2.4 麦克斯韦速度分布律

问题的提出：计算速度分量（速率）为某一定值，介于某一给 定范围内的分子数，即v或vx（vy，vz）的某一 给定范围内的分子 数。 1、相对于vp的速度分量分布的约化形式
具体算vx在0~ vx范围内的分子数 速度分量vx在vx ~ vx+d vx范围内的分子数
速度分量的相对速率
vx 令x v x vp dv x dN v
内的分子数占总
dN (v ) m 3 2 mv2 2 kT 2 ( ) e v sin d d dv N 2 k T
对θ、φ积分，得分子速率在 的比率为
v ~ v dv内的分子数占总分子数
dN (v) m 3 2 mv2 2 kT 2 4 ( ) e v dv 麦克斯韦速率分布律 N 2k T
1
（2.34）
概率分布曲线，对称于纵轴。
§2.4.3 从麦克斯韦速度分布导出速率
在讨论速率分布时，速度矢量的大小被限制在一定区间v~v+dv内， 速度矢量方向则可任意。满足这个条件的速度矢量，其端点都落 在半径为v，厚度为dv的球壳内。其体积：
球壳的体积 ： dV dvx dv y dvz 4v dv
v 2 dv
dN N
4

4
e
v vp
2
v v p
v d v p
2

dN N dN

4N
e
x2
x 2 dx x 2 dx

e
x2
N
4N
dx xe 2 xdx 1 x2 2 x2 x2 x e dx e dx d xe 2 d xe
N 0 ~ v
x
N N x2 e dx 2 erf ( 2 ) 49.8% N 0
2
( 查表 104：erf（2） 0.9953)
2、麦克斯韦速率分布律的约化形式
习题16 证明：
v x vp
v 2kT x , dv v p dx, v p vp m
3 mv 2 2 kT v 2 dv
dN m 2e 4 ( ) N 2kT
2
dN 4 x 2 e x dx N
麦克斯韦速率分布律的约化形式
2、相对于vp的 速率分布 习题14、16、18、7问题。
习题16 证明： x v vp
dv v p dx
3 2 mv 2 2 kT
dN m 4 e N 2kT
dN ( v x , v y , v z ) N
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
f ( v x , v y , vz )
dN( v x , v y , v z ) Ndvx dvy dvz
（2.31）
dN (v x ) 表示分子处于 N
v x v x dvx
2 0
N 2 2

（2.36）
习题15 证明：
vx 令x v x vp dvx 1
dx dvx

x
dx v p dx
vx vx 1 2
N 0 ~ v
x
m dNv x N（ ） exp （ ）dvx 2kT 2 kT 0 0
1 2 x
mv 2 x
x
dx dv x
2 kT （ ） vp m
1 2
1
1

dx v p dx
1 2
m （ ） exp （ ）dv x N 2kT 2 kT 1 exp x 2）dx （
x
mv 2

dN (vx ) 1 x2 e dx 麦克斯韦速度分量分布律的约化形式 N
2
v x v x dv x 在三维速度空间中， y v y dv y 内这一条件，表示所指的是这 v v v dv z z z
样一些分子，它们的速度矢量的端点都在一定体积元：速度空间， 体积元—微分元 dV dvx dvy dvz 数出这微分元中代表点的数目 dN( v x v y v z )
2
v
vz
v v v v
2 2 x 2 y
3
2 z
vy o
dv dN f ( v x，v y，v z )dv x dv y dv z vx N 2 2 m （v x v 2 v z） m y dv x dv y dv z exp 2 kT 2kT
3 2
mv i2 dN ( v i ) m 2 f ( v i )dv i exp 2kT dv i N 2kT
1
i x , y , z
麦克斯韦速率分布律
mv 2 dN m 2 2 dv 4v exp 2kT N 2kT
vz
dvx
dvz
来自百度文库
v o
dvy vy
（3）代表点在速度空间中的分布：将某一瞬间所 有分子的对应速度都标在速度空间中，构成代表 点在速度空间中的一种分布图形。
速度分布的极坐标表示
dP(v ) f (vx , v y , vz )dvx dvy dvz f (v, , )v sin dvdd

N N erf ( ) 2 2
N v x ~
N N N 0~v x 1 erf ( x ) 2 2
（2.37 ）
例题：
(1) 计算速度的分量在0~vp这一范围内分子数 1 1 x v x v x v p 1 vp vp
N 0 ~ v
分子速率分布函数
dN (v) m f (v ) 4 ( ) 2e Ndv 2k T
3
物理意义： 分子速率在
mv 2
2 kT
v
2
v
附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。
总结：速度分布函数与图形特点 速率分布函数与图形特点
麦克斯韦速度分布律
2 m（v x v 2 v z2） m y dv x dv y dv z f ( v x，v y，v z )dv x dv y dv z exp 2kT 2kT
dN ( v i ) f ( v i )dvi N
mvi2 dN ( v i ) m 2 f ( v i )dvi exp 2kT dvi N 2kT
1
（2.32）
（i x，y，z）
dN f ( v x，v y，v z )dvx dv y dvz N 3 2 2 2 m （v x v 2 v z） m y dvx dv y dvz （2.33） exp 2kT 2kT
作业：
84页：5、7、11、13、14、17、20、22、24、25。
在定积分上下限0~+∞、（-∞~+∞ ），积分表中可计算。积分是 有限的，难以计算，引入误差函数。 速度分量： 习题15 证明：
vx vx 1 2 2
x
N 0 ~ v
N
x
mv m dN v N（ ） exp （ ）dv x 2kT 2 kT 0 0
§2.4 麦克斯韦速度分布律
§2.4.1速度空间
1、速度空间 （1）速度空间中的代表点：将分子的速度矢量沿 x、y、z方向投影vx、vy、vz，作直角坐标图，且将 所有分子速度矢量的起始点都移到公共点上。在 平移时，矢量的大小、方向不变，平移后以矢量 的箭头端点来表示这一矢量。将矢量符号抹去， 这点称为代表点。 （2）速度空间：以速度分量vx、vy、vz为坐标轴， 以从原点向代表点所引的矢量来表示分子速度方 vx 向、大小的坐标系。 *不是分子的空间位置，是人们想象的空间坐标
m 分子质量 T 气体温度 k 玻耳兹曼常数 1 1 2 2 2 2 m(vx v y vz ) mv 分子的平动能 2 2


f (vx )dvx 1
2 mv x dN ( v x ) m 2 f ( v x )dvx exp 2kT dvx N 2kT
用速度分量表达： m f ( vk ) e 2kT
m( vx2 v y2 ) 2 kT
dvx dv y
用 率 达 速 表 ： m f ( vk ) 2ve 2kT
mv 2 2 kT
dv
m 2 v 2 v e 2kT 0
2
mv 2 m 4v 2 dv exp 2 kT 2kT
3 2
v x , v y , v z v, , 2 dvx dv y dvz v sindddv
分子速度在 v ~ 分子数的比率为
v dv, ~ d , ~ d
p
N N dN v erf ( 1 ) 0.843 0.422 N 2 2 0
x
vp
(2) 试求在标准状态下氮分子速度X分量小于800m/s的分子数占 全部分子数的百分比。 解：
vx 2 RT 2 8.31 273 800 vp 402.55m / s，x 2 3 28 10 v p 402.55
x
（ exp x ）dx 0
2
x
误差函数：
N 0~v x
2
（ exp x ）dx erf ( x )
2 0
x
N erf ( x ) 2
（2.35）
N 0 ~ N 2 2 N 2 2
N erf ( ) 2 （ exp x ）dx
3
f max
f (v)
o
vp
v
已知理想气体的分子仅作二维运动；求（1）二维理想气体的 速度在vk→vk+dvk区间的统计概率；（2）二维理想气体分子 的平均速率；（3）二维理想气体分子的方均速率。 解:(1) 将Maxwell速率分布对v积分，便得到二维理想气体分子 的速率在vk→vk+dvk区间的统计概率。

N f ( v x）dvx f（v y）dv y f（v z）dvz
f ( v x , v y , v z )dvx dv y dvz
概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互 统计独立）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积。 §2.4.2 麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution）

mv 2 2 kT
dv
3 2
2kT m v 2 4 m 2kT
m v 2 v 3 e 2kT 0
2 mv 2 2 kT
kT
2m
dv
1 2kT 2kT m v 2 2 m m 2kT
m N 2 N（ ） exp x ）v p dx （ exp x 2）dx （ 2kT 0 0
2 误差函数：
N 0~v x
0 N erf ( x ) 2
exp x 2 dx erf ( x ) （ ）
x
f ( vx )

N 0~
o
vx
2
2
§2.4.4 相对于（麦克斯韦）速度分量的分布与速率分布 误差函数
附录2-1中的定积分公式都是从0积到无穷大，有时需要计算 气体分子速度分量（或速率v）在某给定范围内的分子数或概率。 这时可把麦克斯韦速度分布（2.25）式或速率分布（2.13）式分别 作变量变换，使之变换为相对于最概然速率的速度分量分布或速 率分布的形式。
dN ( v x ) f ( v x )dv x 的概率： N
dN ( v y ) N
f ( v y )dv y
dN ( v z ) f ( v z )dv z N
率 f（v ）dV
v x , v y , v z 是相互独立的，按照比 dN ( v x , v y , v z )