《连续介质力学》期末复习提纲--弹性波理论部分

<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性波理论部分

1、无界线弹性体中的波传播 （1）Helmholtz 定理 a. 定理内容

b. 位移场的分解---无旋部分与无散部分

(1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ∇⨯= ，(2)0u ∇⋅=

c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表示

(2)21122

u ωψ=∇⨯=-∇

， (1)2u θφ=∇⋅=∇

（2）无界线弹性体中的P 波与S 波

a. 体积膨胀率与转动向量满足的波动方程 （★）

2212211

112,f c c c λμ

θθ

ρ

+∇+∇∙==

2

2

2222211,2f c c c μωωρ

∇+∇⨯==

b. Helmholtz 势满足的波动方程

222

2

22221211,b B c t c t

φφφψ∂∂∇+=∇+=∂∂

c. 位移场无旋部分与无散部分满足的波动方程

2

(1)

(1)2

(2)

(2)

221

2

1

1

,u b u u B u c c ∇+∇=∇+∇⨯= d. 纵波与横波的相速度及其比值 （★）

2

1121221222)

21c c c c c c c c ν⎛⎫=- ⎪⎝⎭⇒===⎡⎤

⎛⎫⎪=

-⎢⎥

⎪⎪⎭

⎢⎥⎝⎭⎣⎦

2、无界线弹性体中的平面波 （1）波阵面、平面波与球面波 （2）一般平面波及其描述 （★）

a. 一般平面波位移场的形式 （★）

(,)()u x t f x n ct d =⋅-

b. 纵横波满足的条件及相速度公式 （★）

2

0()()()0d n n d c c P wave S wave

c d n d n μρλμ⇓=±⋅=---++⋅=

c. 一般平面波的能量密度与能通量密度向量 （★） ① 平面纵波的情况 （★） 能量密度：

[][][]

222211112

21111

2211()()22

()p ij ij i i e u

u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=⋅-+⋅-'=⋅- 能通量密度向量：[]2

311()p ij i j u

e n c

f x n c t ϕτρ'=-=⋅- 二者关系： 1p p c n ϕε=

② 平面横波的情况 （★） 能量密度：

[][][]

2222212122

211

12

2

11()()22

()s ij ij i i e u

u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=

⋅-+⋅-'=⋅- 能通量密度向量：[

]2

321()s ij i j u e n c f x n c t ϕτρ'=-=⋅- 二者关系： 2s s c n ϕε=

（2）平面简谐波及其描述 （★） a. 描述平面简谐波的物理量 （★） kc ω=，2T π

ω

=

，12T ωαπ=

=，22c cT k

ππ

ωΛ===

2k n n c ωπ==Λ

， 22

2i i k k k k k c ω∙===

A c T k k x n -ct k ωα--Λ-⋅

振幅 -相速度周期-波数-圆频率波长()-相位

-频率

-波数向量

b. 平面简谐波的位移场形式 （★）

[]()()

c o s ()R e R e i k x n c t

i k x t

u A d k x n c t A d e A d e ω⋅-⋅-⎡⎤⎡⎤=⋅-⇔⇔

⎣⎦⎣

⎦

c. 平面简谐波的能量密度与能通量密度向量及波的强度 （★） ① 平面简谐纵波的情形 （★）

能量密度：11

22p ij ij i i e u

u ετρ=+ 能通量密度向量：p ij i j u e ϕτ=-

二者的关系： 1p p c n ϕε=

平面简谐纵波的强度：

1T p

p dt T ϕϕ=⎰

② 平面简谐横波的情形 （★）

能量密度：11

22s ij ij i i e u

u ετρ=+ 能通量密度向量：s ij i j u

e ϕτ=-

二者的关系： 2s s c n ϕε=

平面简谐横波的强度：

01T s s dt T

ϕϕ=

⎰

d. 非均匀平面简谐波位移场满足的条件 （★）

''()k x i k x t u Ade e ω'-∙∙-=∙

22

20

k k k

k k c k k ω⎫

''''''∙-∙==

⎪⎬⎪'''∙=⎭

e. 非均匀平面简谐波的传播特征。（★） 3、二维运动问题的波动方程

（1）二维平面运动所满足的波动方程（无体力） 平面纵波：221

1c φφ∇=