采用逆变换和积分变换的迭代方法、采用复变换的积分方法、采用分数级数展开的技术等等。
这些方法都可以用于解决非线性偏微分方程中存在的不同类型的对称及相似解问题。
总的来说，非古典对称及相似解对研究非线性偏微分方程具有重要意义，它不仅可以帮助我们更好地理解和描述非线性偏微分方程的性质，而且可以提供更多有用的解。
此外，它也可以作为非线性偏微分方程所表达的物理过程或系统的一种分析方法，可以用来识别和探究问题的可能性和导致问题发生或发展的原因等等。
非线性椭圆偏微分方程的数值方法
非线性椭圆偏微分方程的数值方法非线性椭圆偏微分方程（Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
本文将介绍非线性椭圆偏微分方程的数值解法及其应用。
一、概述非线性椭圆偏微分方程是一类形式如$F(u, \nabla u, \nabla^2u) =0$ 的方程，其中$u$是未知函数，$F$为非线性函数，$\nabla$为梯度算子，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
解决非线性椭圆偏微分方程的解析方法很难获得闭式解，因此需要采用数值方法进行近似求解。
二、常见的数值方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法将求解区域离散化，利用差分近似替代偏微分方程中的各个项，进而转化为代数方程组求解。
该方法简单易行，适用于一维和二维情况，但对于高维情况求解效率较低。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法将求解区域分割成单元，利用试验函数展开未知函数，在每个单元上构造局部近似，并通过装配得到整体近似。
该方法适用于各种复杂几何形状和高维情况，但算法复杂度较高。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域分割成小体积元，通过对流通量进行积分得到通量差分格式，进而得到离散的代数方程组，并通过求解该方程组获得数值解。
该方法适用于守恒型方程和对流扩散型方程，且保持物理量守恒。
三、应用实例非线性椭圆偏微分方程的数值方法在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
以下举例介绍两个实际问题的数值求解方法。
1. 热传导方程（Heat Conduction Equation）热传导方程描述了材料内部的温度分布随时间的变化，其数学模型为$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = f$，其中$u$为温度分布，$k$为导热系数，$f$为外部热源。
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达近年来，随着科学技术的发展，人们越来越重视非线性偏微分方程在解决数学、物理和工程问题等方面的应用。
因此，有关非线性偏微分方程的精确解的研究也受到了广泛的关注。
一般来说，由于非线性偏微分方程本身的复杂性，很难求解出精确解。
幸运的是，研究人员发展了各种推导一类非线性偏微分方程精确解的方法，提出了有效的数学算法，大大简化了解非线性偏微分方程的过程。
首先，要求出一类非线性偏微分方程的精确解，需要建立起正确的方程模型。
可以通过多种方法获得正确的方程模型，其中最常见的就是参数估计法，它能够根据实际观测数据来估计适当的参数值。
一旦确定一类非线性偏微分方程的精确解，就可以采用替代求解方法，如拉格朗日法等，根据不同情况使用不同拉格朗日多项式把方程化为某种可以求解的形式，从而得到精确解。
此外，研究人员还提出了一种新的求解方法展开式求解方法，它能够通过把非线性微分方程表达为一系列无穷级数，来求解出精确解。
这种方法使用级数展开把原始方程表达为展开后的连续微分方程，再对连续微分方程进行复分，最后根据分析关系和条件得出精确解。
最后，可以采用迭代法来求解一类非线性偏微分方程的精确解。
迭代法的基本思想是：设定一个初始猜想值，然后不断迭代，每次迭代后，就可以得到越来越接近正确解的新猜想值，最终可以求得精确的解。
总之，本文从理论上讨论了求解一类非线性偏微分方程精确解的方法，介绍了参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法作为求解一类非线性偏微分方程精确解的主要方法。
这些方法是由研究人员为了进一步研究非线性偏微分方程而提出的，能够有效应对一类非线性偏微分方程的求解，为更复杂的问题的分析与解决提供了有效的数学方法支持。
综上所述，我们可以看出，求解一类非线性偏微分方程的精确解需要在正确的方程模型基础上，使用参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法等方法，以提高求解准确性和可靠性，为数学、物理和工程等问题的求解提供关键支持。
非线性偏微分方程近代分析方法
非线性偏微分方程近代分析方法近十年来，随着计算机科学和数学的发展，非线性偏微分方程的研究也取得了可喜的进步。
非线性偏微分方程是描述一类普遍存在于自然界中的复杂系统和现象的数学表达式，它们涉及各种科学领域，如物理学，力学，声学，电动力学，热力学，生物科学，气象学，海洋学，地理学，流体力学和计算生物学等。
其解决方法有多种，因而也被称为“多方法论”。
其中，近代分析方法是当前重要的一类方法。
近代分析方法是一种有效地求解非线性偏微分方程的方法, 传统的分析方法如外推法、Laplace变换、渐近方法等，依赖于特定的线性系统，只能求解线性系统的数值解。
而近代分析方法，如高斯消去法、有限差分、正则化技术、小阶次算法等，可以有效地求解复杂的非线性偏微分方程，使我们能够对它们进行数值分析。
高斯消去法是一种重要的近代分析方法，它主要用于求解非线性偏微分方程。
它是将微分方程化为一组线性方程，然后利用高斯消去法解决线性方程，最后得到非线性方程的解。
它是一种迭代分析方法，可以以极高的精度得到有限元分析模型的结果。
此外，在实际应用中，高斯消去法也可以被运用到非线性偏微分方程的多维空间的解的求解。
有限差分也是一种重要的近代分析方法，它是一种非常简单有效的数值分析方法，可以用于求解各种物理系统中出现的非线性偏微分方程。
它能够更有效地描述非线性系统的动态行为，可以精确地预测系统的行为。
同时，它还可以为非线性系统的计算提供有用的细节，从而更好地描述系统的动态行为。
正则化技术是另一种重要的近代分析方法，它主要用于解决非线性偏微分方程的正则化问题。
正则化技术可以有效地将复杂的非线性偏微分方程简化为表示形式，从而使得解的求解变得更加容易。
此外，它还可以被用来解决多维空间中复杂非线性系统的非线性问题。
小阶次算法是近代分析方法中的另一种新兴技术，它主要用于求解非线性偏微分方程。
小阶次算法以非常精确的步骤分解方程，并对计算精度进行极大的改进。
它可以运用到复杂的非线性系统中，可以更好地捕捉非线性系统的多变性，并有效解决多维空间中的非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程近代分析方法
非线性偏微分方程近代分析方法1、非线性偏微分方程的定义非线性偏微分方程是指含有非线性函数的微分方程，它是由一个或多个未知函数的一阶或多阶微分方程组成的。
它可以用来描述物理系统中的动态行为，如热传导、电磁学、流体动力学和结构力学等。
非线性偏微分方程的解决方法可以分为两类：分析方法和数值方法。
分析方法包括拉格朗日法、变分法、特征值分析法等，而数值方法包括有限差分法、有限元法、隐式格式法等。
：2、非线性偏微分方程的结构非线性偏微分方程的结构一般由两部分组成，即系数函数和右端函数。
系数函数包括一个或多个非线性函数，而右端函数则是一个或多个线性函数。
系数函数可以是任意复杂的函数，而右端函数则可以是任意简单的函数。
近代分析方法的基本原理是，通过对非线性偏微分方程的线性化处理，使其可以通过现有的数学工具来解决。
这种方法的基本思想是，将非线性偏微分方程转化为一系列线性偏微分方程，然后使用现有的数学工具来解决这些线性偏微分方程，从而解决原始非线性偏微分方程。
这种方法可以用来解决复杂的非线性偏微分方程，并且可以得到更精确的解。
：4、近代分析方法的应用近代分析方法已经被广泛应用于非线性偏微分方程的研究中，主要包括：一阶正则化法、多项式法、微分算子法、拉普拉斯变换法、变分法、积分变换法、小波变换法、线性稳定性理论等。
其中，一阶正则化法可以用来求解非线性偏微分方程的解，多项式法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，微分算子法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，拉普拉斯变换法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，变分法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，积分变换法可以用来求解非线性偏微分方程的解，小波变换法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，线性稳定性理论可以用来分析非线性偏微分方程的稳定性。
5、非线性偏微分方程的数值解法非线性偏微分方程的数值解法是指利用数值技术求解非线性偏微分方程的一种方法。
它主要包括有隐式格式的有限差分法、显式格式的有限差分法、有限元法、牛顿法等。
一类非线性偏微分方程组的直接解法
一类非线性偏微分方程组的直接解法，文章内容要写清楚。
局部最新获得台面（LNMP）定义为局部最小值问题，是指求解一类非线性偏微分方程组的最小值问题。
局部最新获得台面的一般方法是采用梯度下降（gradient descent）和拟牛顿（quasi-Newton）方法，前者被广泛使用，而后者效率更高，但是计算量更大。
近年来，出现了一种称为反射积分（reflection integral）的直接解法，该方法能有效求解局部最新获得台面，并且具有计算量少的优点。
反射积分法采用粒子跟踪技术模拟非线性偏微分方程组，算法运行步骤如下：（1）构造各类反射函数模型；（2）根据反射函数模型产生一系列粒子；（3）反复更新粒子的状态，此过程为“反射积分迭代”，直到满足一定停止准则；（4）使用最终形成的反射波来计算台面最小值。
反射积分法具有时间复杂度小、适用性广等优点。
首先，它只需要单个粒子运行，所以其计算量比现有方法小很多；其次，该算法对非线性模型很有效，可以求解多维、复杂的方程；此外，它将梯度法中的梯度信息转变为粒子的反射波，使计算更简化。
反射积分法的弱点是在反射积分迭代中，只能局部收敛，无法获得全局最小值，其研究的关键在于如何在局部收敛的情况下保证全局最优性。
总之，反射积分是一种高效、稳定的直接解法，可以有效地求解一类非线性偏微分方程组的最小值问题。
它在计算量上具有优势，被广泛应用于金融、环境等多领域。
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解非线性偏微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、化学、天文和工程等各个领域。
它们在建模许多实际问题中都起着重要作用。
非古典对称是指一个非线性偏微分方程的解可以分解为对称和可逆的两个部分，这就是非古典对称。
而相似解则指不同的非线性偏微分方程的解可以用相同的函数描述，这就是相似解。
在研究非古典对称及相似解时，首先要明确偏微分方程的类型，这是分析、求解和计算的基础。
一般来说，非线性偏微分方程可以分为常微分方程、混合偏微分方程和无限维偏微分方程三类，每一类方程各有不同的特征和特性，也会有特定的求解方法。
接下来，要深入地分析非古典对称的形式，解释偏微分方程的解可以分解为对称和可逆的原因。
对于某些恒定系数的非线性偏微分方程，通常可以找到一组对称的和可逆的解，而某些系数可能会随时间而变化的方程，只能找到一组可逆的解，即非古典对称。
之后，就要研究非线性偏微分方程的相似解。
通常，不同的方程可以用一个相似函数描述，这就是相似解，也可以说是方程的统一解。
对于某些系数非线性变化的方程，通常可以找到一组相似的解，如渐变解法是一种求解相似解的常见方法，它将多元非线性偏微分方程转换为更加简单的线性偏微分方程求解。
最后，可以引入其他求解方法，比如变分法、正则化方法、自适应网格方法等，准备解决非古典对称及相似解的求解问题。
它们在求解复杂的非线性偏微分方程时可以起到很好的作用，从而更加准确地表达实际问题的数学模型。
总之，几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解在解决实际问题中扮演着重要的角色，而研究非古典对称及相似解也就变得尤为重要。
未来，我们将继续深入研究非古典对称及相似解的数学原理，并总结出更加有效的解决方案，以追求更高的精确度。
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达
非线性偏微分方程是指未知函数及其偏导数之间存在非线性关系的偏
微分方程。
一类非线性偏微分方程的精确解的表达方法有很多，下面将介
绍一些常见的方法。
这些方法包括变换、相似方法、对称方法、Lax对以
及多项式解法等。
一、变换方法：
1. 美人鱼变换：美人鱼变换是一种变量变换方法，其应用于浅水波
的非线性Schrödinger方程，可将其转化为可求解的线性Schrödinger方程。
2.线性法调和推导法：对于一些非线性偏微分方程，可以通过线性法
调和推导法将它们转化为可求解的线性偏微分方程。
二、相似方法：
1.傅里叶变换法：对于满足边界条件的一类非线性偏微分方程，可以
利用傅里叶变换法求得相似解。
2.自相似解法：自相似解法适用于具有自相似性的非线性偏微分方程，可以通过变换将其转化为可求解的常微分方程。
三、对称方法：
对称方法是一种求解非线性偏微分方程的有效工具，常用的对称方法
包括对称约化、对称因子和相似对称方法。
四、Lax对：
五、多项式解法：
多项式解法是一种特殊的求解非线性偏微分方程的方法，通过假设待求解的未知函数为多项式形式，将其代入非线性偏微分方程进行求解。
以上是一些常见的非线性偏微分方程精确解的表达方法，不同的方法适用于不同类型的非线性偏微分方程，需要根据具体的问题选择合适的方法。
这些方法都是通过变换、求解辅助方程等手段，将原方程转化为可求解的形式，从而得到方程的精确解。
论文
试探函数法求解非线性偏微分方程的精确解姓名：史秀珍学号： 20094013001学校：内蒙古师范大学学院：数学科学学院专业：计算数学导师：斯仁道尔吉教授封面不对，要用学校学位论文资料中的封面中文摘要此处简要说明试探函数法的来历、存在的问题，从而引入你的研究目的，接下来介绍你的研究方法，所得到的主要结论。
摘要本文研究的主要内容：在已经提出的试探函数法的基础上进行推广和改进，进而求解了不同的非线性偏微分方程并得到了许多新的精确解。
这种方法的基本思想是首先引入一个变换，然后根据具体的方程选择适当的试探函数，将其代入原方程，比较未知量的各次幂的系数令其等于零，组成一个方程组。
求解该方程组，确定待定系数，即可得到偏微分方程的精确解。
本文运用这种方法主要做了以下工作：第一章简要阐述了非线性偏微分发展方程的研究内容及发展现状，并且回顾了孤立子理论的发展过程，最后简单的介绍了几种常用的求解非线性偏微分方程的方法。
第二章运用试探函数法求解了一系列常系数非线性偏微分方程，如结合Riccati方程求得组合KdV方程多个不同形式的精确解，通过对解的形式的猜测构造BBM方程试探函数得到它的有理解，并将其推广到(2+1)维方程等。
第三章在史良马等人给出的针对变系数非线性偏微分方程的试探函数的基础上，进行了推广，得到了变系数Burgers方程，变系数KdV方程，变系数KdV-Burgers方程，变系数组合KdV方程及变系数KP方程的多个更为一般的试探函数解。
关键词：试探函数，非线性发展方程，精确解要强调第二章、第三章所给出的试探函数的创新之处！待中文摘要没有问题后再撰写英文摘要吧！请把摘要在进行认真修改。
三月十日之前必须把论文的电子版交给段志敏老师，因此在此之前必须结束全部工作。
此外，学位论文的格式必须按照学校规定的格式进行调整。
Trial function method for Solving Exact Solutions of nonlinear partial differential equations（用Times New Roman字体）Abstract ABSTRACTThe main contents of this paper：In the proposed trial function method based on promotion and improvement, thereby solving the different nonlinear partial differential equations and obtain some new exact solutions. The basic idea of this method is the first to introduce a transform, then according to the specific equations with appropriate choice of the trial function, into the original equation,relatively unknown quantity for every power coefficients to zero, consisting of an equation. Solving the equation, undetermined coefficient, then get the exact solutions of partial differential equations. This paper uses this method basically did the following work:First chapter briefly describes the nonlinear partial differential equations of the research contents and development situation, and reviewed the development process of the soliton theory, finally simply describes several commonly used to solve nonlinear partial differential equation method. Chapter second using the trial function method for solving a series of nonlinear partial differential equation with cons tant coefficients, such as combination of Riccati equation combined KdV equation of a plurality of different form of exact solutions, the solution in the form of BBM equation forecast structure of trial function get it to understand, and apply it to ( 2+1 ) dimensional equation. The third chapter in Shimaliang and others given nonlinear variable coefficient partial differential equation for the foundation, of the promotion, has been variable coefficient Burgers equation, KdV equation with variable coefficients, variable coefficient KdV-Burgers equation, the variable coefficient combined KdV equation and KP equation for the more general heuristic function solution.Key word trial function nonlinear exact solution摘要字体和字号都不对！还要去掉底纹。
一类非线性偏微分方程组的直接解法
一类非线性偏微分方程组的直接解法非线性偏微分方程组是数学家和科学家面对复杂场合时常用到的工具，其解法如何才能有效地求得精确结果，是这一领域里的一个重要课题。
近年来，直接解法已经成为求解非线性偏微分方程组的一种重要方法。
本文将对直接解法的基本概念、正确性、计算步骤以及其主要优缺点进行介绍，以期更深入理解和使用这种解法。
首先，直接解法指在求解非线性偏微分方程组时，不使用传统的分离变量法，而是直接求解方程组进行求解。
在求解的过程中，使用的方法不同，包括几何证明、数值解以及代数解等，其中，最常用的是数值解法，它通过迭代的方式来求解原始方程组，可以获得近似解，从而更准确地获得解析解或近似解。
其次，与传统的分离变量法相比，直接解法具有准确性较高的特点。
由于它不需要使用分离变量法进行解法，因此可以更加准确地获得精确解。
因此，直接解法可以更好地解决复杂的非线性偏微分方程组，产生准确的结果。
再次，直接解法的计算步骤也比较简单，主要包括以下几步：首先，确定偏微分方程组的解析解，然后确定正确的精度；其次，根据精度来确定正确的迭代方法；接着，确定正确的迭代步骤；最后，使用迭代方法来求解非线性偏微分方程组。
最后，直接解法的主要优点和缺点也值得指出。
其优点在于可以求解复杂的非线性偏微分方程组，而且可以在较少的计算步骤内获得更准确具有可靠性的精度；其缺点在于当方程组更复杂时，需要耗费更多的计算时间和资源来获得正确的结果。
综上所述，直接解法是求解非线性偏微分方程组的一种重要方法，具有准确性高，步骤简单，可靠性好的特点。
本文对直接解法的基本概念、正确性、计算步骤以及其主要优缺点进行了介绍，为更解决复杂非线性偏微分方程组问题提供了参考。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
一类强非线性问题的MLP解法
一类强非线性问题的MLP解法
谢元喜
【期刊名称】《湖南人文科技学院学报》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】用MLP方法求解一类同时具有二次和三次项的强非线性系统的自由振动问题,得到其二级近似解.
【总页数】2页(P5-6)
【作者】谢元喜
【作者单位】娄底师范高等专科学校物理系,湖南,娄底,417000
【正文语种】中文
【中图分类】O322
【相关文献】
1.一类有阻尼的强非线性自由振动问题的一种解法 [J], 袁镒吾;袁雪辉
2.一类多自由度强非线性振动系统主共振的渐近解法 [J], 邵光军;徐兆
3.一类强非线性偏微分方程组初边值问题之逆算符解法新探 [J], 武宝亭;孙彦平
4.用MLP方法求一类强非线性系统的次谐和超谐共振解 [J], 谢元喜;唐驾时
5.一类强非线性振子极限环的摄动——迭代解法 [J], 徐兆;林洁贤
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非线性偏微分方程的函数展开法与精确解的开题报告
非线性偏微分方程的函数展开法与精确解的开题报
告
一、研究背景和主要内容
非线性偏微分方程（PDE）在自然科学和工程技术中具有广泛的应用。
精确求解非线性偏微分方程是研究这些应用问题的重要方法之一。
函数
展开法是一种用于求解非线性偏微分方程的有效方法。
本文主要研究函
数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用，探讨其求解过程、理论基
础及计算方法，并深入研究其与其他解法的差异、优缺点和应用范围。
二、研究方法和步骤
1. 阅读和研究相关文献，了解非线性偏微分方程及函数展开法的理
论基础和计算方法。
2. 探讨函数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用，分析其求解
过程和数学原理。
3. 比较函数展开法与其他求解非线性偏微分方程的方法的优劣和应
用范围。
4. 研究函数展开法在实际问题中的应用，对实际问题进行模拟仿真，并验证函数展开法求解的结果。
三、研究意义和预期结果
函数展开法作为求解非线性偏微分方程的一种新方法，具有一定的
理论意义和实际应用价值。
本文研究函数展开法在求解非线性偏微分方
程中的应用和解决实际问题的能力，能够为相关领域的研究人员提供一
定参考和借鉴。
预期结果为深入了解函数展开法原理和计算方法，以及
对其多种应用情况的研究，从而探索其更广泛的应用领域和解决实际问
题的能力。
利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解
利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解赵云梅【摘要】通过引入一个变换和选择准确的试探函数,可以将非线性偏微分方程组化为一组易于求解的代数方程组,然后用待定系数法确定相应的系数,从而得到其精确解.将谢元喜(湖南理工学院学报:自然科学版,2011,24(4):12-15.)提出的试探函数进行改进,利用两种不同的试探函数,并把它用于求解非线性数学物理中一个非常著名的非线性偏微分方程组——耦合KdV方程组,从而得到了耦合KdV方程组的新显式精确解,其中包括一般形式的指数函数解、sech2型钟状正则孤波解和csch2型奇异行波解,此方法也可用于求其他非线性偏微分方程组的精确解.%Introducing a new transformation and selecting accurate trial function, can convert nonlinear partial differential equations to a set of algebraic equations which can be easily solved, since its relate:d coefficients are easily determined by the undetermined coefficients method. In this paper, the trial function in Y. X. Xie(J. Hunan Institute of Science and Technology: Natural Sci. ,2011,24(4) : 12 - 15. ) was improved. As a result, some new explicit exact solutions of the well -known coupled KdV equations in nonlinear mathematical physics are obtained, which include the general form of exponential function solutions, sech2-type bell-profile regular solitary wave solution and csch2 -type singular travelling wave solutions. This method can be applied to other nonlinear partial differential equations.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【总页数】3页(P746-748)【关键词】试探函数;耦合KdV方程组;精确解【作者】赵云梅【作者单位】红河学院数学学院,云南蒙自661199【正文语种】中文【中图分类】O175.2众所周知，许多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程(组)的研究，而这些方程(组)的精确解可以较好地解释各种自然现象，从而求其精确解有重要的实际意义.近几十年来，对某些非线性偏微分方程精确解的求法，已获得了许多行之有效的方法，如：齐次平衡法［1-2］、Jacobi椭圆函数展开法［3-4］、指数函数展开法［5-6］、F-展开法［7-8］、(G'/G)-展开法［9-10］、试探函数法［11-14］，等等.但由于非线性偏微分方程的复杂性，使得求其精确解没有统一普遍适用的方法，因而继续寻找新的方法仍是一项十分重要而有意义的工作.本文将在文献［12］的基础上，改进试探函数，准确地选择相应的试探函数，获得了耦合KdV方程组的一般行波解，当参数取特殊值时，得到了相应的孤波解.1 方法简述考虑如下一类非线性偏微分方程为了求解上述方程，引入一个新的变换其中，υ(w)和w=w(ξ)为试探函数.将试探函数υ(w)和w=w(ξ)代入(2)式，求出微商后代入方程(1)，化为相应的代数方程组，利用待定系数法确定相关常数，最后求出方程的精确解.一般来说，只要试探函数υ(w)和w=w(ξ)的形式选得准确，就可将难于求解的非线性偏微分方程(1)化为一组易于求解的非线性代数方程组，从而使整个求解过程大大简化，为了求得耦合KdV方程组的精确解，可取试探函数下面应用这个方法来求解耦合KdV方程组.2 耦合KdV方程组的精确解耦合KdV方程组可以用来描述分层流体内部波之间的近共振相互作用，也可用来描述星际间波的近共振相互作用等.文献［15-16］分别用齐次平衡法和扩展的双曲函数法求解了下列形式的耦合KdV方程情形1 取试探函数其中，a、b、d、e为待定常数.由(2)、(6)式可得则由(6)和(7)式容易求得将(8)～(13)式代入(5)式，就得到一组关于w的多项式，令各wi(i=0，1，2，…)的系数为零，便得到一组关于待定常数a、b、c、d、e、k的代数方程组，利用Maple求解方程组得将(14)式代入(7)式可得其中，ξ=kx-αk3t.这是耦合KdV方程组的一般形式的行波解，由于式中的b为任意常数，故当b取不同的值时，便可得到诸多的特解.下面是它的两个重要而有实际意义的特解：取b=1，并利用等式由(15)式可求得耦合KdV方程组的钟状孤波解为其中，ξ=kx-αk3t;取b=-1，并利用等式由(15)式可求得耦合KdV方程组的奇异行波解为其中，ξ=kx-αk3t.情形2 取试探函数其中，a、b、d、e为待定常数.由(2)、(20)式容易得同理将(21)式代入(5)式，并结合(20)式，就得到一组关于w的多项式，令各wi(i=0，1，2，…)的系数为零，便得到一组关于待定常数a、b、c、d、e、k的代数方程组，利用Maple求解方程组得将(22)式代入(21)式可得其中，ξ=kx-4αk3t.这是耦合KdV方程组行波解的另一种形式，由于式中的b为任意常数，故当b取不同的值时，便可得到诸多的特解.下面是它的两个重要而有实际意义的特解：取b=1，并利用(16)式，可求得耦合KdV方程组的钟状孤波解为其中，ξ=kx-4αk3t;取b=-1，并利用(18)式，可求得耦合KdV方程组的奇异行波解为其中，ξ=kx-4αk3t.3 结语本文在文献［12］的基础上，对试探函数进行新的改进，即取试探函数，便可得到非线性方程有sech形式的解，并对试探函数采用两种不同的组合，得到耦合KdV方程组的用指数函数表示的精确解，当参数取特殊值时，得到了4个重要而有实际意义的特解，此方法也可用于求其他非线性偏微分方程组的精确解.参考文献［1］Fan E G，Zhang H Q.The homogeneous balance method for solving nonlinear soliton equation［J］.Acta Phys Sinica，1998，47(3)：353-362. ［2］Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations ［J］.Phys Lett，1995，A199：169-172.［3］Liu S K，Fu Z T，Liu S D，et al.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］.Phys Lett，2001，A289(1/2)：69-74.［4］Fan E G，Zhang J.Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations［J］.Phys Lett，2002，A305：384-392. ［5］He J H，Abdou M A.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using exp-function method［J］.Chaos Soliton Fract，2007，34(5)：1421-1429.［6］Sakthivel R，Chun C.New solitary wave solutions of some nonlinear evolution equations with distinct physical structures［J］.Rep Math Phys，2008，62：389-398.［7］傅海明，戴正德.Kadomtesv-Petviashvili方程的新解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(1)：77-79.［8］赵云梅，芮伟国.Equal Width波方程的各种椭圆函数周期解和孤子解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2008，31(2)：190-193.［9］Wang M L.The(G'/G)-expansion method and traveling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Phys Lett，2008，A372(4)：417-423.［10］刘倩，周钰谦，刘合春.广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的精确解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(3)：335-339.［11］史秀珍，斯仁道尔吉.试探函数法与组合KdV方程的显示精确行波解［J］.内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2011，40(6)：556-558.［12］谢元喜.用改进的试探函数法求解高维非线性演化方程［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2011，24(4)：12-15.［13］谢元喜.求非线性演化方程精确解的新方法［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2006，19(4)：40-46.［14］谢元喜.变换-试探函数法及其在非线性演化方程中的应用［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2011，24(1)：21-27.［15］Wang M L，Zhou Y B，Li Z B.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］.Phys Lett，1996，A216(17)：67-75.［16］石玉仁，张娟，杨红娟，等.耦合KdV方程的双峰孤立子及其稳定性［J］.物理学报，2011，60(2)：1-8.。
一类非线性偏微分方程_组_的精确解
dp )= 0 du c 设此方程有解: p = « ( u , c1 ) . 由 p = u , 若 5 ( u , c1 , c 2 ) 为 1P« ( u , c 1 ) 之原函数 , 则可得非线性偏微分方程 微分方程 : F( u , p , p ( 1) 之行波解 x - ct = 5 ( u ( x - ct ) , c 1 , c 2 ) , 这里 c1 , c 2 为积分常数.
A = ? N , 代入式( 6) 整理得方程( 3) 的精确解: B3 u u= ? - 2A csc B3 A ( x - ct ) 2 c - 1 ( 9)
若 a > 0, B m < 0, 当 | c | < 1 时: m = 2 有解 : 2 arth A A + B2 u = ? N , 代入式( 6) 整理得方程 ( 3) 之精确解 : A u= m = 3 有解 : 1 arch A 3A 2 1 sech [ 2 B2 2 A 2 ( x - ct ) ] ( 1- c ) ( 10)
2 [ 5]
( 17)
d
求其行波解. 令 u = u ( N ) , N= ax + b y - ct 代入方程( 17) 得 - acu + 6 a ( u ) + 6 a uu + a B u
2 2 d c 2 d ( 4)
+ E b u = 0
2
连续积分两次, 并取积分常数为零得: B a u + 3a u + ( E b - ac ) u = 0 2 ac - E b 2 此方程正是方程 ( 4) 中对应 m = 2 的情形 , 这里 A = , B2 = 4 2. B a B a
求一类偏微分方程解析新解的试探函数法
求一类偏微分方程解析新解的试探函数法余德民;谢元喜;丁卫平【期刊名称】《湖南第一师范学院学报》【年(卷),期】2011(011)004【摘要】It is not easy to solve the KdV equations, the Burgers equations and KdV-Burgers equations by the usual ways. While by making use of the trial function method, the KdV equations, the Burgers equations and KdV-Burgers equations can be reduced to a set of algebraic equations which can he easily solved, and their related co- efficients can be easily determined by the undetermined coefficients method. Then, the new analytical solutions to the KdV equations, the Burgers equations and KdV-Burgers equations can be successfully derived. This method may be generalized to construct the solutions of other nonlinear partial differential equations （PDES for short）.%利用速探函数法，应用到KdV方程和Burgers 方程和KdV—Burgers方程化为一个易于求解的代数方程，然后用待定系数法确定相应的常数，可简洁求得一类非线性偏微分方程的精确新解，此方法可望进一步推广用于求解其他非线性偏微分方程。
数学家研究发现非线性微分方程的解析方法
数学家研究发现非线性微分方程的解析方法非线性微分方程是数学研究的经典问题之一。
与线性微分方程不同，非线性微分方程没有任何形式的通解可供使用。
因此，理解和解决非线性微分方程是数学家们长期以来的研究方向。
近年来，数学家们发现了一种新的方法，可以解析非线性微分方程。
这种方法被称为“藤泽方法”，是以日本数学家藤泽茂男的名字命名的。
这种方法最初被用于分析和解决某些数学物理方程，如Schrodinger方程和KdV方程等。
但是，这种方法的广泛应用可以解决许多其他的非线性微分方程。
藤泽方法的本质是将非线性微分方程转化为简单的线性微分方程。
它使用了一种特殊的算符，称为“藤泽算符”。
通过使用藤泽算符，数学家可以将一个非线性微分方程分解成许多简单的线性微分方程。
这些线性微分方程与原方程有着相似的形式，但是更容易被解析。
藤泽方法的应用不仅仅限于解析非线性微分方程，还可以应用于其他数学领域。
例如，在微分几何学中，可以使用藤泽方法求解一些拓扑问题。
这些问题通常非常复杂，并且难以用传统的方法解决。
但是，使用藤泽方法可以将这些问题转化成简单的线性问题，从而更容易被解决。
藤泽方法的另一个好处是可以提供比传统方法更精确和稳定的结果。
传统的数值算法常常受到舍入误差的影响，这可能导致结果的不确定性或不准确性。
但是，藤泽方法在使用期间不受舍入误差的影响，因此可以提供更准确和可靠的结果。
然而，藤泽方法并不是所有非线性微分方程的最佳解决方案。
它对于某些特殊的问题确实非常有效，但是对于其他问题可能并不太适用。
此外，藤泽方法需要非常高的数学技能，因此不是所有人都能够掌握它。
总之，非线性微分方程是数学研究的长期问题。
藤泽方法是解决这些问题的一种新方法，其基本思想是将非线性微分方程分解成简单的线性方程，从而更容易分析和解决。
虽然藤泽方法存在一定的限制，但它为解决一些复杂的问题提供了一个新的途径。
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达非线性偏微分方程是一类具有非线性特征的偏微分方程，在许多科学和工程领域中起着重要的作用。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解决方法更为困难，并且往往只能通过数值方法或近似解方法来求解。
然而，仍然有一些非线性偏微分方程存在着一些特殊的解，称为精确解。
精确解是指满足非线性偏微分方程的全部解析表达式。
这些精确解通常具有简洁的形式和重要的物理意义，因此对于理论研究和实际应用都具有重要的价值。
以下将介绍一些常见的非线性偏微分方程及其精确解。
1. 汉密尔顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）汉密尔顿-雅可比方程在经典力学和量子力学中广泛应用，它的一般形式为：∂S/∂t+H(∇S,x)=0其中，S是哈密顿函数的特征函数，H是哈密顿量。
通常情况下，这个方程只能通过近似解或数值方法来求解。
但是，在一些特殊情况下，汉密尔顿-雅可比方程存在一些精确解。
例如，当哈密顿量H满足一定条件时，可以通过分离变量法或特殊变量变换得到精确解。
2. 伪线性方程（Pseudo-Linear Equation）伪线性方程是一类介于线性和非线性之间的方程，它具有其中一种线性性质但是包含了非线性项。
伪线性方程的精确解可以通过多种方法来求解，如分离变量法、变换法、叠加法等。
3. 密立根方程（Burgers' equation）密立根方程是一种具有非线性性质的守恒型方程，广泛应用于流体动力学和量子场论等领域。
它的一般形式为：∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂^2u/∂x^2其中，u是速度场，ν是粘性系数。
密立根方程的精确解可以通过特殊变量变换、相似变量法、分析解法等多种方法来求解。
4. 黏弹性流体方程（Viscoelastic fluid equation）黏弹性流体方程是描述黏弹性流体动力学行为的方程，具有非线性特点。
黏弹性流体方程的精确解多数情况下较为困难，通常需要通过数值方法来求解。
试验函数法在非线性偏微分方程中的应用
试验函数法在非线性偏微分方程中
的应用
试验函数法是一种在解决非线性偏微分方程问题中常用的技术。
它可以有效地将复杂的问题转化为一组简单的线性方程组，从而使其解决更加容易。
非线性偏微分方程通常是非线性的，这意味着它的解不能直接用线性代数的技术求解。
因此，如果要解决这样的方程，就必须依靠一些更复杂的技术，比如试验函数法。
试验函数法的原理是，将非线性偏微分方程转换为一组线性方程，然后用线性代数的技术求解这组线性方程，从而得到非线性偏微分方程的解。
首先，我们需要把非线性偏微分方程转化为一组线性方程。
首先，我们需要定义一组试验函数，它们可以用来拟合非线性偏微分方程的解，然后将试验函数代入非线性偏微分方程，得到一组线性方程。
接下来，我们可以用一般的线性代数技巧来求解这组线性方程，从而得到非线性偏微分方程的解。
由于试验函数法将一个复杂的问题转化为一组简单的线性方程，所以这样的方法可以大大简化求解非线性偏微分方程的过程。
应用试验函数法解决非线性偏微分方程的过程大致如下：首先定义一组试验函数，然后将试验函数代入非线性偏微分方程，得到一组线性方程，最后用线性代数的方法求解这组线性方程，从而得到非线性偏微分方程的解。
试验函数法的优点是它可以有效地将一个复杂的问题转化为一组简单的线性方程，从而使其更易于求解。
它的缺点是它可能会造成计算量过大，因为它需要定义许多试验函数，并计算它们之间的系数。
因此，试验函数法是一种有效的非线性偏微分方程解法，它可以有效地将复杂的问题转化为一组简单的线性方程，从而使其更易于求解。
但是，它也有一定的缺点，比如可能会造成计算量过大。
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( 31)
( 18)
a = 12 B,
b=-
12 A , 5 ( 32)
2
c=- A k+ B k ,
2
( 19) ( 20) ( 21)
u=
3A 425 B
2
1 + tanh
A ( kx - Xt ) 10 B k
, ( 33)
不再赘述 . 以上一些结果与文献 [ 11] 的结果完全一样 , 说 明本文的方法是可行的 .
关键词: 非线性偏微分方程 , 试探函数, 待定系数法, 解析解 PACC: 0340K, 0290 y= e
( kx- Xt )
.
( 3)
11 引
言
至于试探函数 v ( y ) 则应根据具体的方程灵活选择, 下面应用这个思想来求解几个非线性偏微分方程.
寻求非线性偏微分方程的解析解和数值解一直 是广大物理学家和数学家致力于研究的重要课题 , [1 ) 10] 目前虽然已经发展了许多比较成熟的方法 ,用 于求解非线性偏微分方程 , 但不能说解非线性偏微 分方程的任务已经完成, 依然还有很多工作要做. 本文通过引入一个变换, 只要选准试探函数, 就 可简洁地求得非线性偏微分方程的解析解.
[ 3]
[ 4]
2830
[ 9] [ 10] [ 11]
物
理
学
报
53 卷
Fu Z T et al 2003 Acta Phys . Sin . 52 2949 ( in Chinese) [ 付遵涛 等 2003 物理学报 52 2949] Cheng Y et al 2003 Chi n. Phys . 12 1 Liu S K and Liu S D 2000 N onlinear Equati ons in Physics ( Beijing: Peking University Press) p281 ) 294 ( in Chinese) [ 刘式适、 刘式 [ 12]
2 ak - X- 44 B k = 0. 联立 ( 11) , ( 12) 式解得 X = 4B k ,
3
2
( 12) ( 13)
a = 24 B k. 48 B k e 2( kx - Xt ) 1+ e
2 2( kx- Xt ) 2
利用双曲正切函数的定义, 可将( 27) 式化为 u=- A k 1+ tanh 1 ( kx - Xt ) , 2 ( 28)
3 4 2 4 6 8 2 2 4
( 2)
只要试探函数 v ( y ) 和 y ( x , t ) 选得准确 , 就可 将非线性偏微分方程 ( 1) 化为代数方程, 从而求解相 当简洁. 考虑到非线性偏微分方程一般为波动方程 , 其解含有相位因子( kx- X t ) , 因此 , 把试探函数 y ( x , t ) 选为如下形式 :
[ 1]
Zhang J F 1998 Acta Phys . Sin . 47 1416 ( in Chinese) [ 张解放 1998 物理学报 47 1416]
[ 5] [ 6] [ 7]
Zhang J F 2002 Chi n. Phys . 11 425 Tang J S et al 2003 Acta Phys . Sin. 52 522 ( in Chinese) [ 唐驾时 等 物理学报 52 522] Li D S and Zhang H Q 2003 Acta Phys . Sin. 52 1569 ( in Chinese) [ 李德生、 张鸿庆 2003 物理学报 52 1569] Li S K et al 2003 Acta Phys . Sin. 52 1842 ( in Chinese) [ 刘式适 等 2003 物理学报 52 1842]
[ 2]
Yan Z Y and Zhang H Q 1999 Acta Phys . Sin . 48 1962 ( in Chinese) [ 闫振亚、 张鸿庆 1999 物理学报 48 1962] Li H B et al 2001 Acta Phys . Sin . 50 837 ( in Chinese) [ 李华兵 等 2001 物理学报 50 837] [ 8] Liu S K et al 2001 Acta Phys . Sin. 50 2068 ( in Chinese) [ 刘式 适等 2001 物理学报 50 2068]
谢元喜
*
唐驾时
410082)
( 湖南大学工程力学系 , 长沙
( 2003 年 11 月 13 日收到 ; 2003 年 12 月 19 日收到修改稿 )
通过引入一个变换和选准试探函数 , 进行求偏导数运 算 , 将非线性偏微分方程化为 代数方程 , 然后用 待定系数 法确定相应的常数 , 最后得到其解析解 . 不难看出 , 这种方 法特别简洁 .
[ 11]
选取试探函数 v ( y ) 为 v= 其中 a 为待定常数. 由( 2) , ( 3) , ( 5) 式得 u= 9v 2 aky = 2 2, 9x ( 1+ y )
2 4 2
ay , 2 1+ y
2
( 5)
( 6) ( 7) ( 8)
9 u 4ak X( y - y ) = , 2 3 9t ( 1+ y ) 9 u = 4ak ( y - y ) , 2 3 9x ( 1+ y ) 9 u 8ak ( 2y - 22y + 22y - 2y ) 3 = 2 5 . 9x ( 1+ y )
*
( 9)
将( 6) ) ( 9) 式代入 ( 4) 式得代数方程 4B k - X y +
3 2
2 ak - X- 44 B k
2 3
3
y
3
4
+
X- 2 ak + 44 B k
2
y +
6
X- 4 B k
y = 0. ( 10)
8
湖南省自然科学基金 ( 批准号 : 01JJY2007) 资助的课题 . E_mail : xie yuan xi 88 @ 1631 com
将( 13) 式代入 ( 6) 式求得 2 2 48 B k y u= 2 2 = ( 1+ y )
.
( 14)
由( 26) 式还可求得波速为 X c= k =- A k. 3131 KdV_Burgers 方程 ( 29)
利用双曲正割函数的定义 , 可将( 14) 式化为 2 2 u = 12 B k sech ( kx - Xt ) , 由( 13) 式还可求得波速为 c= 3121 Burgers 方程 Burgers 方程的形式为 2 9u 9u 9 u + u - A 2 = 0, 9t 9x 9x 选取试探函数 v ( y ) 为 v = a ln( 1+ y ) . 由( 2) , ( 3) , ( 18) 式得 9v aky u= = , 9x 1+ y 9u ak X y =2, 9t ( 1+ y) 9 u = ak y , 2 9x ( 1+ y )
Abstract By introducing, a new transformation and selecting appropriate trial funct ions, nonlinear part ial differential equations can be converted to algebraic equat ions, and their related coefficients can be easily determined by making use of the method of undetermined coefficients. Finally, the analytical solutions to a class of nonlinear partial differential equations are successfully derived. One can easily see that this method used herein is particularly simple. Keywords: nonlinear partial differential equations, trial function, method of undetermined coefficient, analyt ical solution PACC: 0340K, 0290
Xie Yuan_Xi Tang Jia_Shi
( Department of Engineering Mechanics , Hunan University , Changsha , 410082, China ) ( Received 13 November 2003; revised manuscript received 19 December 2003)
*
Project support ed by t he Natural Science Foundat ion of Hunan Province, China( Grant N o. 01JJY 2007) .
31 应用Байду номын сангаас例
3111KdV 方程 考虑 KdV 方程 9u 9u 9 u + u + B 3 = 0, 9t 9x 9x
3
( 4)
21 基本思想
本文基于 Hopf_Cole 变换 和文献[ 12] 所提出 的/ 试探函数法0 的思想, 研究如下一类非线性偏微 分方程的解析解 : 2 3 4 9u 9u 9 u 9 u 9 u + u + A 2 + B 3 + C 4 + , = 0, 9t 9x 9x 9x 9x ( 1) 为了求解上述方程, 引入变换 9v u= , v = v( y ) , y = y ( x , t) , 9x 其中 v ( y ) 和 y ( x , t ) 为试探函数 .