云南省2020学年中考数学面对面几何图形的证明与计算题库

几何图形的证明与计算

类型一 简单几何图形的证明与计算

1.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与A ，B 重合），连接DE ，点A 关于DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：GF =GC ；

（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明；

（3）若正方形ABCD 的边长为4，取DH 的中点M ，请直接写出线段BM 长的最小值

第1题图

证明：（1）如解图①，连接DF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴DA =DC ，∠A =∠C =90°， ∵点A 关于直线DE

的对称点为F ， ∴△ADE ≌△FDE ， 第1题解图①

∴DA =DF =DC ，

∠DFE =∠A =90°，∴∠DFG =90°， ∵DF DC

DG DG

⎧⎨

⎩＝＝，

在Rt △DFG 和Rt △DCG 中， ∴△DFG ≌△DCG （HL ）， ∴GF =GC ；

（2）结论：BH

= 2AE ，证明如下：

证法一：如解

图②，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ， 第1题解图② ∵AD =AB ， ∴DM =BE ， 由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ADC =90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴2∠2+2∠3=90°， ∴∠2+∠3=45°， 即∠EDG =45°， ∵EH ⊥DE ，

∴∠DEH =90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED +∠BEH =∠AED +∠1=90°，DE =EH ， ∴∠1=∠BEH ，

在△DME 和△EBH 中，

∵ 1

DM BE BEH DE EH ⎧∠⎪∠⎪

⎨⎩

＝＝＝， ∴△DME ≌△EBH （SAS ）， ∴EM =BH ，

Rt △AEM 中，∠A =90°，AM =AE ， ∴EM =2AE ， ∴BH =2AE ；

（3）如解图③中，取DE 的中点O ，连接OM ，OA ，AM ，EM ． ∵△DEH 是等腰直角三角形，DM =HM ， ∴EM =DM =HM ，EM ⊥DM ，

∵∠DAE =∠DME =90°，OD =OE ，

∴DO =OA =OE =OM ， ∴A ，D ，M ，E 四点共圆， 第1题解图③ ∴∠MAB =∠MDE =45°，

∴∠DAM =∠MAB ， ∴点M 在正方形的对角线AC 上，当BM ⊥AM 时，BM 的值最小，

最小值为22．

2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、

BC 分别交于点E 、F ，连结AF 、CE ．

（1）试判断四边形AFCE 的形状，并说明理由； （2）若AB =5，2AE =3BF ，求EF 的长； （3）连结BE ，若BE ⊥CE ，求

BF

AE

的值.

第2题图

解：（1）四边形AFCE 是菱形． 理由：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD =BC ， ∴∠EAO =∠FCO ，

∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴AO =CO ，∠EOA =∠FOC =90°， 在△AEO 和△CFO 中，

,,

,∠∠∠∠⎧⎪

⎨⎪⎩

EAO FCO AO CO EOA FOC ＝＝＝ ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），

∴AE =CF ，

∴四边形AFCE 是平行四边形， 又∵AC ⊥EF ，

∴四边形AFCE 是菱形； （2）∵2AE =3BF ，

∴可以假设AE =3m ，BF =2m ， ∵四边形AECF

是菱形， ∴AF =AE =3m ，

第2题解图

在Rt △ABF 中，，∵AB 2+BF 2=AF 2

， ∴m =5

∴25+4m 2

=9m 2

， ∴AF =FC =35，

BF =25 ，

∴BC =55 ，

∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC =90°，

AC =222512556AB BC +=+=,

∴OC =

1

2

AC =562,

∵tan ∠OCF =

OF AB OC BC

=, ∴

5

5655

2

OF =,∴OF =302

∴△AEO ≌△CFO

∴OE =OF ,∴EF =2OF =30.

（3）设AE =a ，BF =b 则AF =CF =EC =a ，BC =a +b ，BF =DE =b ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥CB ， ∴∠DEC =∠BCE ， ∵BE ⊥CE ， ∴∠BEC =∠D =90°，

∴△CDE ∽△BEC ， ∴ =DE EC EC BC ，

∴

=

b a

a a b

+， ∴b 2

+ab －a 2

=0， ∴2

()b a

+

b

a

－1=0 ∴

515122

---=b a 或（舍弃）. ∴

51

2

BF AE -=. 3. (1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE ，若∠A ＝60°(如图①)．求证：EB ＝AD ；

(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；

(3)若将(1)中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其它条件不变，则EB

AD

的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)

第3题图

(1)证明：如解图①所示，过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，则AD ＝AF ， ∴∠FDC ＝∠DCE ， ∵∠A ＝60°， ∴DF ＝AD ＝AF ， 又∵∠DEB ＝∠DCE ，

∴∠FDC ＝∠DEB ，第3题解图① 又ED ＝CD ，∠DBE ＝∠DFC ＝120°， ∴△DBE ≌△CFD (AAS)，∴EB ＝DF ， ∴EB ＝AD .

(2)解：EB ＝AD 成立．理由如下：

如解图②所示，过点D 作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ， 则AD ＝AF ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ，