理论力学 动力学普遍定理
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动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
动力学普遍定理
t C n C
由质心运动定理
maCx = ∑ Fx , maCy = ∑ Fy
得：
3mg − sin ϕ cos ϕ = FOx 4 − 3mg (1 − 3sin 2 ϕ ) = FOy − mg 4
FOy aCy FOx
O C mg
y x
解得：
aCx
3mg FOx = − sin 2ϕ 8 mg FOy = (1 + 9sin 2 ϕ ) 4
ωB ωA
Fk
P2
vA , s
m2 g
ωD
P1
m1 g
m3g ,vE,aE
vA = ω Ar = ωB r
v A = 3vD
J P2 3 = m1 r 2 2 JB
3 vE = ω D r 4 s = 3h
1 = m1 r 2 2
3 ⎞ ⎛3 vA = ωD ⎜ r + r ⎟ 4 ⎠ ⎝2
J P1
g a = OC ⋅ α = cos ϕ 4
t C n = OC ⋅ ω 2 = aC
y x O
g sin ϕ 2
aCy
ϕ
C
将其向直角坐标轴上投影得：
3g aCx = − a sin ϕ − aC cos ϕ = − sin ϕ cos ϕ 4
t C
an
C
aCx
ω α
t aC
n
3g aCy = − a cos ϕ + a sin ϕ = − (1 − 3sin 2 ϕ ) 4
2、基本定理 1) 质点动力学(二维)
⎧ma x = ∑ Fx ⎨ = ∑ ma F y ⎩ y
2、基本定理 2) ***刚体动力学 刚体平动
由质心运动定理
maCx = ∑ Fx , maCy = ∑ Fy
得：
3mg − sin ϕ cos ϕ = FOx 4 − 3mg (1 − 3sin 2 ϕ ) = FOy − mg 4
FOy aCy FOx
O C mg
y x
解得：
aCx
3mg FOx = − sin 2ϕ 8 mg FOy = (1 + 9sin 2 ϕ ) 4
ωB ωA
Fk
P2
vA , s
m2 g
ωD
P1
m1 g
m3g ,vE,aE
vA = ω Ar = ωB r
v A = 3vD
J P2 3 = m1 r 2 2 JB
3 vE = ω D r 4 s = 3h
1 = m1 r 2 2
3 ⎞ ⎛3 vA = ωD ⎜ r + r ⎟ 4 ⎠ ⎝2
J P1
g a = OC ⋅ α = cos ϕ 4
t C n = OC ⋅ ω 2 = aC
y x O
g sin ϕ 2
aCy
ϕ
C
将其向直角坐标轴上投影得：
3g aCx = − a sin ϕ − aC cos ϕ = − sin ϕ cos ϕ 4
t C
an
C
aCx
ω α
t aC
n
3g aCy = − a cos ϕ + a sin ϕ = − (1 − 3sin 2 ϕ ) 4
2、基本定理 1) 质点动力学(二维)
⎧ma x = ∑ Fx ⎨ = ∑ ma F y ⎩ y
2、基本定理 2) ***刚体动力学 刚体平动
22第6章第二十二讲 动力学普遍定理-动量定理
第六章动力学普遍定理质点系整体运动状态的物理量（质点系的动量、动量矩和动能）力系特征量（主矢、主矩）和功动量定理动量矩定理动能定理质点是很理想的模型，更一般的模型是质点系，由质点到质点系是动力学走向实用的关键环节1. 动量定理2. 变质量质点动力学3. 动量矩定理4. 动能定理太空拔河，谁胜谁负会不会上下跳动?蹲在磅秤上的人跳起时磅秤指示数发生什么变化扇工作时，会发生什么现象抽去隔板后将会发生什么现象1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1. 动量定理1.1 动量定理与动量守恒1.2 质心运动定理1.3 应用举例1.4 结论与讨论1.1 动量定理与动量守恒子弹入墙坦克入墙引入质量和速度的乘积——动量（1）质点系的动量vv m →小知识：惯性的度量——质量（惯性质量，欧拉1736《力学》）概念晚于动量（16~17世纪，笛卡儿、牛顿）质量经典三层含义：物质的量、惯性质量、引力质量近代：电磁质量、质速方程、质能方程动量守恒更具有普适性质点的动量vK m =质点的动量是矢量，单位为kg·m/s 。
（更多的书上采用符号p ）表示质点运动强弱和方向，是质点机械运动的一种度量。
1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量（质点系动量的主矢）质点系中各质点动量的矢量和。
∑∑====ni ii ni i m 11v K K 质点系的动量是质点系整体运动的一种度量。
在直角坐标系的投影形式为∑∑∑======ni izi z ni iy i y ni ix i x v m ,K v m ,K v m K 111可各类比于力系主矢1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1根据质点系质心定义ymm m m ii ii i C ∑∑∑==r r r ii C m m v v ∑=Ci i m m v v K ==∑1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量1.1 动量定理与动量守恒（1）质点系的动量质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。
理论力学之动力学普遍定理
分方程得:
O
l
A
T sin=0.366
2clos=0.931
A´
BAB
P
N
P
T
P g
aCy
N
P
(T N )l cos 1 P (2l)2 12 g
联立解得: T = 0.846P N = 0.654P
25
阅读材料和作业
• 1.阅读材料 – (1)P164---P170
O
l
A
2l
A´
B´
B
P
21
解:取杆AB为研究对象进行运动分析.
O
l T
A
OB = 1.732l A´B = 0.732l
当绳索OA运动到铅垂位置时,
N
2l
杆AB作瞬时平动.
B´
vA = vB = v
A´
B
P
对杆AB进行受力分析.
约束力T和N不作功, P是有势力,系统机械能守恒.
0.866 Pl 0.366 Pl 1 P v2 v gl
(3)
联立(1)(2)(3)式解得:
O
m1 ( R
m1g(R r) r)2 m2 (R2
O2 )
aA
(R
r)O
m1(R
m1g(R r)2 r)2 m2 (R2
O2 )
D A
aA
28
O
13-31解.分别取木板和圆柱O为研究对 象画受力图.
aO
O
F Ff FO m1a
=1500.24(1- sin30o)
+600.12(1-sin30o)
动力学普遍定理1 PPT课件
t
mv2 x
mv1x
Sx
2
Xdt
t
1
對x、y軸同樣有。
④質點的動量守恆
若 F 0 ，則 mv 常向量，質點作慣性運動
若 XFx 0 ，則 mvx 常量，質點沿 x 軸的運動是慣性運動
2．質點系的動量定理 ①微分形式：
內力 外力
對對整質個點質系點內系任：一質點ddt (Mmii，vi d)dt (mFiivi i)FiFe ii
解：選兩物體組成的系統為研究對象。
受力分析， XFxi(ee) 0, 水準方向 K x 常量。
運動分析，設大三角塊速度 v， 小三角塊相對大三角塊速度為 vr ，
則小三角塊 va v vr
由水準方向動量守恆及初始靜止；則
M (v)mv ax 0 M (v)m(vrx v)0
vrx M m Srx M m vm Sm
在自然界中，大到天體，小到分子、原子等基本微粒間 的相互作用，都遵守動量守恆定理，它是自然界中最重要最 普遍的客觀規律之一。
例如：槍、炮的“後坐”，火箭、噴氣飛機的反推，螺 旋槳的反推等。
1
[*例2] 品質為M的大三角形柱體, 放於光滑水平面上, 斜面上另 放一品質為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角 形柱體的位移。
Ry Q( v2 y v1y ) v1s( v2 sin 300 0 ) ... 1800N
水柱對葉片的壓力與 Rx 、 Ry 大小相等、方向相反。
1
[例4]小車重G1=2kN，車上的箱中裝砂，箱、砂共重G2=1kN； 車與箱以3.5km/h的速度在光滑直線道路上前進。現有一重
G3=0.5k N的重物鉛直落入箱中。①求此後小車的速度；②若 設重物落入箱中後箱在小車上滑動0.2s才與車面相對靜止，求
理论力学教学材料-8动力学普遍定理3
2Q 9 P 12g
l
2
2
0
M
（） 2
l
将（）式对t 求导数，得
6gM (2Q 9P)l 2
3gM
2Q 9P
20
*3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，不计摩擦，机构在图示位置从静止释放， 求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。
M1
2
（三）合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用合力为 R Fi ,则合力 R
的功
M2
M2
W R dr (F1 F2 Fn )dr
M1
M1
M2
M2
M2
F1dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
(dr 0)
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则 W m m s
R
6．约束反力的功
约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 即：理性约束的约束反力做功为零。
6
（1）光滑支承面
N dr W N dr 0
（2）固定铰支座
mi vC vri
式中：
mi
v2 C
MvC2
质心相对于质心的速度
mivC vri vC mivri vC MvrC 0
T
1 2
MvC2
1 2
mi
vri
2
即：质点系的动能等于随同质心平动的动能与相对于质心运
动的动能之和。——柯尼希定理
10
理论力学 第8章 动力学普遍定理
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi
M
ri
或 MrC mi ri
理论力学动力学普遍定理与普遍方程
描述了物体运动的基本 规律和原理。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。
理论力学动力学普遍定理
1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz
及对z1 轴的转动惯量Jz1 。
z
O
解：
l
Jz 0
x2mdx1ml2 l3
x
x
dx
l
Jz1
l
2 l
2
x2 mdx1ml2 l 12
z1
x
C x dx
l
l
2
2
理论力学
中南大学土木工程学院
4
均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
drvCdt0
r r rr d W F S d r F S v C d t 0
wR O
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
P
FS C FN
理论力学
中南大学土木工程学院
13
5、质d 点W 系 内F r r力d 的r r rA 功 F rrd r r rB F rdrA rF rdrB F rd(rrArB) FdrBA
理论力学
中南大学土木工程学院
21
[例]已知均质圆盘质量为m，半径为R，摩擦因数为 f ，斜面倾角为j 。求
纯滚动时盘心的加速度。
解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下
产生位移 s 时速度达到vC。
T1 0
T2
3 4
m
v
2 C
力的功： W 12mgssinj
由动能定理得：
w
s
vC
C
FS
mg
j
FN
34mvC 2 0mgssinj
理论力学
1
§10-1 质点系的质心 内力与外力
一、质点系的质心
理论力学：动力学普遍定理的应用 (2)
13
理论力学
动力学普遍定理的应用
三个阶段杆的角速度和角加速度随 的变化规律
/ rad • s-1 / rad • s-2
L 1.0m
分离时杆质心C到O点的距离为：0.204 m
2020/12/9
/ rad
14
理论力学
动力学普遍定理的应用
例：长为L质量为m的均质杆AB悬挂在天花板上，如图所示，当
LrA J A J A m( 2 R2 e2 )
2020/12/9 aA R02 FI maA
e(g R02 ) 2 e2 R2
5
理论力学
动力学普遍定理的应用
方法四：应用动能定理 T2 T1 W12 (mg)
T1 C
C
O
mg
T2
1 2
mvC2
1 2
JC2
T2 ( ,)
vC2 (R esin )2 (e cos )2
1
理论力学
动力学普遍定理的应用
例：图示偏心圆盘在水平面上纯滚动，已知偏心圆盘对质心
的回转半径为 ，图示瞬时偏心圆盘的角速度为0 ，求该
瞬时圆盘的角加速度。
解决问题的基本步骤
•受力分析与运动分析
R
aO C
•判断有几个未知量
O
e
mg
A
F
•有几种求解方法 •用什么方法求最简单
•用最简单的方法求解
FN
未知量：自由度1个,未知力2个
A
aA
O
B
B aB
A: 摩擦力向左 B：摩擦力向右 C: 摩擦力大小为零
2020/12/9
18
理论力学
动力学普遍定理的应用
思考题：均质正方形板被铅垂吊起，绳与水平线的夹角均为
理论力学动力学普遍定理与普遍方程
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论
的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此
推导出来的其它一些定理)。
1
2
它们以简明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量 — — 一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作 用量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体 的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解 答动力学问题非常方便简捷 。
由微分形式： dP Fiedt dIie
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
P2 P1 Iie
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
1
11
③ 投影形式：
dKx
dt
Xi e
dKy
dt
Yi e
dKz
积分：
t2
mv2 mv1 F dt S
即：在某一时间间隔内，动t1量的增量等于力在该时间内的冲量。
1
9
③投影形式： d ( mv ) X
dt x
t2
mv2x mv1x Ix Xdt
对x、y轴同样有。
t1
④质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 XFx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
系，则质心坐标：
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
1
21①Βιβλιοθήκη 点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也是 变量；
第12章 动力学普遍定理(动能定理)
动能定理的积分形式 （有限形式）
动能定理的微分形式
二、质点系的动能定理
将质点系受力按主动力和约束力分，当为理想约束时， WN 0 ，对上 面二式求和，有
微分形式： dT WF 积分形式：
T2 T1 WF
主动力、位移、 速度、加速度
问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？
分析：
本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置）的加速度。 能否在此位置应用微分形式的动能定理？
事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（）的 加速度，再求初瞬时加速度（将 = 45°代入）。 书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。
17
解：(1) 设系统从初始 = 45°到任意位置 。 画出所有主动力和相关运动量，如图。 初始动能：T0 = 0 任意位置动能：（H为杆瞬心，D为滚子瞬心）
OC
1 8πM 30Pl v A 2l g 3 P
vA O
A
16
例12-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。
均质细杆AB长l = 1.0m，重Q = 30N，上端 靠在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆 柱中心相连，圆柱重P = 20N，半径R = 0.4m，沿水平面纯滚动。（1）当 = 45°， 若系统由静止开始运动，求此时A点的加速 度；（2）在该位置，若A点以速度vA = 1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。
T TP TB TA
aC A
O s
B
C
Q v a s
vC P
1P 2 11Q 2 2 Q v r 2g 22 g 1Q 2 11Q 2 2 vC r 2g 22 g P 2Q 2 vC 2g 所有主动力做功： ΣWF (Q sin P)s
动能定理的微分形式
二、质点系的动能定理
将质点系受力按主动力和约束力分，当为理想约束时， WN 0 ，对上 面二式求和，有
微分形式： dT WF 积分形式：
T2 T1 WF
主动力、位移、 速度、加速度
问题：动能定理可求什么量？求几个？用何种方程？
分析：
本题求加速度，但与前面题目不同是，求初瞬时（特定位置）的加速度。 能否在此位置应用微分形式的动能定理？
事实上，应用两种形式的动能定理均可以，但都要先求任意位置（）的 加速度，再求初瞬时加速度（将 = 45°代入）。 书上使用微分形式动能定理，这里应用积分式求解。
17
解：(1) 设系统从初始 = 45°到任意位置 。 画出所有主动力和相关运动量，如图。 初始动能：T0 = 0 任意位置动能：（H为杆瞬心，D为滚子瞬心）
OC
1 8πM 30Pl v A 2l g 3 P
vA O
A
16
例12-3 典型例题，亦用到较多运动分析，较难，详讲。
均质细杆AB长l = 1.0m，重Q = 30N，上端 靠在光滑铅直面上，下端以铰链A和均质圆 柱中心相连，圆柱重P = 20N，半径R = 0.4m，沿水平面纯滚动。（1）当 = 45°， 若系统由静止开始运动，求此时A点的加速 度；（2）在该位置，若A点以速度vA = 1.0m/s向左运动，求该瞬时A点的加速度。
T TP TB TA
aC A
O s
B
C
Q v a s
vC P
1P 2 11Q 2 2 Q v r 2g 22 g 1Q 2 11Q 2 2 vC r 2g 22 g P 2Q 2 vC 2g 所有主动力做功： ΣWF (Q sin P)s
理论力学 第9章 动力学普遍定理的综合应用
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义 坐标的函数。
11
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
2 (Rk 2RF M )
3mR2
vB
F B
Fk C vC
M
mg aC
D
FDS FDN
[例9.10] 如图曲柄滑块机构在铅垂面内，均质曲柄OA长度为r，质量为m，
在未知变化的力偶矩M作用下，以匀角速度转动；均质连杆AB长度为2r
，质量为m。已知滑块的工作阻力为F，不计滑块B的质量，忽略所有阻碍
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。
T1 0
T2
1 2
mv 2
1 2
mv 2
1 2
1 2
mr 2 2
运动学关系：v r
T2
5 4
mv 2
由动能定理：5mv2 0mgS(2sin f cos ) 对ｔ求导，得
4
11
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
2 (Rk 2RF M )
3mR2
vB
F B
Fk C vC
M
mg aC
D
FDS FDN
[例9.10] 如图曲柄滑块机构在铅垂面内，均质曲柄OA长度为r，质量为m，
在未知变化的力偶矩M作用下，以匀角速度转动；均质连杆AB长度为2r
，质量为m。已知滑块的工作阻力为F，不计滑块B的质量，忽略所有阻碍
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。
T1 0
T2
1 2
mv 2
1 2
mv 2
1 2
1 2
mr 2 2
运动学关系：v r
T2
5 4
mv 2
由动能定理：5mv2 0mgS(2sin f cos ) 对ｔ求导，得
4
动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。 (2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
根据质心运动定理
n C
n N D G m aC
64 N D m a G [1 ]m g 3π(9π 16)
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA ，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2 。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
O
aO
n aCy aCO 2 e
2 ge2
2 C
n a CO C mg
轮O受力如图
N x
N mg maCy mg(1
2e 2
2 C
)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
A 4r
由动能定理的积分形式 T2 T1
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。 (2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
根据质心运动定理
n C
n N D G m aC
64 N D m a G [1 ]m g 3π(9π 16)
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA ，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2 。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
O
aO
n aCy aCO 2 e
2 ge2
2 C
n a CO C mg
轮O受力如图
N x
N mg maCy mg(1
2e 2
2 C
)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
A 4r
由动能定理的积分形式 T2 T1
理论力学教学材料-8动力学普遍定理2
1 2
(J x J y J z )
8
即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴
的转动惯量之和的一半。 对于平面薄板：zi=0，∴
J x mi yi
J y m i xi
2
2
J z m i ri m i ( x i y i ) J x J y J O
右手螺旋法则。 大小：hO=2△OAM。单位： kg· 2/s=N· s ｍ m· ②质点对轴 z 的动量矩：对固定轴z
h z m z ( m v ) m O ( m v ' ) mv ' d 2 OA ' M '
2
代数量，由右手螺旋法则确定正负。 同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的
一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则
由定义：
J x mi ( yi zi )
2 2
J y m i ( zi xi )
2 2
J z m i ( xi yi )
2 2
J O m i ri m i ( x i y i z i )
2 2 2 2
2 2 2
xi ' xi , yi ' yi d J z'
m i[ xi ( yi d ) ]
2
2
m i ( xi yi ) ( m i )d
2
2
2
m i M , m i y i My
C
0 J z ' J z Md
当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点 对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点
第十六章 动力学普遍定理
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16.3动量矩定理
3、转动惯量 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体对轴z的转动惯 量等于刚体内所有各质点的质量与其对该轴的转动半径r的平方的乘 积之总和，写成
I z mi ri2
或
I z r 2 dm
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16.3动量矩定理
转动惯量永远是正值，它的大小决定于刚体的质量、质量的分布 和转轴的位置。同一刚体对于不同轴的转动惯量一般并不相同。 工程上常把刚体的转动惯量表示为整个刚体的质量m与某一特征 长度的平方的乘积，即
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16.2动量定理
（16-8）表明：质点系的动量在任一固定轴上的投影对时间的导 数，等于作用在质点系上所有外力在同一轴上的投影的代数和。 动量定理可用来求解速度及外力(包括不做功外力)的问题。 现讨论两种特殊情形。 (1)若R三0，则由式(16—7)知K=常矢量。即：如作用在质点系上的所有 外力的矢量和恒等于零，则质点系的动量保持不变。 （2）若Rx三0，则由式(16—8)知Kx=常矢量。即：如作用在质点系上的 所有外力在X轴上的投影的代数和恒等于零，则质点系的动量在该轴 上的投影保持不变。
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16.2动量定理
定理表明，质点系的内力不能改变整个质点系的动量，只能引 起质点系中各质点的动量的变化；要改变整个质点系的动量只能依靠 外力。例如人在车箱内用力推箱壁并不能加快车的行驶速度。 在解题时，常应用动量定理的投影形式。
dK x Rx dt
dK y dt Ry
dK z Rz dt
考虑到
Lz M z (mv)
（16-20）可写为
dLz M z ( Fi ( e ) ) dt
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动力学普遍定理
不可伸长的细绳在C 轮上缠
绕，并跨过轮B 与重块A 相连接。
轮B ，C 为匀质。
设轮C 在斜面上只滚不滑，已知
122m m =238m m =2
32r r =°
=30θ试求：
1．重块A 的加速度；2. 轮C 上所有约束力。
轮系动力分析
例综-1
分析过程
1、几个刚体和质点构成
3
2、各个刚体做什么运
动？
A 质点(直线)
B 定轴转动
C 平面运动
第一步求运动量，选择用动能定理
第二步求约束力，可用刚体平面运动动力学方程
v B
ωv C
ωC
v 解（设P
m 1g
m 3g
2
22122
12121C
P B B J J v m T ωω++=C
s g m gs m W θsin 3112−=v
B
ωv C
ωC
v P
m 1g
m 3g
其中
C
C B v r v r ==32,ωω1
22m m =2
38m m =2
32r r =°
=30θC
C s s v v 22=⇒=gs
m T v m 102
134−=−代入整理得
上式对时间取导
gv
va 38−=()↑−=g a 8
3
F
1
T
α
C
a
m3gＦC
Ｆ
Ｎ
滚子A 与滑轮B ，质量均为m 1，匀质，半径均为r ，其间绳子与斜面
平行。
鼓轮D ，质量m 2，对质心的惯性半径ρ，轮半径为，鼓半
径为。
重物E ，质量m 3。
系统原为静止，弹簧为原长。
今给A 以初速v 0向上，求A 上升s 时重物E 的加速度和AB 间绳的拉力。
（提示：起始状态，A 有初速度，其他物体无速度，弹簧也无变形）
r 23
r 43
例综-2
m 3g ,v E ,a E
s
v A ,P 1
D
ωB
A
ωg
m 1g
m 2解：
2
001221⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛==r v J T T P =2T 2
21B B J ω+2221A P J ω2321E
v m +P 2
k
F 2121D P J ω+=12W gh m 3gh m 2+s g m θsin 1−2
2
1
ks −重物下降h
m 3g ,v E ,a E
s
v A ,P 1
D
ωB
A
ωg
m 1g
m 2P 2
k
F r
r v B A A ωω==r
v D E 43
ω=⎟
⎠⎞⎜⎝⎛+=r r v D A 432
3
ωD
A v v 3=h
s 3=212
32
r m J P =212
1r m J B
=2
22
2431
⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛+=r m m J P ρ
12
12W T T =−()21320232222129sin 32121989kh gh m m m T v m m m r m E −−+=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+++θρ对时间t 求导并注意
()
9161183sin 3322
2
1132m m r m ks
g m m m a E
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−+=ρθE
v h =&h
s 3=A
T a F ,A
αg
m 1N
F s
F k
F 轮Ａ
∑=A
A M J αr F r m s A =α2
12
1E
A A a r a 3==αE
T a m m F 112
9
ks gsin ++=θ∑=x
Ax F ma k
s T A F g m F F ma −−−=θsin 1ks
F k =
3方程4未知
W =m g
O
A
B
C
利用基点法（1个点）补充一方程。
个点）补充
注意：恰当的选择投影轴，尽量不让新的未知量出现。