二次函数与方程、不等式综合

板块

考试要求 A 级要求

B 级要求

C 级要求

二次函数

1.能根据实际情境了解二次函数的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的图像；

1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；

2.能从函数图像上认识函数的性质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；

1.能用二次函数解决简单的实际问题；

2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；

一、二次函数与一元二次方程的联系

1. 直线与抛物线的交点

（1） y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为()0c ，

. （2） 与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()

2h ah bh c ++，.

（3） 抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4） 平行于x 轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.

（5） 抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，

，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b c

x x x x a

+=-

⋅=， ()

()

2

22

2

12121212444b c

b a

c AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=

-----=

⎪⎝⎭

2. 二次函数常用的解题方法

（1） 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； （2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3） 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的

符号判断图象的位置，要数形结合； （4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴

的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. （5） 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函

数；以0a >时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下： 中考要求

知识点睛

二次函数与方程、不等式综合

3. 二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）

所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．

设(

)()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，

24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．

（1） 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：

当0a >时的充要条件是：0∆>，2b

a αβ<-

<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2b

a

αβ<-<，()0f α

<，()0f β<．

两种情形合并后的充要条件是：

()()0200b a f

f αβαααβ⎫

∆><-<⎪

⎬⎪>>⎭，，①

（2

） 当两根中有且仅有一根在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数

()f x 的图象有下列四种情形：

从四种情形得充要条件是：

()()0f f αβ⋅<②

（3） 当两根都不在区间[]αβ，

内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，

的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形：

当0a >时的充要条件是：()0f α<，()0f β<． 当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：

()0f αα<，()0f αβ<③ 当两根分别在区间[]αβ，之外的同侧时：

∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：

当12x x α<<时的充要条件是：

0∆>，2b

a

α-<，()0f αα>④

当12x x β<<时的充要条件是：

0∆>，2b

a

β->，()0f αβ>⑤

（3）区间根定理

如果在区间()a b ，

上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．