【高等数学 东南大学】§7.1向量及其运算
大一向量数学知识点总结
大一向量数学知识点总结向量是数学中重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域起着重要作用。
本文将对大一学习的向量相关知识点进行总结。
一、向量的定义和表示方式向量可以理解为有大小和方向的量，常用符号为箭头上方带有一个字母，如a、b等。
向量有多种表示方式，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示。
1. 坐标表示：在坐标系中，向量的表示可以用有序数对表示，如(a, b)，其中a为横坐标分量，b为纵坐标分量。
2. 分量表示：向量可以表示为各个方向上的分量的数值构成的序列，如(a1, a2, a3, ..., an)，其中ai为向量在每个方向上的分量。
3. 矩阵表示：向量可以表示为一个行向量或列向量的矩阵形式，如[a1, a2, a3, ..., an]或[a1; a2; a3; ...; an]。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
若向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
2. 向量的数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。
若向量a = (a1, a2, ..., an)，实数k，则其数乘ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
3. 内积：向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。
内积的计算方式有两种。
a. 几何定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
b. 分量定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
4. 外积：向量的外积又称为叉积，其结果是一个向量。
高中数学向量的基本运算与应用总结
高中数学向量的基本运算与应用总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、几何、力学等领域。
在高中数学学习中，学生会接触到向量的基本运算和应用，本文将对这些内容进行总结。
1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可用箭头表示。
常用的向量表示方法有坐标表示法和位置矢量表示法。
坐标表示法将向量的起点设置为坐标原点，起点到终点的坐标差表示向量。
位置矢量表示法将向量的起点定为参考点，终点为向量所指的位置。
2. 向量的基本运算(1) 向量的加法：向量加法满足三角形法则。
将两个向量的起点连接，将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接，结果向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
(2) 向量的减法：向量减法可以看作是向量加法的逆运算。
将减法转化为加法：A-B = A+(-B)。
(3) 向量的数量积：向量A和B的数量积（内积）定义为A·B=|A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
数量积具有交换律和结合律。
(4) 向量的向量积：向量A和B的向量积（叉积）定义为A×B=|A||B|sinθn，其中θ为A和B之间的夹角，n为法向量的方向。
向量积具有反交换律和结合律。
3. 向量的应用(1) 向量的平行与共线：两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或相反。
三个向量共线的充要条件是其中两个向量平行且长度成比例。
(2) 向量的投影：向量A在向量B上的投影称为向量A在B上的分量，计算方法是A在B方向上的长度乘以B的单位向量。
(3) 向量的点和线的位置关系：利用向量可以判断点和线的位置关系，如点在线上、点在线的延长线上等。
(4) 向量的力学应用：在物理学中，向量广泛用于描述力的大小和方向，可用来计算合力、分解力和力的平衡条件等。
通过学习向量的基本运算和应用，学生可以加深对向量概念和运算法则的理解，同时培养数学思维和解决实际问题的能力。
在实际应用中，向量在物理、几何、工程等领域有着广泛的应用，对于学生的综合素养提高具有重要作用。
7-1向量及其线性运算
（ 为实数）
( a x , a y , a z )
高等数学
a x a y az 推论： a // b bx b y bz
注意：向量b不为零向量，若为零向量参 照教材第9页理解
Advanced Mathematics
高等数学
例：点M(1,2,3) r OM (1,2,3) i 2 j 3k
Advanced Mathematics
r
M ( x, y, z )
o x P ( x,0,0)
Q(0, y ,0)
y
四、利用坐标作向量的线性运算
1、向量线性运算的坐标表达式 设 a (a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ), a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则 a b (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k ;
Advanced Mathematics D
b
A
C
M
a
B
于是
因为
所以
又因 所以
1 MA (a b ) 2 MC MA, 1 MC (a b ). 2 a b BD 2 MD, 1 MD (b a ). 2
MB MD,
1、空间直角坐标系
ox,oy,oz的正方向按照右手系.
即以右手握住z 轴， 当右手的四个手指从
z 竖轴
高等数学
正向 x 轴以 角度转 2 向正向 y 轴时，大拇
大学高数向量及其线性运算
04
向量的线性变换
向量线性变换的定义与性质
定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法的映射。
性质
线性变换保持向量的加法性质和标量乘法性质，即对于任意向量$x$、$y$和标量 $k$，有$T(x+y)=T(x)+T(y)$和$kT(x)=T(kx)$。
应用
特征值和特征向量在解决实际问题中 具有广泛的应用，如求解线性方程组、 判断矩阵的稳定性、计算矩阵的逆和 行列式等。
05
向量的应用
向量在物理中的应用
力的合成与分解
01
通过向量加法和减法，可以表示和计算物体受到的合力与分力。
速度和加速度
02
在运动学中，速度和加速度可以表示为位置向量的函数，通过
向量运算来描述物体运动状态的变化。
数乘
数乘是指一个实数与向量的乘积，其实质是向量的长度或模的伸缩。设实数$k$与向量 $overset{longrightarrow}{A}$的数乘为$koverset{longrightarrow}{A}$，其长度为 $|koverset{longrightarrow}{A}| = |k| times |overset{longrightarrow}{A}|$。
向量的减法与向量的共线
要点一
向量的减法
向量减法是通过加法来实现的，即 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} overset{longrightarrow}{B}$等同于 $overset{longrightarrow}{C} = overset{longrightarrow}{A} + (overset{longrightarrow}{B})$。
空间向量及其运算公开课课件
沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁
的实际位移是多少？
D
C
B
A
D1
A1
C1
B1
复习回顾：
内容
概念
画法及表示
方法
零向量
平面向量
在平面上，既有大小又有
方向的量，向量的大小叫
做向量的长度或模
用有向线段画出来；
用 AB或 Ԧ 表示
空间向量
在空间上，既有大小又有方
向的量，向量的大小叫做向
AB BC CC1 C1 A
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + −1 = 1
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
减法:三角形法则
加法交换律 a b b a
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
成立吗？
加法结合律
2、空间向量的加减法运算
b
A
B
a
向量加法的三角形法则
C
D
C
b
Aaຫໍສະໝຸດ B向量加法的平行四边形法则
加法法则：首尾相连首到尾，起点相同
对角线
A1
AB AD CC1
B1
AB AA1 D1C1 CC1
AB AD AA1
D
A
C
B
试一试3
高数 空间向量及其运算
|a|
非零向量a与三个坐标轴正向的夹角 , ,
称为非零向量 a的方向角.
z
P1
a
P2
0 0
O
y
0
x
方向角的余弦 cos , cos , cos
叫做向量
a
的方向余弦.
非零向量
a
(a1 ,
a1
,
a3
)
的方向余弦为
cos
a1
a12 a22 a32
cos
a2
a12
a
2 2
a32
cos
a3
a12 a22 a32
且 cos2 cos2 cos2 1.
例1 设已知两点 P1(2,2, 2), P2(1,3,0), 计算向量 P1P2 的模、方向余弦和方向角.
解 P1P2 (1 2,3 2,0 2) (1,1, 2),
a
b
称为
向量
a 与
b 的向量积.
向量积的几何意义：
|
a
b
|
表示以 a和b
为邻边的平行四边形的面积.
b
| b | sin
a
(a
b)
c
表示以
a,
b,
c为棱的平行六面体的体积.
因此,
三向量
a,b,c
共面
(a b) c 0
故
a b a1b1 a2b2 a3b3 数量积的坐标表达式
设向量
a (a1, a1, a3 ),
向量的四则运算、点积、叉积、正交基
向量的四则运算、点积、叉积、正交基向量是数学中的重要概念，它可以表示空间中的点、力、速度等物理量。
向量的运算包括四则运算、点积和叉积，而正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。
本文将依次介绍这些概念及其应用。
1. 四则运算向量的四则运算包括加法、减法、数乘和除法。
对于两个向量的加法，可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
减法与加法类似，只需将对应分量相减。
数乘是将一个向量的每个分量都乘以一个常数，得到一个新的向量。
除法则是将一个向量的每个分量都除以一个常数，得到一个新的向量。
2. 点积点积，也称为内积或数量积，是两个向量之间的运算。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量之间的夹角和长度关系。
点积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后将乘积相加。
点积有以下性质：- 对于两个向量a和b，它们的点积满足交换律，即a·b = b·a。
- 如果a·b = 0，那么向量a和b是正交的（垂直的）。
- 如果a·b > 0，那么向量a和b的夹角是锐角。
- 如果a·b < 0，那么向量a和b的夹角是钝角。
点积在物理学中有广泛的应用，比如计算两个力的功、求解向量的投影等。
3. 叉积叉积，也称为外积或向量积，是两个向量之间的运算。
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，并且长度与两个向量的长度乘积和它们夹角的正弦值成正比。
叉积的计算方法是通过行列式的方式得到。
叉积也有一些特殊性质：- 对于两个向量a和b，它们的叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。
- 叉积满足分配律，即a×(b+c) = a×b + a×c。
叉积在物理学和几何学中有重要的应用，比如计算力矩、求解平面的法向量等。
4. 正交基正交基是向量空间中的一组基底，具有特殊的性质。
如果一组向量中的任意两个向量都是正交的（垂直的），并且每个向量的长度都是1，则称这组向量是正交基。
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
大一高数向量知识点总结
大一高数向量知识点总结高等数学是大学理工科专业的重要基础课程之一，而在高等数学的学习过程中，向量是一个非常重要的概念和工具。
向量的研究不仅在数学中具有重要地位，还广泛应用于物理学、工程学等领域。
下面我将对大一高数中的向量知识点进行总结和概述。
一、向量的基本概念向量是有大小和方向的量，用有向线段来表示。
向量的基本概念包括零向量、单位向量、平行向量、共线向量等。
另外，还有两种特殊的向量，即位置向量和自由向量。
1. 零向量：零向量的长度为0，可以表示为0或者符号为O。
2. 单位向量：长度为1的向量，用小写字母u、v、w等表示，一般表示为u=1。
3. 平行向量：方向相同或相反的向量即为平行向量。
4. 共线向量：线性组合为零向量的向量组称为共线向量。
5. 位置向量：指定平面或空间中某个点的向量。
二、向量的表示向量的表示方式有多种，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示等。
1. 坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示为（x，y）或者（x，y，z）。
2. 分量表示：将一个向量表示为若干个分量的和。
3. 矩阵表示：可以用矩阵的形式来表示向量。
三、向量的运算向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积。
1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律，即u+v=v+u、(u+v)+w=u+(v+w)。
2. 减法：向量的减法可以理解为加法的逆运算，即向量u-v=u+(-v)。
3. 数量积：向量的数量积又称为点积，表示为u·v，是一个标量。
4. 向量积：向量的向量积又称为叉积，表示为u×v，是一个向量。
四、向量的性质和定理向量的性质和定理是在向量运算的基础上推导出来的，可以帮助我们简化计算和解决问题。
1. 平行性质：两个向量平行的充分必要条件是它们的数量积为零，即u·v=0。
2. 垂直性质：两个向量垂直的充分必要条件是它们的向量积为零，即u×v=0。
3. 向量长度：向量的长度也称为模，可以用勾股定理求解，即|u|=√(x^2+y^2+z^2)。
高数第八章02向量及运算
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 沿三个坐标轴方向的r j
i
B y
A
x
N
9
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax , ay , az ), b (bx ,by ,bz ), 为实数，则
a b (ax bx , ay by , az bz )
a4
a5
a3 s
a2 a1
6
2. 向量的减法 三角不等式
a
7
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之: a a
可见 1a a
1a a ;
8
三. 向量的坐标表示
以
i
,
j
,
k
分别表示
x
,
y
,
z
轴上的单位向量,设点
M
的坐标为 M (x , y , z), 则 OM ON NM OA OB OC
单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e .
零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
3
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
解得
故所求点为M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
0701向量及其线性运算54930
设 a a x i a y j a z k (ax,ay,az),a的坐标表
b b x i b y j b z k (bx,by,bz),b的坐标表示
则 a b ( a x b x ) i ( b y b y ) j ( a z b z ) k
ab( a x b x ) i ( b y b y ) j ( a z b z ) k
试:证 p /q /. 明
证明: p (1 5 5 3 )a 1 5 2 5 1 5 b
2a5b 2
1 2
(4a5b)
1 q, 2
p /q /.
◆说明:
(1 )通e 常 a 或 a 0 表 用示与 a 同 非 方 零 向 向 的
按照向量与数的乘积的定义，有
ea
a0
a b a
ab
|a b | |a | |b |
◆向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a .
（2）结合律：
( a b ) c a ( b c ) a b c .
（3）零律： a ( a ) 0 ,a 0 a .
解 A B (12,32,02)(1,1, 2),
AB (1)212(2)2 2,
co 1s , cos 1 , cos 2 ,
2
2
2
2 , 1 , 3 .
3
3
4
0
AB
1
AB
| AB|
3. 向量在轴上的投影
z
r
zR
r
o e
M rOM
M u
x
xP
r
o
M
y
y
Q
向 O M 量 e 称为O 向M 在 量u 轴 上的分 , 向量
第一节向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算
一、空间直角坐标系 二、向量的概念及线性运算 三、向量的坐标表示式 1 2 例2 设 a 的方向余弦为 cos α = , cos β = 3 3 a = 3 ，求向量 a 。 且 有了向量的坐标后，向量的加法和数乘运 算可方便地用坐标表示出来： 设 a ={ax ,ay ,az}, b ={bx ,by ,bz}, 则 a ± b = ( a x i + a y j + a z k ) ± (bx i + by j + bz k ) = ( a x ± bx )i + ( a y ± by ) j + ( a z ± bz )k λa = λ ( a x i + a y j + a z k ) = ( λa x ) i + ( λa y ) j + ( λa z ) k
0
c = a ×b
b
a × b = a b sin ( a , b )
∧
a
向量积的实际背景之一:力矩 M = OP × F （如下图所示） ：杠杆L的旋 F 转趋势; O d Q O: 支点; L: 杠杆; P: 力的作用点; F : 力 θ : 向量 OP 与 F 的夹角 M L
θ θ
d = OQ = OP sin θ
i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1
i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = k ⋅ j = i ⋅k = 0
数量积的运算律： （1）交换律： ⋅ b = b ⋅ a a （2）分配律： ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a （3）( λa ) ⋅ b = λ ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( λb ) 两向量数量积的坐标表示式： 设 a ={ax ,ay ,az}, b ={bx ,by ,bz}，则 两向量夹角的余弦： ∧ a x bx + a y by + a z bz a ⋅b cos ( a , b ) = = 2 2 2 2 ab a x + a 2 + a z bx + by + bz2 y
《向量及其运算》课件
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，如文字描述、坐标表示、箭头表示等。
详细描述
向量可以用多种方式来表示。文字描述可以简单地描述向量的起点和终点。坐标表示法中，向量可以 表示为从原点到终点的一个有向线段，其分量可以用坐标表示。箭头表示法则用箭头的起点和终点来 表示向量，箭头的长度和方向分别代表向量的模和方向。
02
CATALOGUE
向量的运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则或三角形法则 。向量加法具有结合律和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c)且a+b=b+a。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是向量的一种运算，它通过乘以一个标量来改变向量的长度和方向。数乘具 有结合律和分配律，即(ka)b=k(a+b)且(k+l)a=ka+la。
THANKS
感谢观看
02
向量积的方向垂直于a和b所在的 平面，其方向由右手定则确定。
向量的向量积的性质
向量积满足交换律和 结合律，即 a×b=b×a和 (a×b)×c=a×(b×c) 。
向量积满足反身性， 即a×a=0。
向量积不满足分配律 ，即 a×(b+c)≠a×b+a×c 。
05
CATALOGUE
向量的混合积
向量的混合积的定义
详细描述
向量混合积可以用来判断三个向量的空间关 系，例如，当混合积为零时，三个向量共面 ；当混合积为负值时，三个向量构成右手系 ；当混合积为正值时，三个向量构成左手系
高等数学向量及其运算PPT(“向量”文档)共40张可修改文字
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
11
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a;
(2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
9
的三角形是等腰三角形 .
思考: 五、向量的模、方向角、投影
“”
以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有
例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数
1
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
20
任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r =OM = xi + yj + zk .
• 上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
点M、向量r与三个有序x、y、z之
间有一一对应的关系
M r =OM = xi + yj + zk (x, y, z) .
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM -OA , MB =OB-OM ,
=OM -OA , MB =OB-OM ,
因此 OM -OA=(OB-OM ) ,
从而
OM
=
1
1+
(OA+
OB)
(x,
y,
z)
大学高数向量及其线性运算
ax
2
a
2 y
az
2
{cos, cos , cos }.
例3
求平行于向量a
6i
7
j
6k
的单位向量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a 同向，一个反向
|
a
|
62 72 (6)2 11,
a0
a
6
i
7
j
6
k,
| a | 11 11 11
或 a0 a
6
i
7
j
6
例 2 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在 AB 直线上的点M 分有向线段 AB 为
两部分AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 M (x, y, z) 为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
3ij54jk，8求k，向n量a2i
4m4
j 7k ， 3n p
在 x轴上的投影及在 y 轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
设
e
是与
u
轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
eA o1
B
u
设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
AC AB BC,
即
(
AC
)e
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解：如图，设 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，
则 AD 1 AB ，AE 1 AC ，
2
2
∵ DE AE AD 1 (AC AB) 1 BC ，D
2
2
∴DE ∥BC 且 DE 1 BC 。
B
2
A E C
7.1.3 向量的数量积与向量积
A a
一、向量在轴上的投影
q
1．两个向量的夹角
，即a
·a
a
2
a
2
.）
（2）设a
与b
是两个非零向量，则
cos(a,b)
a
b
；
ab
（3）设a
与b
是两个非零向量，则
ab ab 0
。
3．数量积的运算规律
（1）a ·b b ·a （交换律）；
（2）( a ·b ） ( a ）·b （结合律）；
（3）a
·（b
c)
a
的和向量。这是向量加法的三角形法则。
该法则可以推广到任意有限个向量相加的情形。
减法是加法的逆运算，若a
b c
，则称c
是a
与b
的差，或b
是a
与c
的差，分别记为c
a
b
或b
a
c
。
a
c a b
b
向量的减法法则：
将向量a
与向量b
的起点重合，由向量b
的终点指向向量a
的终点的向量c
就是a
类似地可以规定向量与一轴 的夹角或空间两轴的夹角。
B Aa
2．向量在轴上的投影
A
B
l
设有一个向量 AB a 及一l 轴 ，过AB 的起点A 和 终点 B注，意分：别向作量垂A直B l于在l轴的平上面的，投它影们Al与B 轴是一分个别数交量于
A 而和不B是，向则量有。向这线个段数AABB的 的值绝A对B值，等叫于做有向向量线AB段在 l 轴A上B的 的投长影度，，记这为数( A的B)符l 或号(a由)lA，B即的( AB方)l向决A定B，，当 轴l A叫B做 与投轴影l 轴同。向时，其值为正；反向时，其值为负。
设有两非零向量a
与b
O
b
，任取空间一点O ，
B
作OA a ，OB b ，规定不超过 的角AOB
（设 q AOB, 0 q ）称为向量a 与b 的
夹角。记为(a,b) 或(a b) ，即(a,b ) q 。
如果向量a
与b
中有一个是零向量，规定
它们的夹角可在0 与 之间任意取值。
·b
+a
·c
（分配律）。
例 3．试用向量证明余弦定理。
证：如图，作 ABC
及向量a
，b
，c
，
则有
c
a
b
。
b
C
a
∴
c
2
c c
(a
b )(a
b)
A
B
c
aa ab b a b b aa b b 2ab
a
2
2 b
2a
b
cos(a,
b) .
例 4．已知a
B
A
a
q
B
l
A
B
l
易见，( AB)l AB AB AB cos q AB cos(AB, l) 。 向量 AB 在轴l 上的投影，等于该向量的模乘以这个向量 与轴l 的夹角的余弦，即 ( AB)l AB cos(AB, l) 。 由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。
二、数量积
1．数量积的概念
c
b
2.向量与数的乘法（数乘）
设
a
是一个非零向量，
是一个非零实数，则
与a
的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作
a
，且
（1）
a
a
；
（2）
a
的方向 与与aa同反向向,,
当 当
0时. 0时
当
0
或a
0
时，规定
a
0
。
向量的数乘具有下列性质：
（1）(
a)
(
)a
；
（2）
(a
b)
a
负向量：模为
a
而方向与a 相反 的向量称为a的
负向量。记为a 。
若
a
与b
的方向相同或相反，则称a
与b
平行或共线，
记为a
∥b
。显然零向量0
与任何向量
a
都
平行。
不论a
与b
起点是否一致，若它们的方向相同，模
相等，则称a
与b
相等，记作a
b
。即经平行移动后，
两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量。
§7.1向量及其运算
7.1.1 向量的概念
B
向量： 既有方向又有大小的量。
常用有向线段来表示向量。
AB A
以 A为 起点，B为 终点的有向线段所表示的向量
记作 AB ，或a 。
向量的模：向量的大小，记作
a
。
单位向量：模等于 1 的向量。与非零向量a同 向的单
位向量称为向量a
的单位向量，记作a
。
零向量：模等于零的向量，记为0 ，其方向不定。
设物体在常力F 作用下沿某直线移动，其位移为S ，
则作用在物体上的常力F 所作的功为
F
W F S cosq 。 W F ·S 。
其中q 定义 3
为两力向F 量与a位、移bS的的模夹及角其。夹角的A 余弦q的乘S 积，
B
称为向量a 与b 的数量积，记为a ·b ，即
a ·b
a
b
cos(a,
7.1.2 向量的线性运算
1．向量的加法与减法
b ab
a
以两个非零向量a
、b
为边的平行四边形的对角
线所表示的向量，称为两向量的和向量，记为a
b
，
这就是向量加法的平行四边形法则。
a
b ab
b
a
ab
b
a
从左图可以看出，若以向量a
的终点为向b
的
起点，则由a 的起点到b 的终点的向量也是a 与b
b)
。
其中 a
，b
只要有一个是零向量，则规定它们的数量积为零。
数量积也叫点积或内积。
∵ ∴
(b)a a ·b
b cos(a, b) ，
a
(b)a
b
(a)b a (a)b .
cos
(a,
b) ，
2．数量积的性质
（1）
a
·a
a
a
cos(a,
a
)
a
2
；
（a
·a
常记为
a
2
b
。
向量的加法具有下列性质：
（1）
a
b
b
a
（交换律）；
b
a
ba
ab b
a
（2） (a b )c a (b c) （结合律）；
（3）
a
0
0
a
a
；
（4） a (a) a a 0 ；
（5）
a
b
a
b
。
(a b )c a (b c)
a
+ ab
b c
，b
，c
两两垂直，且a
1
，b
2
，
c
3，
求
u
a
b
c
的长度，和它与向量b
的夹角。
解：∵
ab
，
ac
，bc
，
∴
a
b
0
，a
c
b
；
（3）( ) a a a ；其中, 都是数量。
（4）若a 是非零向量，则a
的单位向量为a
a
，
a
故任一非零向量a
都可以表示为a
a
a
。
定理：设向量a
0
，则向量b
平行于a
的充分必要条件是：
存在唯一的实数
，使b
a
。
例 1．试用向量证明三角形的中位线定理：三角形两边 中点的连线平行于第三边且为第三边长度的一半。