简并态的定态微扰理论
第六章 微扰理论
ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1
ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n
( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。
用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应.
学号：14081601101毕业论文题目：用简并定态微扰理论求氢原子的二级斯塔克效应作者届别2012学院物理与电子学院专业物理学指导老师职称教授完成时间2012年5月摘要本文主要在氢原子的一级斯塔克效应的基础上计算其二级斯塔克效应，在氢原子的一级斯塔克效应中，当n=2时能级有分裂，简并有消除，但是并没有完全消除，对氢原子进行二次斯塔克效应的研究，发现简并没有消除只是能级发生了移动。
这很好的解释了氢原子的赖曼线系第一条谱线在电场作用下分裂为三条的原因。
关键词：氢原子；简并；斯塔克效应AbstractThis thesis mainly account the second order Stark effect of hydrogen atom based on its first order Stark effect. When n = 2, there is fission in energy level and elimination in degeneracy in the first order Stark effect of hydrogen atom. But the degeneracy does not absolutely disappear. While researching on the second order Stark effect of hydrogen atom, the author of this thesis finds that there is only shift in energy level and no elimination of the degeneracy, which well explains the reason why the first line in the Lai Man line of hydrogen atom is divided into three spectrum lines.Keyword: Hydrogen atom；Degeneracy；Stark effect目录摘要...............................................................................................I I Abstract............................................................................................I II 目录 (IV)第一章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2选题的意义 (1)1.3本文主要研究内容 (1)第二章氢原子n=2的一级斯塔克效应的介绍 (2)第三章氢原子n=2的二级斯塔克效应的计算 (4)第四章氢原子n=3的二级斯塔克效应的计算 (7)第五章结果分析 (12)参考文献 (13)致谢 (14)第一章绪论1.1引言对于能量本征值E有多个能量本征函数称为简并，只有一个独立的解称为不简并。
5.2 简并情况下的微扰理论 5.3氢原子的以及斯塔克效应
ˆ ˆ ˆ ˆ H 当加入外电场后， H H ( 0) H' H ( 0) er cos ，ˆ 不再与
ˆ L2 对易，L2 不再是守恒量，但L z 仍是守恒量，即外电场破坏了
z 库仑场的球对称性，但未破坏绕
轴旋转的对称性，能级简并部
分解除。
二、n 2 时体系的近似解
ˆ 1.体系的哈密顿及H ( 0 ) 的本征解 处于沿 z 方向的外电场 中的氢原子体系的哈密顿为
0
R 20 * Y00 * er cos R 21 Y11 r 2 drd
e R 20 R 21 r 3 dr Y00 * cosY11d
利用球谐函数公式
( 1) 2 m 2 2 m2 cosYm Y 1,m Y 1,m (2 1)(2 3) (2 1)(2 1) a m Y 1,m b m Y 1,m
这样，势场原来的球对称性被破坏，变为轴对称, 能级发生分裂, 简并度部分消除,具体解释如下：
无外场时，体系是球对称的，即:
ˆ H ( 0)
2 ˆ es 2 2 L2 (r ) 2 2 2r r r 2r r
ˆ ˆ ˆ H (0) 与L2 和L z 都对易，也就是L2 , L z 都是守恒量；
则有 H'13 e R 20 R 21r 3 dr Y00 * (a m Y21 b m Y01 )d 0
0
同理可得其它矩阵元也为零（, i 1,2) 。 可见矩阵元不为零的定则是: 1, m 0 。
下面计算H'12 和 H'21 ：
ˆ H '12 1 * H ' 2 d R 20 * Y00 * er cos R 21 Y10 r 2 drd
微扰理论
以
( 0) m *
（m≠n）左乘上式两边，并对整个
空间积分，得
( 0 ) (1) 0 0 ( 0) (1) 0 0 ' E a * d E ' a * l l m l n l m l d l l (1) 0 ( 0) 0 ˆ ' ( 0) d En * d * H n m n m
(0) ˆ ' ( 0) d H ' mn m *H n
N me
2
2
x
2
H m (x)(ex) N n e
2
2
x2
H n (x)dx dx
N m N n e N m N n e
xH m (x) H n (x)e
2 x 2
2
d ]
系数
2 Nn [ ] 2 n n!
1
N n 1 [
2
1 n 1
] (n 1)!
1
1 2
1 2 2 [ ] [ ] 2(n 1) 2 n n! 1 [ ]2 Nn 2(n 1)
N n 1 [
1 2
1
2
n 1
] (n 1)!
，以
( 0) n *
左乘上式
两边，并对整个空间积分，得
( 0) ˆ E 0 ) (1) d E (1) ( 0) * ( 0) d ( 0) * H ˆ (1) ( 0) d * ( H n n n n n n n n
663-近似方法：微扰与变分微扰方法：与时间无关(定态微扰) 与时间有
* 近似方法：微扰与变分微扰方法：与时间无关（定态微扰）与时间有关（量子跃迁）定态微扰：简并、非简并第五章微扰理论一、适用条件求解定态薛定谔方程比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分§5.1 非简并的定态微扰的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就可以通过逐步近似的方法求解。
二、微扰论的基本方程设的本征值和本征函数已经全部求出：的本征方程（1）式变为：设某一个能级是非简并的，只有一个与它对应，加上“微扰”后，将待求的写成的线性迭加：将（5）式代入（4）式，得到由于，的主要成分显然就是，因此（5）式中。
这个判断是使用逐步近似法的基础。
用某一个左乘（6）式并积分得到用左乘（6）式并积分就得到 (8)和(9)式是严格的，它们和（6）式等价。
(8)、(9)式中是“表象”中的矩阵元在(8)、(9)式中略去所有与有关的项，就得到零级近似： (8)式中略去最小的第三项即项,即得的一级近似 (9)式中略去最小的项，即项，并在右端用作为的近似，就得到的一级近似将(12)式，并代入(8)式，即得的二级近似将(12)式，并代入(5)式，即得的一级近似（13)、(14)式就是非简并态微扰论的主要结果。
(13)式右端各项通常称为的零级近似，一级修正和二级修正: (14)式中项称为的一级修正 (13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为如果紧靠着存在别的，即使，微扰论也不适用。
试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
例带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的微扰作用解1 的本征值和本征函数是能级的一级修正就是在中的平均值为求能级的二级修正和波函数的一级修正，需要计算可利用（一）简并微扰理论（二）讨论§5.2 简并微扰理论假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值En(0) 有 k 个归一化本征函数：| n1 , | n 2 , ......, | n k n? |n? =??? 满足本征方程：于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。
5微扰理论
，若 En(1) 的k个根都不相等，则一级微扰
可以将k度简并完全消除；若 En(1) 有几个重根，说明简并只 是部分被消除，必须进一步考虑能量的二级修正，才有可能 使能级完全分裂开来。
5.3 氢原子的一级Stark效应
将原子置于外电场中时，其谱线发生分裂的现象称Stark 效应 。
本节我们以简并态微扰论来讨论H原子Laman线系第一条 谱线的分裂。
H12 H 22
H1k H 2k
H k1
( H k 2 H kk En1)
0
(5)
这个行列式方程称为久期方程，解这个方程可以得到
(1) 能量一级修正 En(1) 的k个根 Enj
( j 1,2,3k )
( 0) (1) 因为 En En En
(6)
( ( ( ˆ ( ˆ ( ( En0) H ) n En ck k0) k n k n
(6)
用
(0)* n
左乘（6）式并积分就得到
( En0) H nn ck H nk En k n
上式左边为零，得
(1) ( H mi En mi )ci(0) 0, l 1,2k i 1 k
(3)
式中
H mi H ni d
* nm
(4)
ci( 0 ) 为未知量的一次齐次方程组，它 （3）式是以系数
有不全为零的解的条件是：
( H11 En1) H 21
0 0 0
( E20 )
3ea0 0 0
0
0
即
( ( ( E20) ) 2 [(E21) ) 2 (3ea0 ) 2 ] 0 (1 E21) 3ea0 (1 (1 E23) E24) 0 (0 E22 ) 3ea0
第五章微扰理论1
微扰(外场) Hercos
由球谐函数的奇偶性可得不为零的矩阵元为
H 1 2 H 2 1 3ea0
久期方程
E2(1)
3ea0
0
0
3ea0
E2(1) 0
0
0 0 E2(1) 0
0 0
0 0 E2(1)
能量一级修正
E(1) 2
3ea0,0,0
能级分裂 简并部分消除。
进一步求解可得归一化的新的零级近似波函数
m
Hm n En(0) Em (0)
(0) m
矩阵元：
Hm n
m (0)*H
d (0)
n
(所有本征态） 无限
(2)简并
能量： 一级修正
H11En(1) H2 1
Hk1
H12 H2 2En(1)
Hk2
H1k
H2k
0
HkkEn(1)
k
k
波函数: 零级近似
(Hli En(1)
最后写成：
En En(0) Hn n
m
| Hn m|2 En(0) Em(0)
n
(0) n
m
Hm n En(0) Em(0)
(0) m
（4）说明
①用微扰矩阵元 H m n求解时，要“对号入座”，如
E3E3 (0)H3 3m3E|3 (0 H ) 3 m E |2 m (0)
(n 3)
基态能量的一级近似为
E 1 e s 2 /2 a 0 2 e s 2 /a 0 ( 1 4 ) E 1 ( 0 )
例2 二维空间哈密顿算符H 在能量表象中的矩阵表示为
HE1(0b) a E2(0b) a
其中 a , b 为实数。
量子力学导论Chap10-2
−r / 2a0
cosθ sinθe
iϕ −iϕ
φ3 ≡ψ211 = R21Y11 = − 8 π ( ) ( )e
1 1 3/ 2 r a0 a0
−r / 2a0
φ4 ≡ψ21−1 = R21Y1−1 = − 8 π ( ) ( )e
−r / 2a0
sinθe
其 φα ⇒ 2α >, α =1,2,3,4 中 |
2
属于该能级的4个简并态是： 属于该能级的 个简并态是： 个简并态是
φ1 ≡ψ200 = R20Y00 = φ2 ≡ψ210 = R21Y10 =
1 4 2π 1 4 2π 1
( ) (2 − )e
1 3/ 2 a0 r a0
−r / 2a0
( ) ( )e
1 3/ 2 r a0 a0
1 3/ 2 r a0 a0
0 0
= −3eεa0
n=2
由此可见，在外场作用下， 由此可见，在外场作用下，原来 4 度简并的 在一级修正下， 条能级， 能级 E2(0)在一级修正下，被分裂成 3 条能级， 简并部分消除。 简并部分消除。
（6）求 0 级近似波函数 ） fk 分别将 E2(1) '
的 4 个值代 入方程组： 入方程组：
将 H′ 的矩阵元 ′ 代入久期方程： 代入久期方程：
( − E21) − 3eεa0
− 3eεa0 ( − E21) 0 0
0 0 −E 0
(1) 2
0 0 0 ( − E21) =0
解 得 4 个 根
(1 E21) (1) E22 (1) E23 E(1) 24
= 3eεa0 =0 =0
(0) m nν
其中
26简并情况下的微扰理论(精)
ˆ (1)在简并子空间中的本征方程。 这正是 H
零级近似波函数写成列矢量
(0) cn 1 (0) cn 2 c (0) nf
ˆ (1)在简并子空间中的本征函数。 它是 H
方程有非零解的条件是
(1) (1) H 11 En (1) H 21 H (f11) (1) H 12 ( 2) (1) H 22 En ) H (f12 ) H 1(1 f (1) H2 f 0 1) (1) H (ff En
(1) ( 1, 2,3, ) 。 由此可解得 f 个实根 En (1) 能量的一级修正值为 En ，一级近似值为 ( 0) (1) En En En
(1) E 将每个 n 代入到矩阵方程中可解得一组c n ，则 En 对应的零
(0)
级近似波函数为
(1)
( 0) ( 0) n cn n
代入到一级等式中，得
做运算 n
ˆ (0) (1) H ˆ (1) c (0) (0) E (0) (1) E (1) c (0) (0) H n n n n n n n n
*(0)
dx ，得
*(0) ˆ (0) (1) (0) *(0) ˆ (1) (0) (0) *(0) (1) (1) (0) *(0) (0) H dx c H dx E dx E c n n n n n n n n n n n dx n
(0) (1) (2) ( En En 2 En
) )
(0) (1) (2) )( n n 2 n
逐级近似方程
0
定态微扰论的适用条件 -回复
定态微扰论的适用条件-回复定态微扰论是一种重要的量子力学近似方法，用于求解被微弱扰动影响的量子力学系统的能级和态。
它的适用条件如下：1. 系统处于定态：定态微扰论仅适用于系统在初始态和微扰作用下的定态情况。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
2. 微扰小：定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
一般来说，微扰项的大小要远小于系统的能级间隔，以保证微扰对系统的影响较小。
3. 系统的能级简并度：定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
这是因为微扰作用可以导致能级的分裂，从而使得简并态之间的能级差不再相同。
在满足以上条件的情况下，可以使用定态微扰论来计算系统的能级修正和态的变化。
下面将逐步回答关于定态微扰论适用条件的问题。
首先，定态微扰论适用于求解处于定态的系统。
对于处于定态的系统，其时间演化满足薛定谔方程，可以用定态波函数进行描述。
如果系统在初始态和微扰作用下发生了能级跃迁或态的变化，定态微扰论就不再适用。
其次，定态微扰论要求微扰作用相对于系统的哈密顿量来说是小的。
我们假设系统的哈密顿量为H0，微扰作用为V。
微扰的大小一般用微扰参数λ来表示，即V/（H0+V）。
在定态微扰论中，我们希望微扰对系统的影响较小，即λ≪1。
这样我们可以将系统的哈密顿量拆分为两部分：H0+V0和V，其中H0+V0作为未受微扰的哈密顿量，V作为微扰项。
可以通过H0+V0的解析求解方法来求解未受微扰的系统，并利用微扰项V计算能级的修正和态的变化。
最后，定态微扰论通常适用于系统存在能级简并的情况。
能级简并是指系统存在多个具有相同能量的量子态。
在无微扰作用时，这些量子态之间是完全简并的。
但是当微扰作用加入后，能级简并会被打破，简并态之间的能级差不再相同。
定态微扰论的目的就是计算能级简并态之间的能级修正，以及得到微扰后的简并态。
对于不存在能级简并的系统，定态微扰论通常不适用。
第六章 量子力学微扰理论与近似方法
102第六章 近似计算方法§6.1 微扰理论 一、非简并定态微扰论 1、定态微扰论的主要思想在量子力学中，当体系的哈密顿算符不显含时间时，属于定态问题，通过解其基本方程：ˆn n nH E Ψ=Ψ 可以求出Hˆ的本征值和本征函数。
如果H ˆ比较复杂，但是如果H ˆ可以写成两部分： H H H ˆˆˆ0′+= （0ˆH 和H ′ˆ都不显含时间），而且满足下列条件：（1）0ˆH 的本征方程：(0)(0)(0)0ˆnn n H E ψψ= 可以精确求解，即n ε和n Φ是已知的。
（2）0ˆH 和H ′ˆ的差别很大，或者说H ′ˆ很小，可以看作0ˆH 的基础上加一个小的微扰H ′ˆ，故H′ˆ称为微扰项。
这样，我们就可以通过微扰理论来近似求解。
(0)(1)(2)n n n n E E E E =+++ (0)(1)(2)n n n n ψψψψ=+++2、定态微扰计算假设微扰时体系的能量是哈密顿算符0ˆH 的第n 个本征值(0)nE ，这个本征值无简并，即体系于定态(0)n ψ。
当体系受到一个与时间无关的微扰H ˆ′作用时，它将处于一个新的能级nE 和状态n Ψ。
n E 和n Ψ是H H H ˆˆˆ0′+=的本征值和本征函数.即满足： ˆn n nH E Ψ=Ψ 微扰论的主要思想：H ˆ′代表一个微小的扰动，那么我们就有理由认为n E 和(0)n E 相差不多，nΨ和(0)n ψ也十分接近。
（1）、非简并能量的一级修正在非简并微扰情况下，由一级微扰确定一级近似波函数和一级能量修正103010010ˆˆn n n nE E H H Ψ′+Ψ=Ψ′+Ψ 两边左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得：()()()()()()()()τττd H d E d E H n n n n n n n n ∫∫∫Ψ′Ψ−ΨΨ=Ψ−Ψ0*00*01100*0ˆˆ 注意到0ˆH 是厄密算符，所以有： ()()()()()()[]0*ˆˆ0001100*0=Ψ−Ψ=Ψ−Ψ∫∫ττd E H d E H n n n n n n 从而得到()()()τd H E nn n 0*01ˆΨ′Ψ=∫ 即()n H n E n′=1 （2）、非简并能量的二级修正令()()()001l ll n a Ψ=Ψ∑得：000ˆˆn n n n nE E E H H Ψ′′+Ψ′′+Ψ′′=Ψ′′+Ψ′′ ()()()()()()()001010010ˆnn n ll l n l l llH E a E a EΨ′−Ψ=Ψ−Ψ∑∑ 将()()n m m ≠Ψ*0左乘上式两边后，对整个空间积分，所以有()()()()mn n m ml ll n ml l lH d H a E a H ′−=Ψ′Ψ−=−∫∑∑τδδ0*01010ˆˆ 其中()()ml l m d δτ=ΨΨ∫0*()()mnm l n H a E E ′=−100 ()01mn mnm E E H a −′=()()0001m mn mn n E E H Ψ−′=Ψ∑左乘()*0n Ψ，并对整个空间积分得104()()()()()()()2111200*0ˆn nl ll n nl ll n n n E a E H a d E H ++′−=Ψ−Ψ∑∑∫δτ 当n l ≠时，利用0ˆH 的厄密性可得 ()∑∑−′=′=ll n nlnlll n E E H H a E 022即()∑−′′=ll n n E E l H n l Hn E 02ˆ（3）、非简并波函数的一级修正(1)'(0)(0)(0)mn n m mn mH E E ψψ′=−∑ 二、简并定态微扰论 1、简并的处理 （1）问题假设(0)n E 是k 度简并的，0ˆH 属于本征值(0)n E 的本征函数有k 个: k φφφ,,,21 ，且它们已经是相互正交的。
量子力学中微扰理论的简单论述论文
量子力学中微扰理论的简单论述论文量子力学中微扰理论的简单论述摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。
常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。
对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。
关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论目录1 非简并定态微扰论 (1)2 简并定态微扰论 (8)2.1理论简述： (8)2.2简并定态微扰论的讨论 (10)(11)11v .. . ..0 引言微扰理论是量子力学的重要的理论。
对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。
我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。
这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。
应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。
量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。
当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。
基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。
假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态，波函数）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。
这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。
微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。
不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。
1 非简并定态微扰论1.1 理论简述近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
简并态的定态微扰理论
全消除简并，否则需将 2 P0VP1
1
E (0) D
H0
P1VP0
作为微扰，进一步用简并法求其修正。
归纳之，简并态的微扰法为： 1）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵 2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。久期方程本征
值为一阶能量修正，本征解为λ0的零阶本征矢 3）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表达式，
§5.2 简并态的定态微扰理论
未微扰态简并时，原微扰公式:
不能用，原因是1)出现分母=0情形；2)零阶态矢可为简并 态的叠加。
若取使Vnn’（n与n’简并）为零的初始态，则上述表达式有 可能仍有用。
设有g度简并态{|m(0)>},其展开的子空间为D。D中的态可 一般地写为：
记P0为投影到D的投影算符,P1=1-P0则是投影到其他态矢 组成的子空间部分的算符.本征方程可写为
[P0|l(1)>+P1|l(1)>]即为完整的一阶态矢修正。 2阶能量修正：
(2) li
l(0)
i
V
l (1)
i
l(0)
i
V
P1li(1)
l (0)
i
V
P0li(1)
2
l(0)
i
V
P1li(1)
Vkli
kD
[ ED( 0 )
E(0) k
]
形式与非简并情形类似,但求和限于D外的子空间
上述一阶波函数和二阶能级修正成立的条件是微扰完
1 a03
AS1 S2;
A 5.6me [( e )2 mp mec
1 2a03 ]
氢原子基态分裂：A
2
5.6me mp
[( e )2 mec
量子力学微扰理论
例：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式
0 （1）设c << 1，应用微扰论求H本征值到二 1 c 级近似； H c 3 0 0 0 c 2 （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。
解： （1）c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
体系的能量 和态矢为
( ( ( E n E n0 ) E n1) E n2 ) ( ( ( n n0 ) n1) n2 ) 10
二、非简并定态的微扰近似
1、态矢和能量的一级近似
(1)能量一级修正En
(1)
左乘 <ψn(0) |
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讨论
（1）在一阶近似下： 表明微扰态矢ψn 可以看成是无微 扰态矢ψm(0)的线性叠加。
( 0) n
n
H mn ( ( 0) m0) (0) m n En Em
（2）展开系数 Hmn /(En(0) - Em(0)) 表明第m个态矢ψm(0)对第n 个 态矢ψn 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间 隔，所以能量最接近的态影响最大。因此态矢一阶近似无须计 算无限多项，只要算出最近邻的有限项即可。 （3）由En = En(0)+Hnn可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态 能量En(0)加上微扰Hamilton量 H在无微扰态ψn(0)中的平均值组 成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。
注意
a
k 1
(1) kn
(0) k
a
(1) nn
(0) n
(1) n
a
第二讲有简并定态微扰论
• 把上式左边n＝k的那一项从求和中分离出来，左 0 边可以写成两项，而且 k 得到
i
(1) 0 (1) Cn ( k n ) *kj d ' Cn ( k n ) *kj n d nk
• 上式可以很清楚地看到： • n=k时， k n k n 0 • n≠k时， ki 与 n 正交，所以整个等式的左边 为零。这样，等式的右边也应为零，得到：
C ,
(0) i 0 f i
1, 2, , f
(0) i
C ki ,
1, 2, , f
• 如果f个一级修正 E '互不相等，则E共有f个不相 等的一级近似能量
E k E '
1, 2,, f
• 可见当f个 E ' 不相等，则未受到微扰时的一个f度 简并的能级 E ，在都到微扰之后，分裂成了f个 不相等的能级 E ，并具有相应当f个零级近似波 函数。我们称 k 的f度简并完全消失。如果 k 中有一部分重根，则表明受到微扰后， k 分裂成 的能级少于f个，则 k 的简并只是部分消失。 • 对有简并的定态微扰论，通常只求到能量的一级 近似和波函数的零级近似。 • 下一讲我们举例说明有简并定态微扰论的应用。
1，零级近似波函数
• • • • • • •
ˆ 的，属于本征值 设无微扰时，能量算符 H 0 的本征函数有f个： k1 , k 2 , k 3 ,, kf , ˆ (i 1,2,, f ) 满足： H 0 ki k ki ˆ H ˆ H ˆ' 有微扰时，能量算符 H 0 ˆ E 本征方程为 H ˆ H ˆ ') E 或 (H 0 表示成级数形式：