第四章 三角函数与三角形4-4两角和与差的三角函数

答案：B 点评：高考命题时，常在客观题中考查对三 角函数基本公式的掌握情况，只要记准公式 直接套用就能解决，都是易题．
(文)(2010· 福建理)计算 sin43° cos13° －cos43° sin13° 的结果等于( 1 A. 2 2 C. 2 ) 3 B. 3 3 D. 2
1 解析：原式＝sin(43° －13° )＝sin30° . ＝ 2
π 名称变换(如应用 ± 正余互变，切割化弦，应用平 α 2 方关系 sin2α＋cos2α＝1 正弦、余弦互变、弦化切等等)； 幂的变换(升幂缩角 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝ 1－cosα 1＋cosα 2α 2sin α，降幂扩角 sin ＝ ，cos ＝ 等)； 2 2 2 2

答案：A
2 π (理)(2010· 南充市模拟)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ ) 5 4 1＋tanα 1 ＝ ，则 等于( 4 1－tanα 1 A. 6 13 C. 22 13 B. 18 3 D. 22 )
π 1＋tanα π 解析： ＝tan4＋α＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 1－tanα
一、公式的逆用与变形运用 如：tanα± tanβ＝tan(α± β)(1∓tanα· tanβ)， 1＋cos2α 1－cos2α sin2α 2 2 cosα＝ ，cos α＝ ，sin α＝ ， 2sinα 2 2 1＋cosα 1－cosα 1－cosα 2α 2α cos ＝ ，sin ＝ ，tan ＝ . 2 2 2 2 2 1＋cosα

答案：1 点评：通过观察、分析、抓住角之间的变化 规律，灵活运用公式才能顺利实施解答．
1 1 若 a＝tan20° ，b＝tan60° ，c＝tan100° ，则 ＋ ab bc 1 ＋ ＝( ca A．－1 ) B．1 C．－ 3 D. 3
tan20° ＋tan100° 解析：∵tan(20° ＋100° )＝ ， 1－tan20° tan100° ∴tan20° ＋tan100° ＝－tan60° (1－tan20° tan100° )，即 tan20° ＋tan60° ＋tan100° ＝tan20°tan60°tan100° · · ， tan20° ＋tan60° ＋tan100° ∴ ＝1， tan20°tan60°tan100° · · 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ＝1，选 B. ab bc ca
如右图，点 P1，P2，P3，P4 的坐标分 别为 P1(1,0)，P2(cosα，sinα)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4 (cos(－β)，sin(－β))，由 P1P3＝P2P4 及 两点间距离公式得[cos(α＋β)－1]2 ＋sin2(α ＋ β) ＝ [cos( － β) － cosα]2 ＋ [sin( － β) － sinα]2 ， 整 理 得 cos(α ＋ β) ＝ cosαcosβ － sinαsinβ，本公式中 α，β 对任意角都成立． 也可以先用此法导出 C(α－β)．
解析：∵tan[(18° －x)＋(12° ＋x)] tan18° －x＋tan12° ＋x 3 ＝ ＝tan30° ＝ 3 1－tan18° －x· tan12° ＋x ∴tan(18° －x)＋tan(12° ＋x) 3 ＝ [1－tan(18° －x)· tan(12° ＋x)] 3 3 于 是 原 式 ＝ tan(18° x)tan(12° x) ＋ 3 · [1 － － ＋ 3 tan(18° －x)· tan(12° ＋x)]＝1.

分析：条件式中的角为α和α－β即α与β－α， 故待求式中的角β－2α＝(β－α)－α.
1 解析：∵cot(α－β)＝ ，∴tan(β－α)＝－3， 3 ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] tanβ－α－tanα ＝ ＝1. 1＋tanβ－α· tanα

答案：D 点评：解决三角函数的化简、求值、证明等 问题，熟练地进行角的变换对于迅速破解问 题起着非常关键的作用．
4 1 (文)已知 α、β 为锐角，cosα＝ ，tan(α－β)＝－ ， 5 3 则 cosβ 的值为________．
4 3 3 解析：∵α 是锐角，cosα＝ ，故 sinα＝ ，tanα＝ 5 5 4 tanα－tanα－β 13 ∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝ ＝ 1＋tanα· tanα－β 9 9 10 ∵β 是锐角，故 cosβ＝ . 50


重点难点 重点：掌握两角和、两角差、二倍角公式， 并运用这些公式化简三角函数式，求某些角 的三角函数值，证明三角恒等式等． 难点：了解各公式间的内在联系，熟练地掌 握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形 后的应用．

知识归纳 1．在两角和与差的公式中，以公式C(α±β)为 最基本，其推导过程应熟练掌握．教材用平 面向量对C(α－β)进行了推导，类似地也可以 用平面向量方法推证C(α＋β)．下面用对称和 两点间的距离公式给出C(α＋β)的推证过程， 望细心体会其思路方法．
2α
二、解题技巧 在三角函数的化简、求值与证明中，常常对条件和结 论进行恰当变换，以满足应用公式的条件．常见的有： 角的变换， 注意拆角、 拼角技巧(如 α＝(α＋β)－β＝(α α＋β α－β α－β －β)＋β，(α＋β)＋(α－β)＝2α，β＝ － ， ＝ 2 2 2
β α α＋ － ＋β，75° ＝45° ＋30° 等等)； 2 2
2 2α
1 的代换(1＝sin2α＋cos2α＝tanα· cotα＝sinα· cscα ＝cosα· secα＝tan45° 等)． 结构变换(如，形如 asinα＋bcosβ 的式子都可以 通过合理的变形化为只含一个角的三角函数形式 a2＋b2sin(γ＋φ)，其中 α、β 都是 γ 的表达式，φ 为 常数)．

答案：B
4 4 [例 3] 已知 cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝－ ，则 5 5 cosαcosβ 的值为( A．0 4 C．0 或 5 ) 4 B. 5 4 D．0 或± 5

分析：由Cα±β展开式可知，条件式展开后是 关于cosαcosβ与sinαsinβ的方程组，可通过 解二元一次方程组求得cosαcosβ的值．
sin7° ＋cos15°sin8° · [例 2] 的值为( cos7° －sin15°sin8° · A．2＋ 3 C．2－ 3 2＋ 3 B. 2 2－ 3 D. 2
)
解 析 ： sin7°＝ sin(15°－ 8° ＝ sin15° ) cos8°－ cos15° sin8° ， cos7° ＝cos(15° －8° )＝cos15° cos8° ＋sin15° sin8° ， 1－tan30° ∴原式＝tan15° ＝tan(45° －30° )＝ ＝2－ 3， 1＋tan30° 故选 C.
2 2
1＋cos2α )的作用． 2
4．asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 a b b cosφ＝ 2 2，sinφ＝ 2 2，tanφ＝ . a a ＋b a ＋b φ 的终边所在象限由 a，b 的符号来确定．


误区警示 1．本节公式较多，要把握好公式的结构特 征，熟悉公式的来龙去脉，这样才能准确地 应用公式．特别是公式中的“＋”，“－” 号要熟记，二倍角的余弦也是易记混的地方， 还要注意公式的逆用、变形运用． 2．三角变换常见的有变角、变名、变幂、 变结构(如和积互变)等．应特别注意变换的 等价性，解题过程中要善于观察差异，寻找 联系，实现转化．

答案：C


三、已知三角函数值求角的步骤 已知角α的三角函数值求角α，应注意所得的 解不是惟一的，而是有无数多个，其解法步 骤是： (1)确定角α所在的象限； (2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对 应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝对值 对应的锐角α1；

(3)求出满足条件的角．首先根据角α所在的 象限，得出0～2π间的角．如果适合已知条 件的角在第二象限，则它是π－α1；如果在 第三或第四象限，则它是π＋α1，或2π－α1. 然后利用终边相同的角的表达式写出适合条 件的所有角的集合．
[例 1] 计算(tan10° 3)· － sin40° .
sin10° － 3cos10° 解析：原式＝ sin40° · cos10°
2sin10° cos60° －cos10° sin60° sin40° ＝ cos10° －2sin50° sin40° －2sin40° cos40° ＝ ＝ cos10° cos10° －sin80° ＝ ＝－1. cos10°

分析：条件式中含角α、β、γ，而待求式中 只有β与α，故可运用消元思想，先通过 sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.
解析：由已知，得 sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－ cosβ. 平方相加得 (sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1， 1 π ∴cos(β－α)＝ .∴β－α＝± . 2 3 π ∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝ . 3
4 解析：由 cos(α＋β)＝ 展开可得 5 4 cosαcosβ－sinαsinβ＝ ① 5 4 由 cos(α－β)＝－ 展开得 5 4 cosαcosβ＋sinαsinβ＝－ ② 5 由①②相加得 cosαcosβ＝0.

答案：A
π 已知 α、β、γ∈(0， )，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋ 2 cosγ＝cosα，则 β－α 的值为________．
9 10 答案： 50
π 1 11 (理)已知 cosα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，α、β∈0，2， 7 14

2．公式之间的关系及导出过程
只有③和⑥对角 α， 须附加限制条件， β 使其有意义． 如 π kπ π ⑥中须 α≠kπ＋ 且 α≠ ＋ .(k∈Z)． 2 2 4 由于 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.解 题时应根据不同的函数名称的需要，选取不同的形式．公 式的双向应用分别起缩角升幂(1＋cos2α＝2cos2α，1－ 1－cos2α cos2α ＝ 2sin α) 和 扩 角 降 幂 (sin α ＝ ， cos2α ＝ 2
[例 1] tan(α＋β)＝( 7 A. 11 7 C. 13
1 (09· 全国Ⅰ)已知 tanα＝4，cotβ＝ ，则 3 ) 7 B．－ 11 7 D．－ 13

分析：由cotβ及倒数关系可求tanβ，直接运 用两角和的正切可求得tan(α＋β)．
1 解析：∵cotβ＝ ，∴tanβ＝3. 3 tanα＋tanβ 4＋3 7 tan(α＋β)＝ ＝ ＝－ . 11 1－tanα· tanβ 1－12
π 答案： 3
总结评述： 本题极易因不注意隐含条件 sinγ>0 而错得 π β－α＝± .因此三角求值问题要注意分析隐含条件. 3
[例 4]
(2010· 重庆一中)已知 tanα＝2，cot(α－β) ) D．1
1 ＝ ，则 tan(β－2α)的值是( 3 1 A. 5 5 B. 7 5 C. 6
2 1 － 5 4 3 ＝ ＝ . 2 1 22 1＋ × 5 4

答案：D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例 2] 化简：tan(18° －x)tan(12° ＋x)＋ 3[tan(18° － x)＋tan(12° ＋x)]＝________.

分析：对本题进行观察，发现它有两个特征： 一个特征是该三角式的前半段是两个角正切 函数的积，而后半段是这两个角正切函数的 和的倍数；另一个特征是这两个角的和 (18°－x)＋(12°＋x)＝30°，而30°是特 殊角，根据这两个特征，很容易联想到正切 的和角公式．