七年级下数学拓展课——数格点算面积.ppt
初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件
描点-猜想-验 证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形 内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所 画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间 的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈 只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些 学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量， 结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。 面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。 探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互 相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直， 假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求 出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四 边形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三 角形网格中格点多边形面积计算，并完成 探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内 部的格点数为a，它的边界上的格点数 为b.
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
七年级下数学拓展课——数格点算面积.ppt
当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理 解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化 简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是 一个更简单的问题。
——希尔伯特
再见！
数格点算面积） • 4、会数格点多边形的内部及边上的格点数。
下图中每个数学味正方形的面积都是1，那么图中这只 “狗”所占的面积是多少？
举一反三：
1、(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面 积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面 积．
A
PF
A
PF
B Q
C
E D
的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B
B
(a)
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已 知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积 是______平方分米．
数学拓展课
————数格点，算面积
一．概念认识
A E
B
C
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、如图，网格纸上画着纵、横两组 平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点（如图中 的点A、B、C等）。显然，每一个小方格 就是一个面积单位。
如果一个多边形的顶点都在格点上， 那么这个多边形叫做格点多边形(如图中 的多边形ABCDE)
格点多边形的面积计算教学课件
THANKS
感谢观看
解题思路
通过观察格点图形，确定多边形 边界上的格点数目，应用公式进
行计算。
解答过程
首先数出多边形边界上的格点数目 ，然后代入公式进行计算，得出面 积值。
注意事项
要确保数出的格点数目准确无误， 避免计算错误。
例题二：不规则格点多边形面积计算
解题思路
将不规则多边形划分为若干个规则多边形，分别计算规则多边形的 面积，再求和。
常见错误与误区提示
总结学生在计算过程中可能出现的错误和误区，如忽略倾斜45度的边、计算边界上格点 数目时出错等。针对这些问题，给出正确的解题方法和建议。
06
课堂小结与拓展延伸
本节课知识点回顾总结
格点多边形的定义
回顾格点多边形的定义，强调顶点均位于格点上的特点。
面积计算公式的推导
回顾格点多边形面积计算公式的推导过程，强调公式中各项的意义 和计算方法。
格点多边形性质总结
性质1
格点多边形的面积等于其内部格 点数加上边界格点数的一半再减
去1。
性质2
格点多边形的面积也可以通过将 多边形划分为若干个基本图形（ 如矩形、梯形等），然后分别计 算各基本图形的面积并求和得到
。
性质3
如果一个格点多边转换法
将格点多边形转换成其他已知面积的多边形，如矩形、三角 形等，再利用公式求解。
转化法：将复杂图形转化为简单图形求解
平移法
通过平移格点多边形使其变为规则多边形，便于计算面积。
旋转法
将格点多边形绕某点旋转一定角度，使其变为易于计算面积的图形。
03
典型例题分析与解答过程展示
例题一：规则格点多边形面积计算
02
格点多边形面积计算方法论述
格点与面积
格点与面积第四讲格点与面积【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3三角形②的面积：2X24-2=2三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12三角形④的面积:12-3-2-2=5【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,图4分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
第3讲 格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图，图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出他们的面积各是多少（如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少（单位：厘米）
例3 观察下面四个多边形，计算下列多边形的面积，并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数
例4 下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积？
例5 下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点，∵和∴构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积？
思考与练习
1.求下面各图形的面积
2.求下图中的各图形的面积
3.求下图中各图形的面积
4.下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个格点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米？
5.下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积
6.下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）
7.在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1）
8.如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD 的中点，P是EF的中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？。
初中数学精品课件：《格点多边形的面积计算》
格点多边形的面积计算
如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格 子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.
1.怎么计算格点多边形的面积？ 2.有没有更简便的方法呢？ 3.格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界 上的格点数有没有关系呢？
记S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的 格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.
3
4
3
5
3
6
3
7
模型：S=0.5b+2
④ 面积S
4 4.5 5 5.5
内部格点数a
0每 1增 2加
1 3
边界格点数b b b b b
面积S
S=0.5b-1 增 S=0.5b 加 S=0.5b+1 1
S=0.5b+2
归纳：S=a+0.5b-1（其中S表示格点多边形的面 积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多 边形边界上的格点数.）
0
8
模型：S=0.5b-1
④
面积S
0.5 增
加
10 1.5 . 35
活动二 当a=1时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
温馨提醒：你可以先暂停一下， 等你在你的方格纸上做出了符合 要求的格点多边形，再开始观看.
①
②
③
④
图形序号 ① ② ③ ④
内部格点数a 边界格点数b
1
4
1
5
1
6
1
8
模型：S=0.5b
面积S 2 2.5 3 4
活动三 当a=2时，请你作出三至四个边界格点数不 同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
《格点多边形的面积计算》课件 2025届部编版初中数学中考一轮复习
a的取值 a=0 a=1 a=2 a=3 a=4 a=5
S与b的数量关系
S 1b1 2
S 1b 2
S 1b1 2
S 1b2 2
S 1b3 2
S 1b4 2
猜想S与a，b的数量关系
S 1ba1 2
归纳推理 从特殊到一般
验证猜想
格点多边形的面积S，与其内部格点数a，以及边界格点数b的数量关系：
猜想：S 1 b a 1 2
E
E
E
B
B
B
C
D
C
D
C
D
补形
分割
S 15 2 1 3 1 10 S 6 11 2 10 22
你能通过这个格点多边形，来验证你的猜想吗？
验证猜想 b 8，a 7 S 1 b a 1 10
2
追溯历史
奥地利数学家皮克 （G.Pick，1859~1942）
序号
① ② ③ ④ ……
边界格点数b
……
面积S
……
作图区域（画多边形）
合作实验
内部格点数a=___
序号
① ② ③ ④ ……
边界格点数b
……
面积S
……
在直角坐标系中画出当a=___时， S关于b的图象： 你能求出此时S关于b的函数表达式吗？
作图区域（画多边形）
归纳猜想
格点多边形的面积S，与其内部格点数a，边界格点数b的关系
S 1b 2
待定系数法
画多边形 填表 画函数图象 判断函数类型 求表达式
合作实验
以小组为单位，探究假设a为某一固定值时，S与b满足的关系式，为方便研究， 我们不妨取a=0，2，3，4，5． 小组项目合作提示：
第十讲格点与面积
第十讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断以下图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：此题所给的图形都是规那么图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上局部图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法〞或“扩展法〞分别转化成平置的长方形来求。
第四讲-格点图形面积的计算ppt课件
、
。
2、下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分
别
、
。
3、如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是 米。
平方厘
4、如图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是
。
5、下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是
例题1：图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米， 那么三个阴影图形的面积分别是 多少平方厘米？
练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米， 那么阴影图形的面积分别是多少平方厘 米？
例题2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米。 那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？
练习2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘 米．那么这四方形的面积都是3平方厘米． 阴影部分的面积是多少平方厘 米？
例题6：（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？
巩固练习
1、如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分是
例题3：如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积． 练习3：如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？
例题4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘 米？
练习4：如图， 每个最小等边三角形的面积都是 1 平方厘米， 阴影部分的面积是多少平方 厘米？
第14讲 格点与面积
第14讲格点与面积同学们，既然我们要讨论的是格点与面积，那么我们首先得知道什么是格点.在纸平面上，先画一系列的水平直线和一系列的竖(垂)直直线，使得任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位，这样就在纸平面上建立了一个方格网.方格网中的每个交点就叫一个格点.如图14－1就是一个方格网.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点，那么此多边形叫格点多边形(如图14－1中的多边形ABCDE)·格点网中的一个封闭图形所含的格点数与图形的面积之间有许多我们还不知道的奇妙的联系.计算格点网中的图形所含的格点数与面积是一个十分有趣的课题.而且有时还能够通过这种计算去解决许多的实际问题.但是要一般地研究这一问题需要较多的知识①RE000060_0104_0且非常困难.本节我们只研究格点多边形面积的计算及格点多边形中所含格点数与其面积的关系.问题14.1 图14－2是一个方格网.网中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个.试利用方格网计算它们的面积.分析要计算图中四个图形的面积，只需要分别数出它们各自占多少个小格就可以了.解（1）因为图14－2中长方形含有2×4= 8个小方格，故它的面积为8.（2）由（1）的求解易知，水平放置的整点长方形所占的方格全是整格，故容易数得.现图中的三角形所占的不全是整格，给计算带来了困难.这时我们易产生一个想法：能否把此三角形转化成一个或几个平置的长方形再去计算呢？通过观察试验，可用两种方法实现这一转化：方法 1 由中间把三角形分成两层.对上一层把△1割下来正好补到△2的位置上；对下层把△3割下来补到△4的位置上，这样就得到了一个正方形和一个平置的长方形.它们共占4格，故原三角形面积为4.方法2 按图中虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，易见长方形的面积正好是三角形的2倍.因此三角形的面积为8÷2=4.以上我们利用“割、补”和“扩展”两种方法把三角形的面积转化成了平置的长方形去求.同样我们可用这两种方法去求图中的平行四边形和梯形的面积.（3）求梯形面积解法1 把原梯形按虚线扩展一个完全相同的梯形即得一个长方形.故面积=[（2+4）×2]÷2=6.解法 2 把△6割下来，补到△5的位置上即得一长方形，其面积为（2+1）×2=6.（4）求平行四边形面积同样可用这两种方法（略）.问题14.2 计算图14－3中三角形的面积.分析通过求解问题14.1我们已经会求方格网中至少有一边水平放置或竖直放置的简单图形的面积了.然而图14－3中的三角形在方格网中是斜放着的.同样，自然会想到：能否通过割补或扩展将这一新问题转化成有一边平置（或竖置）的图形呢？通过试画亦易得到两种解法。
《数格点算面积》课件
实例三：三角形格点算面积
总结词
通过三角形格点计算面积的方法
详细描述
三角形格点算面积是通过数三角形的底和高以及格点数来计算面积的一种方法。首先，确定三角形格点的底和高 ，然后数格点的数量，最后将格点数乘以底和高的乘积的一半即可得到面积。
04
数格点算面积的应用场景
土地测量与规划
土地面积测量
通过数格点的方法，可以快速准 确地测量土地面积，为土地规划
计和成本预算提供依据。
室内装修设计
在室内装修设计中，通过数格点 算面积的方法可以精确计算出各 个区域的面积，为材料选择和预
算制定提供参考。
房地产销售
在房地产销售过程中，利用数格 点算面积的方法可以精确计算出 房屋的建筑面积和使用面积，为
购房者提供准确信息。
05
数格点算面积的注意事项与技巧
格点选取的原则与技巧
专业的地理信息系统软件 ，具有强大的数据处理和 分析功能。
QGIS
开源的地理信息系统软件 ，适用于各种操作系统。
GRASS GIS
同样是一款开源的地理信 息系统软件，具有广泛的 用途和强大的功能。
06
总结与展望
数格点算面积的重要性和意义
数学教育意义
通过数格点算面积的练习，有助于培养学生的逻辑思维和空间想 象力，提高他们的数学素养。
数格点算面积的原理
原理
基于格点的可数性和均匀性，通过将平面图形划分为若干个小正方形，然后数出这些小正方形中的格点数，最 后根据格点数和正方形面积的对应关系计算出整个图形的面积。
应用
数格点算面积的方法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如计算几何形状的面积、求解微积分问题等 。
03
数格点算面积的实例分析
格点和面积
格点和面积（在书本讲解的基础上，该课件特意给学生复习的，要求每道题弄明白思路是怎么回事，总结下解题技巧，熟悉有什么题型，难易结合，意在锻炼学生的自学能力和拓展思维）邓同学所编制这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积（分割法）；二是将某些图形转化成长方形的面积来求（移位法）。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
形象理解2种思路：先把求平置的长方形的面积视为基本的.对求至少有一边平置的简单图形（如三角形、平行四边形、梯形等）的面积，我们是通过“割、补”或“扩展”的手段转化成长方形去求解的.另外，对求斜置的简单图形的面积又是用同样的手段转化成长方形或有一边平置的图形去求解的.注意：至于格点面积公式是在找规律基础上推理出来的，学生不必要记忆。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
格点求面积公式(二)
格点求面积公式(二)格点求面积公式什么是格点求面积公式？格点求面积公式是一种用于计算任意形状的面积的数学公式。
它将一个二维平面上的点集按照一定的规则连接起来，形成一系列的格点，然后利用这些格点来计算面积。
格点求面积公式的基本思想格点求面积公式的基本思想是将一个图形划分为多个小区域，并计算每个小区域的面积，最后将所有小区域的面积相加得到整个图形的面积。
格点求面积公式的相关公式•矩形面积公式：面积 = 长× 宽例如，某个矩形的长为5，宽为3，那么它的面积等于5 × 3 = 15平方单位。
•正方形面积公式：面积 = 边长× 边长例如，某个正方形的边长为4，那么它的面积等于 4 × 4 = 16平方单位。
•圆形面积公式：面积= π × 半径× 半径例如，某个圆的半径为3，那么它的面积等于× 3 × 3 = 平方单位。
•三角形面积公式：面积 = 底边长× 高÷ 2例如，某个三角形的底边长为6，高为4，那么它的面积等于6 × 4 ÷ 2 = 12平方单位。
•梯形面积公式：面积 = （上底长 + 下底长）× 高÷ 2例如，某个梯形的上底长为3，下底长为5，高为2，那么它的面积等于（3 + 5）× 2 ÷ 2 = 8平方单位。
格点求面积公式的应用举例1.示例一：矩形假设有一个矩形，长为10，宽为6。
我们可以使用矩形面积公式计算它的面积：面积= 10 × 6 = 60平方单位因此，该矩形的面积为60平方单位。
2.示例二：圆形假设有一个圆，半径为5。
我们可以使用圆形面积公式计算它的面积：面积= × 5 × 5 = 平方单位因此，该圆的面积为平方单位。
3.示例三：三角形假设有一个三角形，底边长为8，高为6。
我们可以使用三角形面积公式计算它的面积：面积= 8 × 6 ÷ 2 = 24平方单位因此，该三角形的面积为24平方单位。
格点与面积
④
利用拼补:
5×5 = 25 4× (2×3÷2 )= 12 25 －12 = 13
利用分割:
4× (3×2÷2 )= 12 1× 1 = 1 12+1= 13
例5.图中有三个正方形,分别计算正方形①、
正方形② 和正方形③的面积;并观察三个正方 形的面积之间有什么关系
思考:三个正方形面积
由水平线和垂直线 相交而成的方格纸中, 水平线和垂直线的交 点称面积为相格等点的每个小正方形 称为面积单位
每个小正方形的边长称为
一个单位长度
这是一个 面积单位
这都是单位 长度
注意: 单位长度必
须是由水平线 或垂直线连接 而成。
长
宽 图一
高 图二底
高 图三 底
上底 高
下底图四
格点与面积
求长方形面积？
长方形面积 长宽
三角形面积 底高 2
平行四边形面积 底高
梯形面积 (上底 下底)高 2
例2.计算图中三角形的面积.
长方形的面积为: 45 20
②
①
④
③
三角形①的面积为: 24 2 4
三角形②的面积为: 23 2 3
三角形③的面积为: 25 2 5
所以三角形④的面积为:
20 - (4+3+5 )= 20 - 12 = 8
③ ①
正方形①的面积: 2×2＝ 4 正方形②的面积: 2×2＝ 4
正方形③的面积:
②
4× (2×2÷2) ＝ 8
思考:三个正方形面积关系
正方形①的面积+正方形②的面积 ＝正方形③的面积:
分割是把要求的图形分割成几个基 本图形,分别来求面积,然后相加.
【格点与面积】教学课件
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌以点概面——格点与面积图（1）图（2）图（1）中画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离是相等的。
方格纸上两组直线的交点，我们称它为格点。
有时将格点图中的纵横两组平行线隐去，只留下了格点，如图（2）。
如果一个多边形它所有的顶点都在格点上，这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。
如图（3）、图（4）。
小学数学培训教材图（3）图（4）例1：观察下列几个格点多边形，图中横行和竖列相邻两点间的距离是相等的，都是1厘米，你能求出下列各图的面积吗？图形编号 ① ② ③ ④ 一周格点数46除了这些学过的方法，还有其他方法吗？这些图形的面积与什么有关呢？只要数数方格或通过面积计算公式就可以求出来。
优优侧面图朋朋侧面图从图形上看，图形所包含的点越多，面积就越大，但具体的关系就不知道了。
小奥侧面图 金博士我们可以设计一张表格，研究图形所围格点与面积有怎样的关系。
面积（平方厘米） 1 2你的发现和猜想（格点数与面积之间的关系）在钉板上围出如图所示的几个中间没有点的格点图，验证：面积=一周格点数÷2－1。
小学数学培训教材通过观察和比较格点数与面积之间的关系，可以总结出两者之间的规律：中间没有点的格点面积=一周格点数÷2－1。
例2：朋朋和优优好像找到了数点求格点多边形面积的新方法，但是他们用“面积=一周格点数÷2－1”计算下列四个图形面积时出了问题。
第三个图形的面积是4平方厘米，而用格点求面积的方法求出是3；第四个图形面积是5，怎么用格点求面积的方法求出是4？你知道其中的原因吗？图形编号 ① ② ③ ④ 一周格点数 4 6 中间格点数噢，我发现前面研究的格点图中间没有格点，而现在这几个图形中间都有1个格点。
怎么回事呢？现在所围的格点图形与前面的图形有区别吗？朋朋正面图优优侧面图金博士继续用列表格的方法寻找数点求面积的方法。
面积（平方厘米）你的发现和猜想（格点数与面积之间的关系）格点数与面积之间的关系：（中间1个点）图形面积=一周格点数÷2用数点求面积的方法求下列图形的面积。
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的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B
B
(a)
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已 知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积 是______平方分米．
数学拓展课
————数格点，算面积
一．概念认识
A E
B
C
D
1、如图，网格纸上画着纵、横两组 平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点（如图中 的点A、B、C等）。显然，每一个小方格 就是一个面积单位。
如果一个多边形的顶点都在格点上， 那么这个多边形叫做格点多边形(如图中 的多边形ABCDE)
①
6 2 12
②
4 26
③ 3 21
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动四 探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系
A B
C ①
AD D
A
C
D
DB
②B
C③
图形序号 S N L
①
53 6
②
43 4
③ 4.5 3 5
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
一．概念认识
2、凸多边形与凹多边形：如右图a,把多边形的任何 一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线 的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形。而图b中的 多边形不具备这种性质,称为凹多边形.
a
b
例1、判断下列图形哪些是格点多边形？
√⑴
⑵
⑶
⑷
例2、你会求图中格点多边形的面积吗？
A B
C
E 分割法：把不规则的大图形分 割转化为若干规则的小图形；
数格点算面积） • 4、会数格点多边形的内部及边上的格点数。
下图中每个数学味正方形的面积都是1，那么图中这只 “狗”所占的面积是多少？
举一反三：
1、(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面 积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求PF
B Q
C
E D
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L 之间的关系 活动六 归纳总结：格点多边形中S与L之间的关系
S N L 1 2
通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的面积计 算起来很方便，只要数一下图形边线上的格点的数目及图形 内部的格点的数目，就可用公式算出。
B Q
C
E D
举一反三： 2、三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，
所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的
点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边
形的面积同样有它的计算公式：
如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上
这个公式是皮克(奥地利数学家乔治·尼古拉斯·亚历山 大·皮克George Alexander Pick（1859～1943))在1899年给 出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，
皮克定理说明了其面积S和内部格点数目N、多边形边界上的格 点数目L的关系：
D
添补法：把不规则图形周围添
补上规则的小图形转化一个规
则的大图形，使总面积便于计
算。
（1）求下列多边形的面积
（2）不妨设S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格 点数，L--它的边上的格点数，那么S、N、L三者之间有没 有关系呢？
图形序号 S N L
① 104
② 2.5 1 5
③
42 6
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动一 探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系
A
D
B
C
①
AA
D
B
C
B
C
③
②
图形序号 S N L
①
10 4
②
206
③
30
8
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动二 探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系
当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理 解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化 简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是 一个更简单的问题。
——希尔伯特
再见！
D
A
C
AD C
C 图形序号 S N
L
B
B
①
21 4
①
②
A
③
B
② 2.5 1 5
③ 4.5 1 9
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动三 探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系
A
D
A
A
图形序号 S N L
B
F
B ①
C
C
EB
D
②D
C③
S N L 1 2
例3、（1）计算图中格点多边形的面积
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
例3、（2）计算图中格点多边形的面积
例3、（3）计算图中格点多边形的面积
⑴
⑵
⑶
⑷
已知下面的方格纸中，每个小正方形的边长为1．你能求出三 个图形象分别占了多少面积吗？
五、小结：共同交流课内活动体会
• 1、认识格点多边形 • 2、识别凹凸多边形 • 3、归纳格点多边形面积的求法（割补法、皮克定理——