高等数学专科试卷A卷_答案精选

《高等数学2》答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
注意：请将选择题答案填入以上表格，不填或多填均视为零分！
二、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）
13.已知2||=a ϖ
，10||=b ϖ，且12=⋅b a ϖϖ，求||b a ϖϖ⨯.
解：θcos ||||b a b a ϖ
ϖϖϖ⋅=⋅，即θcos 21012⨯⨯=，解得5
3cos =θ，（3分）
则5
4
cos 1sin 2=-=θθ，（2分）
165
4210sin ||||||=⨯⨯=⋅=⨯θb a b a ϖ
ϖϖϖ（3分）
14.过点(2,0,1)-且与直线⎩⎨⎧=-+-=++-06320
9324z y x z y x 平行的直线方程.
解：}3,2,4{1-=n ，}1,3,2{2-=n （1分）
k j i k j i k
j
i
n n 8273
22
4123413321
3232421-+=--+---=
--=⨯（3分） 令所求直线的方向向量为：}8,2,7{-=s （2分） 则所求直线方程为：
8
1
272-+=
=-z y x （2分） 15.设sin z u v =，u xy =,y x v 2+=，求z
x
∂∂和z y ∂∂． 解：由链式法则：
x
v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂（2分） 1cos sin ⋅+⋅=v u y v （1分）
)2cos()2sin(y x xy y x y +++=（1分） y
v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂（2分）
2cos sin ⋅+⋅=v u x v （1分）
)2cos(2)2sin(y x xy y x x +++=（1分）
16.设(,)z z x y =是由方程23sin 31z z x y +=+确定的隐函数，求全微分dz ． 解：方程变形：013sin 32=--+y x z z （1分） 令13sin ),,(32--+=y x z z z y x F （1分）
则32xy F x -=，223y x F y -=，3cos +=z F z （2分）
3cos 23+=
-=∂∂z xy F F x z z x ，3cos 32
2+=-=∂∂z y x F F y
z z y （2分） dy z y x dx z xy dy x z dx x z dz 3
cos 33cos 22
23+++=∂∂+∂∂=（2分）
17.交换二次积分的积分次序并计算：0
sin y
x
I dy dx x
ππ=⎰⎰
． 解：由题意，D —X 型区域：
}0,0|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=π（2分）
dy x
x
dx I x ⎰
⎰=0
sin π（2分） xdx xdx x
x
sin sin 00
⎰⎰
=⋅=ππ
（2分）
2)11(|cos 0=---=-=πx （2分）
18.求微分方程ln 0dy
x y y dx
-=的通解． 解：分离变量：
dx x
dy y y 1
ln 1=（2分） 两边积分：⎰⎰
=dx x
dy y y 1
ln 1（2分） 化简：||||ln 1x C y =，即x C y 1ln ±=（2分） 令1C C ±=，则通解为：Cx y =ln （2分） 19.求微分方程x y y e -'+=的通解． 解：令1)(=x P ，x e x Q -=)(（2分） 由一阶线性微分方程的通解公式：
])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P +⎰⎰=⎰-（2分）
)(C dx e e e x x x +=⎰--（2分）
)(C x e x +=-（2分）
三、证明题（本题8分） 20.设)sin(xy x z +=，证明：x y
z
y x z x
=∂∂-∂∂ 证明：
)cos(1xy y x
z
+=∂∂（2分） )cos(xy x y
z
=∂∂（2分） 则左边)cos()]cos(1[xy yx xy y x -+=
)cos()cos(xy yx xy xy x -+=（2分） ==x 右边（2分）。