【高等数学 东南大学】§7.1向量及其运算

c
b
2.向量与数的乘法（数乘）
设
a
是一个非零向量，
是一个非零实数，则
与a
的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作
a
，且
（1）
a
a
；
（2）
a
的方向 与与aa同反向向,,
当 当
0时. 0时
当
0
或a
0
时，规定
a
0
。
向量的数乘具有下列性质：
（1）(
a)
(
)a
；
（2）
(a
b)
a
负向量：模为
a
而方向与a 相反 的向量称为a的
负向量。记为a 。
若
a
与b
的方向相同或相反，则称a
与b
平行或共线，
记为a
∥b
。显然零向量0
与任何向量
a
都
平行。
不论a
与b
起点是否一致，若它们的方向相同，模
相等，则称a
与b
相等，记作a
b
。即经平行移动后，
两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量。
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
B Aa
2．向量在轴上的投影
A
B
l
设有一个向量 AB a 及一l 轴 ，过AB 的起点A 和 终点 B注，意分：别向作量垂A直B l于在l轴的平上面的，投它影们Al与B 轴是一分个别数交量于
A 而和不B是，向则量有。向这线个段数AABB的 的值绝A对B值，等叫于做有向向量线AB段在 l 轴A上B的 的投长影度，，记这为数( A的B)符l 或号(a由)lA，B即的( AB方)l向决A定B，，当 轴l A叫B做 与投轴影l 轴同。向时，其值为正；反向时，其值为负。
，b
，c
两两垂直，且a
1
，b
2
，
c
3，
求
u
a
b
c
的长度，和它与向量b
的夹角。
解：∵
ab
，
ac
，bc
，
∴
a
b
0
，a
c
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
的和向量。这是向量加法的三角形法则。
该法则可以推广到任意有限个向量相加的情形。
减法是加法的逆运算，若a
b c
，则称c
是a
与b
的差，或b
是a
与c
的差，分别记为c
a
b
或b
a
c
。
a
c a b
b
向量的减法法则：
将向量a
与向量b
的起点重合，由向量b
的终点指向向量a
的终点的向量c
就是a
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cosq 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
B
称为向量a 与b 的数量积，记为a ·b ，即
a ·b
a
b
cos(a,
b
。
向量的加法具有下列性质：
（1）
a
b
b
a
（交换律）；
b
a
ba
ab b
a
（2） (a b )c a (b c) （结合律）；
（3）
a
0
0
a
a
；
（4） a (a) a a 0 ；
（5）
a
b
a
b
。
(a b )c a (b c)
a
+ ab
b c
设有两非零向量a
与b
O
b
，任取空间一点O ，
B
作OA a ，OB b ，规定不超过 的角AOB
（设 q AOB, 0 q ）称为向量a 与b 的
夹角。记为(a,b) 或(a b) ，即(a,b ) q 。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
b)
。
其中 a
，b
只要有一个是零向量，则规定它们的数量积为零。
数量积也叫点积或内积。
∵ ∴
(b)a a ·b
b cos(a, b) ，
a
(b)a
b
(a)b a (a)b .
cos
(a,
b) ，
2．数量积的性质
（1）
a
·a
a
a
cos(a,
a
)
a
2
；
（a
·a
常记为
a
2
b
；
（3）( ) a a a ；其中, 都是数量。
（4）若a 是非零向量，则a
的单位向量为a
a
，
a
故任一非零向量a
都可以表示为a
a
a
。
定理：设向量a
0
，则向量b
平行于a
的充分必要条件是：
存在唯一的实数
，使b
a
。
例 1．试用向量证明三角形的中位线定理：三角形两边 中点的连线平行于第三边且为第三边长度的一半。
，即a
·a
a
2
a
2
.）
（2）设a
与b
是两个非零向量，则
cos(a,b)
Байду номын сангаас
a
b
；
ab
（3）设a
与b
是两个非零向量，则
ab ab 0
。
3．数量积的运算规律
（1）a ·b b ·a （交换律）；
（2）( a ·b ） ( a ）·b （结合律）；
（3）a
·（b
c)
a
解：如图，设 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，
则 AD 1 AB ，AE 1 AC ，
2
2
∵ DE AE AD 1 (AC AB) 1 BC ，D
2
2
∴DE ∥BC 且 DE 1 BC 。
B
2
A E C
7.1.3 向量的数量积与向量积
A a
一、向量在轴上的投影
q
1．两个向量的夹角
·b
+a
·c
（分配律）。
例 3．试用向量证明余弦定理。
证：如图，作 ABC
及向量a
，b
，c
，
则有
c
a
b
。
b
C
a
∴
c
2
c c
(a
b )(a
b)
A
B
c
aa ab b a b b aa b b 2ab
a
2
2 b
2a
b
cos(a,
b) .
例 4．已知a
7.1.2 向量的线性运算
1．向量的加法与减法
b ab
a
以两个非零向量a
、b
为边的平行四边形的对角
线所表示的向量，称为两向量的和向量，记为a
b
，
这就是向量加法的平行四边形法则。
a
b ab
b
a
ab
b
a
从左图可以看出，若以向量a
的终点为向量b
的
起点，则由a 的起点到b 的终点的向量也是a 与b
B
A
a
q
B
l
A
B
l
易见，( AB)l AB AB AB cos q AB cos(AB, l) 。 向量 AB 在轴l 上的投影，等于该向量的模乘以这个向量 与轴l 的夹角的余弦，即 ( AB)l AB cos(AB, l) 。 由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。
二、数量积
1．数量积的概念