人教A版高中数学必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时二次函数与一元二次方程、不等式一．一元二次不等式的概念

二．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

例1解下列不等式：

(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.

练习：解下列不等式：

(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0.

例2解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.

例3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |10的解集．

堂练习

1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( ) A.⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<-31x 1x B.⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<<131x x C ．∅ D ．R

2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤

≥213x x x 或 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-321x x C.⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧-≤≥213x x x 或 D ．R

3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( )

A ．{x |1

B ．{x |x <1或x ≥3}

C ．{x |x <－1或x ≥3}

D ．{x |x <－1或x >3} 4．若0

⎫

⎝⎛

-

-m x m x 1<0的解集为( )

A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<

B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>m x m x x 或1

C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>m x m x x 1或

D.⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧<

5．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1

2和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．

第2课时 一元二次不等式的应用

一 简单的分式不等式的解法

分式不等式的解法：

二 一元二次不等式恒成立问题

1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨

⎪⎧ a >0，

Δ<0；

ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩

⎪⎨

⎪⎧

a <0，Δ<0.

2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．

三 利用不等式解决实际问题的一般步骤

1．选取合适的字母表示题目中的未知数．

2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案．

例1 解下列不等式：

(1)x ＋12x －1<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1.

练习 解下列不等式：

(1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3.

例2 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围．

练习： 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．

例3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？

堂练习

1．不等式1＋x

1－x

≥0的解集为( )

A ．{x |－1

B ．{x |－1≤x <1}

C ．{x |－1≤x ≤1}

D ．{x |－1

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-02x x x

，则A ∩B 等于( )

A ．{x |－1≤x <0}

B ．{x |0

C ．{x |0≤x <2}

D ．{x |0≤x ≤1}

3．不等式x ＋1

x

≥5的解集是________．

4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．

5．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的关系式是y 1＝t ＋10(0